Магистратура
  1. Введение в математический анализ  1.1. Теория множеств и логика в реальном анализе  1.1.1. Множества и операции в теории множеств и логике в реальном анализе  1.1.2. Отношения и функции  1.1.3. Логика и кванторы  1.1.4. Мощность множеств  1.2. Метрика  1.2.1. Введение в открытые и замкнутые множества в метрических пространствах  1.2.2. Сходимость последовательностей в метрическом пространстве  1.2.3. Непрерывная функция в метрическом пространстве  1.2.4. Компактность и полнота в метрических пространствах в реальном анализе  1.3. Последовательности и ряды  1.3.1. Сходимость последовательностей  1.3.2. Бесконечные ряды  1.3.3. Равномерная сходимость  1.3.4. Ряды степеней  1.4. Дискриминация  1.4.1. Теорема о среднем значении  1.4.2. Ряд Тейлора  1.4.3. Функции нескольких переменных  1.4.4. Частная производная  1.5. Интеграция  1.5.1. Интегрирование Римана и Лебега  1.5.2. Неправильные интегралы  1.5.3. Теория меры: фундаментальный инструмент в интеграции  1.5.4. Теорема Фубини  1.6. Функциональный анализ  1.6.1. Понимание пространства Банака  1.6.2. Пространства Гильберта  1.6.3. Операторы на пространствах  1.6.4. Спектральная теория
  2. Абстрактная алгебра  2.1. Понимание групп в абстрактной алгебре  2.1.1. Определения и примеры групп в абстрактной алгебре  2.1.2. Гомоморфизмы групп  2.1.3. Введение в нормальные подгруппы  2.1.4. Теорема Силова  2.2. Кольца и поля  2.2.1. Идеалы и фактор-кольца  2.2.2. Расширения полей  2.2.3. Теория Галуа  2.2.4. Полиномиальные кольца  2.3. Введение в модули в абстрактной алгебре  2.3.1. Гомоморфизм модуля  2.3.2. Свободные модули  2.3.3. Введение в тензорные произведения  2.3.4. Точная последовательность в модулях  2.4. Линейная алгебра  2.4.1. Векторное пространство  2.4.2. Собственные значения и собственные векторы  2.4.3. Векторное пространство с внутренним произведением  2.4.4. Диагонализация
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Компактность и связность  3.1.3. Непрерывные отображения  3.1.4. Аксиома отделимости  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Понимание фундаментальных групп в алгебраической топологии  3.2.2. Гомотопия и гомология  3.2.3. Симплициальный комплекс  3.2.4. Точные последовательности в гомологии  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Понимание многообразий в дифференциальной топологии  3.3.2. Гладкие функции  3.3.3. Тангенциальное и котангенциальное пространство  3.3.4. Векторные расслоения
  4. Дифференциальные уравнения  4.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения  4.1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка  4.1.2. Линейные уравнения второго порядка  4.1.3. Системы дифференциальных уравнений  4.1.4. Анализ устойчивости в обыкновенных дифференциальных уравнениях  4.2. Частные дифференциальные уравнения  4.2.1. Классификация уравнений с частными производными  4.2.2. Понимание рядов Фурье в уравнениях с частными производными  4.2.3. Введение в функции Грина  4.2.4. Метод характеристик  4.3. Динамические системы в дифференциальных уравнениях  4.3.1. Теория устойчивости  4.3.2. Предельные циклы в динамических системах  4.3.3. Теория хаоса  4.3.4. Теория бифуркаций
