Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

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Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica


El análisis numérico es una rama de las matemáticas que se ocupa de los algoritmos y aproximaciones numéricas para resolver problemas matemáticos. Cuando se trata de integración y diferenciación, los cálculos exactos a menudo son imposibles o poco prácticos, y por esta razón, usamos métodos numéricos. Sin embargo, estos métodos tienen un desafío inherente: el análisis de errores. Primero, debemos preguntarnos, ¿qué es el análisis de errores? Simplemente, el análisis de errores evalúa la precisión y las limitaciones de las soluciones numéricas.

Esta discusión te introducirá a los elementos esenciales del análisis de errores en la integración y diferenciación numérica, y mostrará cómo puede afectar la fiabilidad de los cálculos científicos e ingenieriles.

Introducción al error numérico

Los errores numéricos pueden surgir de una variedad de fuentes, incluyendo:

  • Error de truncamiento: resultante de las aproximaciones de procedimientos matemáticos exactos.
  • Error de redondeo: Este error surge debido al número limitado de dígitos a través de los cuales las computadoras representan números reales.

A menudo, el énfasis está en el error de truncamiento en la integración y diferenciación numérica porque los errores de redondeo son específicos de las limitaciones de hardware o software.

Integración numérica

Comprensión del error de truncamiento

Considere la tarea de evaluar una integral numéricamente. En muchos casos, usamos aproximaciones tales como la regla del trapecio o la regla de Simpson. Cada una de estas reglas tiene un error de truncamiento asociado.

Regla del trapecio

La regla del trapecio aproxima la integral de una función usando la fórmula:

[ int_{a}^{b} f(x) , dx approx frac{b-a}{2} left( f(a) + f(b) right) ]

El error de esta aproximación puede expresarse como:

[ E_{T} = -frac{(b-a)^3}{12} f''(xi) ]

donde ( f''(xi) ) es la segunda derivada de ( f ) evaluada en algún punto ( xi ) en el intervalo ([a, b]).

Ejemplo visual: regla del trapecio

AXB

El área bajo la curva se aproxima mediante el trapecio (en gris). La integral verdadera es el área bajo la curva en azul, lo que ilustra el concepto de error de truncamiento.

Regla de Simpson

La regla de Simpson proporciona una estimación más precisa usando segmentos parabólicos:

[ int_{a}^{b} f(x) , dx approx frac{b-a}{6} left( f(a) + 4fleft(frac{a+b}{2}right) + f(b) right) ]

El error de truncamiento se da como:

[ E_{S} = -frac{(b-a)^5}{2880} f^{(4)}(xi) ]

Cálculo de ejemplo

Supongamos que desea integrar numéricamente la función ( f(x) = sin(x) ) desde ( x = 0 ) hasta ( x = pi ) usando ambos métodos.

Uso de la regla del trapecio:

[ int_{0}^{pi} sin(x) , dx approx frac{pi - 0}{2} left(sin(0) + sin(pi)right) = frac{pi}{2} (0 + 0) = 0 ] [ E_{T} approx -frac{pi^3}{12} (-sin(xi)) approx 0 ]

Uso de la regla de Simpson:

[ int_{0}^{pi} sin(x) , dx approx frac{pi}{6} left(0 + 4 sinleft(frac{pi}{2}right) + 0right) = frac{pi}{6} times 4 = frac{2pi}{3} ] [ E_{S} approx -frac{pi^5}{2880} cos(xi) approx 0 ]

La integral real es 2. La aproximación usando la regla de Simpson está cerca del valor exacto y tiene un pequeño error de truncamiento.

Diferenciación numérica

Tipos de diferenciación

En la diferenciación numérica, el objetivo es calcular la derivada usando puntos de datos discretos en lugar de una función continua. Los métodos comunes incluyen la diferencia hacia adelante, la diferencia hacia atrás y la diferencia central.

Diferencia hacia adelante

Esta técnica usa la siguiente fórmula de aproximación para la primera derivada:

[ f'(x) approx frac{f(x + h) - f(x)}{h} ]

El error de truncamiento puede representarse como:

[ E_{F} approx -frac{h}{2} f''(xi) ]

Ejemplo visual: diferencia hacia adelante

XX + H

La línea verde muestra la pendiente (es decir, la derivada en el punto (x)). La diferencia hacia adelante estima la pendiente basada en un punto futuro (x + h).

Diferencia central

Un método más preciso es la diferencia central, que usa los puntos en ambos lados:

[ f'(x) approx frac{f(x + h) - f(x - h)}{2h} ]

El error de truncamiento se da como:

[ E_{C} approx -frac{h^2}{6} f^{(3)}(xi) ]

Cálculo de ejemplo

Evaluemos la derivada de ( f(x) = x^2 ) en ( x = 1 ) con ( h = 0.1 ).

Usando diferencia hacia adelante:

[ f'(1) approx frac{f(1.1) - f(1)}{0.1} = frac{1.21 - 1}{0.1} = 2.1 ] [ E_{F} approx -frac{0.1}{2} times 2 = -0.1 ]

Uso de diferencia central:

[ f'(1) approx frac{f(1.1) - f(0.9)}{0.2} = frac{1.21 - 0.81}{0.2} = 2 ] [ E_{C} approx -frac{(0.1)^2}{6} times 0 = 0 ]

La derivada exacta es ( f'(x) = 2x ), por lo que en ( x = 1 ) es 2. La diferencia central proporcionó un resultado exacto, mientras que la diferencia hacia adelante tuvo un pequeño error debido a la reducción.

Conclusión

El análisis de errores es un componente importante de la integración y diferenciación numérica. Proporciona información valiosa sobre las limitaciones y posibles mejoras de los métodos numéricos. Comprender las fuentes y tipos de errores permite a los matemáticos e ingenieros optimizar algoritmos y elegir los métodos adecuados para aplicaciones específicas. Al reducir el error, podemos aumentar la precisión de los cálculos numéricos importantes para la investigación científica y la innovación tecnológica.


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