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संख्यात्मक समाकलन और अवकलन में त्रुटि विश्लेषण
संख्यात्मक विश्लेषण गणित की एक शाखा है जो गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम और संख्यात्मक सन्निकटन से संबंधित है। जब समाकलन और अवकलन की बात आती है, तो सटीक गणना अक्सर असंभव या अव्यवहारिक होती है, और इस कारण से, हम संख्यात्मक विधियों का उपयोग करते हैं। हालाँकि, इन विधियों के साथ एक अंतर्निहित चुनौती आती है: त्रुटि विश्लेषण। पहले, हमें पूछना होगा, त्रुटि विश्लेषण क्या है? सीधे शब्दों में कहें तो, त्रुटि विश्लेषण संख्यात्मक समाधानों की सटीकता और सीमाओं का मूल्यांकन करता है।
यह चर्चा आपको संख्यात्मक समाकलन और अवकलन में त्रुटि विश्लेषण के आवश्यक तत्वों से परिचित कराएगी, और यह दिखाएगी कि यह वैज्ञानिक और इंजीनियरिंग गणनाओं की विश्वसनीयता को कैसे प्रभावित कर सकता है।
संख्यात्मक त्रुटि का परिचय
संख्यात्मक त्रुटियाँ विभिन्न स्रोतों से उत्पन्न हो सकती हैं, जिनमें शामिल हैं:
- ट्रंकेशन त्रुटि: सटीक गणितीय प्रक्रियाओं के सन्निकटन से उत्पन्न होती है।
- राउंडिंग त्रुटि: यह त्रुटि इस कारण से उत्पन्न होती है कि कंप्यूटर सीमित संख्या में अंकों के माध्यम से वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं।
अक्सर, जोर संख्यात्मक समाकलन और अवकलन में ट्रंकेशन त्रुटि पर होता है क्योंकि राउंड-ऑफ त्रुटियाँ हार्डवेयर या सॉफ्टवेयर सीमाओं के लिए विशिष्ट होती हैं।
संख्यात्मक समाकलन
ट्रंकेशन त्रुटि को समझना
संख्यात्मक रूप से किसी समाकल का आकलन करने के कार्य पर विचार करें। कई मामलों में, हम ट्रेपेज़ोइडल नियम या सिम्पसन के नियम जैसे सन्निकटन का उपयोग करते हैं। इन नियमों में से प्रत्येक के साथ एक संबंधित ट्रंकेशन त्रुटि होती है।
ट्रेपेज़ोइडल नियम
ट्रेपेज़ोइडल नियम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन के समाकल का अनुमान लगाता है:
[ int_{a}^{b} f(x) , dx approx frac{b-a}{2} left( f(a) + f(b) right) ]इस सन्निकटन की त्रुटि को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
[ E_{T} = -frac{(b-a)^3}{12} f''(xi) ]जहां ( f''(xi) ) ( f ) का दूसरी अवकलज है जो अंतराल ([a, b]) के कुछ बिंदु ( xi ) पर आंका गया है।
दृश्य उदाहरण: ट्रेपेज़ोइडल नियम
वक्र के नीचे का क्षेत्र ट्रेपेज़ॉइड (ग्रे रंग में) द्वारा अनुमानित होता है। सच्चे समाकल नीले रंग के वक्र के नीचे का क्षेत्र हैं, जो ट्रंकेशन त्रुटि की अवधारणा को दर्शाता है।
सिम्पसन का नियम
सिम्पसन का नियम परवलय खंडों का उपयोग करके अधिक सटीक अनुमान प्रदान करता है:
[ int_{a}^{b} f(x) , dx approx frac{b-a}{6} left( f(a) + 4fleft(frac{a+b}{2}right) + f(b) right) ]ट्रंकेशन त्रुटि इस प्रकार दी जाती है:
[ E_{S} = -frac{(b-a)^5}{2880} f^{(4)}(xi) ]उदाहरण गणना