  5. Теория вероятностей и статистика  5.1. Теория вероятностей  5.1.1. Случайные переменные  5.1.2. Распределения вероятностей  5.1.3. Закон больших чисел  5.1.4. Центральная предельная теорема  5.2. Статистическое вывод  5.2.1. Проверка гипотез  5.2.2. Доверительный интервал  5.2.3. Байесовские методы  5.2.4. Метод максимального правдоподобия  5.3. Стохастические процессы  5.3.1. Цепи Маркова  5.3.2. Броуновское движение  5.3.3. Понимание процессов Пуассона  5.3.4. Мартингейлы: всестороннее исследование в вероятности и статистике
  6. Численный анализ  6.1. Численное решение уравнений  6.1.1. Оригинальное открытие  6.1.2. Итерационные методы  6.1.3. Анализ сходимости  6.1.4. Границы ошибок в численных решениях уравнений  6.2. Численная линейная алгебра  6.2.1. Факторизация матриц  6.2.2. Вычисление собственных значений  6.2.3. Разреженные матрицы  6.2.4. Методы предобработки  6.3. Численное интегрирование и дифференцирование  6.3.1. Методы квадратур  6.3.2. Введение в конечные разности  6.3.3. Анализ ошибок в численном интегрировании и дифференцировании  6.3.4. Адаптивные методы в численном интегрировании и дифференцировании
  7. Комплексный анализ  7.1. Комплексные числа  7.1.1. Полярная форма  7.1.2. Комплексные сопряженные  7.1.3. Экспоненциальная форма комплексных чисел  7.1.4. Корни из единицы  7.2. Аналитические функции  7.2.1. Уравнения Коши — Римана  7.2.2. Степенные ряды  7.2.3. Конформное отображение  7.2.4. Гармонические функции  7.3. Интегрирование на комплексной плоскости  7.3.1. Теорема Коши  7.3.2. Теорема о вычетах  7.3.3. Контурное интегрирование  7.3.4. Интегральные преобразования
  8. Математическая логика и основания  8.1. Пропозициональная логика  8.1.1. Таблицы истинности  8.1.2. Логическая эквивалентность в пропозициональной логике  8.1.3. Техники доказательства в пропозициональной логике  8.1.4. Решение в пропозициональной логике  8.2. Логика предикатов  8.2.1. Кванторы в предикатной логике  8.2.2. Формальные системы в предикатной логике  8.2.3. Полнота и правильность  8.2.4. Модельная теория  8.3. Теория множеств  8.3.1. Кардинальность и ординальность  8.3.2. Аксиоматические системы  8.3.3. Понимание теории множеств Цермело-Френкеля  8.3.4. Силы в теории множества
  9. Настройка  9.1. Линейное программирование  9.1.1. Метод симплекс  9.1.2. Двойственность в линейном программировании  9.1.3. Анализ чувствительности в линейном программировании  9.1.4. Методы внутренних точек  9.2. Нелинейное программирование  9.2.1. Градиентный спуск  9.2.2. Множители Лагранжа  9.2.3. Выпуклая оптимизация  9.2.4. Квадратичное программирование  9.3. Комбинаторная оптимизация  9.3.1. Алгоритмы графов  9.3.2. Целочисленное программирование  9.3.3. Сетевой поток  9.3.4. Алгоритмы аппроксимации
  10. Дискретная математика  10.1. Теория графов  10.1.1. Представление графов  10.1.2. Плоскость и цвет  10.1.3. Алгоритм поиска кратчайшего пути  10.1.4. Сетевой поток  10.2. Компаньонство  10.2.1. Перестановка и сочетание  10.2.2. Порождающая функция  10.2.3. Рекуррентные соотношения  10.2.4. Понимание принципа включения-исключения  10.3. Криптография  10.3.1. Применение теории чисел в криптографии  10.3.2. Симметричное и асимметричное шифрование  10.3.3. RSA и криптография на эллиптических кривых  10.3.4. Постквантовая криптография