मान लीजिए आप ट्रेपेज़ोइडल नियम और सिम्पसन का नियम, दोनों का प्रयोग करके, ( x = 0 ) से ( x = pi ) तक, ( f(x) = sin(x) ) फ़ंक्शन का संख्यात्मक रूप से समाकल करना चाहते हैं।
ट्रेपेज़ोइडल नियम का उपयोग:
[ int_{0}^{pi} sin(x) , dx approx frac{pi - 0}{2} left(sin(0) + sin(pi)right) = frac{pi}{2} (0 + 0) = 0 ] [ E_{T} approx -frac{pi^3}{12} (-sin(xi)) approx 0 ]सिम्पसन का नियम का उपयोग:
[ int_{0}^{pi} sin(x) , dx approx frac{pi}{6} left(0 + 4 sinleft(frac{pi}{2}right) + 0right) = frac{pi}{6} times 4 = frac{2pi}{3} ] [ E_{S} approx -frac{pi^5}{2880} cos(xi) approx 0 ]वास्तविक समाकल 2 है। सिम्पसन के नियम का उपयोग करने वाली सन्निकटन सटीक मान के करीब है और इसमें ट्रंकेशन त्रुटि कम है।
संख्यात्मक अवकलन
अवकलन के प्रकार
संख्यात्मक अवकलन में, उद्देश्य यह है कि अवकलज को निरंतर फ़ंक्शन की बजाय विविक्त डेटा बिंदुओं का उपयोग करके गणना की जाए। सामान्य विधियों में आगे का अंतर, पीछे का अंतर, और केंद्रित अंतर शामिल हैं।
आगे का अंतर
पहली अवकलज के लिए इस तकनीक का उपयोग निम्नलिखित सन्निकटन सूत्र के लिए किया जाता है:
[ f'(x) approx frac{f(x + h) - f(x)}{h} ]ट्रंकेशन त्रुटि को इस रूप में दर्शाया जा सकता है:
[ E_{F} approx -frac{h}{2} f''(xi) ]दृश्य उदाहरण: आगे का अंतर
हरा रेखा ढाल दिखाता है (अर्थात, बिंदु (x) पर अवकलज)। आगे का अंतर ढाल का अनुमान भविष्य के बिंदु (x + h) के आधार पर लगता है।
केंद्रित अंतर
एक अधिक सटीक विधि केंद्रित अंतर है, जो दोनों ओर के बिंदुओं का उपयोग करती है:
[ f'(x) approx frac{f(x + h) - f(x - h)}{2h} ]ट्रंकेशन त्रुटि इस प्रकार दी जाती है:
[ E_{C} approx -frac{h^2}{6} f^{(3)}(xi) ]उदाहरण गणना
आइए हम ( f(x) = x^2 ) के अवकलज को ( x = 1 ) पर ( h = 0.1 ) के साथ मापें।
आगे के अंतर का उपयोग:
[ f'(1) approx frac{f(1.1) - f(1)}{0.1} = frac{1.21 - 1}{0.1} = 2.1 ] [ E_{F} approx -frac{0.1}{2} times 2 = -0.1 ]केंद्रित अंतर का उपयोग:
[ f'(1) approx frac{f(1.1) - f(0.9)}{0.2} = frac{1.21 - 0.81}{0.2} = 2 ] [ E_{C} approx -frac{(0.1)^2}{6} times 0 = 0 ]सटीक अवकलज ( f'(x) = 2x ) है, तो ( x = 1 ) पर 2 है। केंद्रित अंतर ने सटीक परिणाम प्रदान किया, जबकि आगे के अंतर ने त्रुटि में थोड़ी कमी के कारण छोटा त्रुटि दी थी।
निष्कर्ष
त्रुटि विश्लेषण संख्यात्मक समाकलन और अवकलन का एक महत्वपूर्ण घटक है। यह संख्यात्मक विधियों की सीमाओं और संभावित सुधारों के बारे में मूल्यवान जानकारी प्रदान करता है। त्रुटियों के स्रोतों और प्रकारों को समझना गणितज्ञों और इंजीनियरों को विशिष्ट अनुप्रयोगों के लिए एल्गोरिदम का अनुकूलन करने और सही विधियाँ चुनने की अनुमति देता है। त्रुटि को घटाकर, हम वैज्ञानिक अनुसंधान और तकनीकी नवाचार के लिए महत्वपूर्ण संख्यात्मक गणनाओं की सटीकता बढ़ा सकते हैं।
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