Магистратура → Численный анализ ↓


Численное интегрирование и дифференцирование


Численный анализ — это важная область в математике, сосредоточенная на разработке методов для приближенных решений задач, которые могут быть сложными или невозможными для аналитического решения. Два важных элемента численного анализа — это интегрирование и дифференцирование.

Введение в численное интегрирование

Численное интегрирование — это процесс приближенного вычисления интеграла функции, когда сложно или невозможно получить точный ответ аналитически. Это может произойти для сложных функций или на определенных интервалах, где традиционные методы калькуляции недостаточны. Численные методы важны во многих областях, таких как физика, инженерия и финансы, где интегралы должны часто вычисляться для получения значимых результатов.

Пример сложного интеграла

Рассмотрим интеграл:

∫ e^(-x^2) dx

У этого интеграла нет прямой первообразной, что делает его идеальным кандидатом для численных подходов.

Метод трапеций

Метод трапеций — это простой и широко используемый метод для оценки определенного интеграла функции. Он оценивает площадь под кривой, разделяя ее на трапеции, а не на прямоугольники. Формула метода трапеций:

T_n = (b-a)/(2n) * [f(a) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + ... + 2f(x_{n-1}) + f(b)]

где (T_n) — оценка методом трапеций, (a) и (b) — пределы интегрирования, а (n) — количество подинтервалов.

Визуальный пример

AB

На диаграмме синяя кривая представляет собой фактическую функцию, а заштрихованные серые области приближают интеграл с помощью трапеций. Увеличивая количество трапеций, можно получить более точные оценки.

Метод Симпсона

Метод Симпсона — это другой метод численного интегрирования, который обеспечивает большую точность, чем метод трапеций. Он использует параболические дуги вместо отрезков для приближения кривой. Формула метода Симпсона:

S_n = (b-a)/(3n) * [f(a) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + ... + 4f(x_{n-1}) + f(b)]

где (S_n) — оценка методом Симпсона.

Визуальный пример

AB

Метод Симпсона часто дает более близкое приближение к истинному интегралу, чем метод трапеций, особенно для функций, которые ведут себя достаточно хорошо.

Численное дифференцирование

Численное дифференцирование включает оценку производной функции на основе дискретных данных. Точное дифференцирование требует аналитических форм, которые не всегда доступны, особенно при работе с эмпирическими данными или функциями, определенными алгоритмами.

Метод прямых разностей

Метод прямых разностей — это прямолинейный способ оценить первую производную функции. Он использует формулу:

f'(x) ≈ (f(x + h) - f(x)) / h

Здесь (h) — это малый шаг, а (f'(x)) — это приближенное значение производной.

Пример использования метода прямых разностей

Предположим, у нас есть функция (f(x) = x^2), и мы хотим найти производную при (x = 1):

f'(1) ≈ (f(1 + h) - f(1)) / h f'(1) ≈ ((1 + 0.1)^2 - 1^2) / 0.1 f'(1) ≈ (1.21 - 1) / 0.1 f'(1) ≈ 2.1

Когда (h) становится малым, приближение приближается к точной производной (2x), которая равна 2 при (x = 1).

Визуальный пример

f(x)f(x + h)

Красная линия показывает приближенную производную между точкой и ее соседом, используя метод прямых разностей, предполагая касательную.

Метод центральных разностей

Метод центральных разностей часто более точен, чем метод прямых разностей, для оценки производных. Он использует формулу:

f'(x) ≈ (f(x + h) - f(x - h)) / (2h)

Этот метод берет оба шага — вперед и назад — с центром вокруг интересующей точки.

Пример использования метода центральных разностей

Вернемся к функции (f(x) = x^2), чтобы найти производную при (x = 1):

f'(1) ≈ (f(1 + 0.1) - f(1 - 0.1)) / (2 * 0.1) f'(1) ≈ (1.21 - 0.81) / 0.2 f'(1) ≈ 0.4 / 0.2 f'(1) ≈ 2

Визуальный пример

f(x – h)f(x + h)

На этом изображении красная линия представляет более симметричный подход вокруг точки, что приводит к более точной оценке производной.

Заключение

Численное интегрирование и дифференцирование — это неоценимые методы для решения задач, в которых аналитические решения непрактичны. Хотя точные решения всегда предпочтительнее, использование численных методов позволяет получить эффективные и действенные приближения, которые могут быть настроены на баланс между вычислительными затратами и точностью. Поскольку численные методы продолжают развиваться, они будут оставаться важными для научных, инженерных и финансовых приложений.


Магистратура → 6.3


U
username
0%
завершено в Магистратура

← предыдущая (6.2.4)
Методы предобработки
следующая (6.3.1) →
Методы квадратур

комментарии 



Численное интегрирование и дифференцирование

https://www.buddymath.com/g/6.3?bmal=ru