Методы квадратур

Методы квадратур, часто называемые численным интегрированием, представляют собой набор алгоритмов для приближенного вычисления определенного интеграла функции. Определенные интегралы являются фундаментальными в математике, особенно в исчислении, и они необходимы для нахождения площадей, объемов, центральных точек и многих других вещей. Численные методы необходимы, когда функция сложная или не интегрируема аналитически.

Цель методов квадратур заключается в оценке определенного интеграла функции на интервале. Для заданной функции f(x) определенный интеграл между пределами a и b выражается как:

∫ a b f(x) dx

Простая визуальная иллюстрация этого понятия может быть понята, рассматривая график функции f(x):

Заштрихованная область под кривой f(x) между a и b представляет собой определенный интеграл. Во многих случаях найти эту площадь аналитически трудно или невозможно, поэтому применяются численные методы.

1. Правило средних точек

Правило средних точек оценивает интеграл, принимая значение функции в средней точке интервала и умножая его на ширину интервала. Это выражается как:

I ≈ f((a + b) / 2) × (b – a)

Предположим, мы хотим приближенно вычислить интеграл f(x) = x^2 на интервале [1, 3]. Используя правило средних точек:

Средняя точка: ((1 + 3) / 2) = 2
f(2) = 2^2 = 4

Следовательно, приближенный интеграл равен:

≈ 4 × (3 – 1) = 8

2. Правило трапеций

Правило трапеций приближает площадь под кривой в виде трапеции и вычисляет ее площадь. Формула такова:

I ≈ (B – A) × (F(A) + F(B)) / 2

Предположим, мы хотим найти интеграл функции f(x) = x^3 на [1, 2]:

f(1) = 1^3 = 1
f(2) = 2^3 = 8

Следовательно, интеграл оценивается следующим образом:

I ≈ (2 – 1) × (1 + 8) / 2 = 4.5

3. Правило Симпсона

Правило Симпсона более точное и использует параболу для аппроксимации кривой. Правило Симпсона предполагает, что функция квадратична. Это выражается как:

I ≈ (B – A) / 6 × [f(A) + 4f((A + B) / 2) + f(B)]

Попробуем это для f(x) = x^2 на интервале [0, 2]:

f(0) = 0^2 = 0
Средняя точка: ((0 + 2) / 2) = 1; f(1) = 1^2 = 1
f(2) = 2^2 = 4

Приближенный интеграл, используя правило Симпсона, равен:

I ≈ (2 – 0) / 6 × [0 + 4 × 1 + 4] = 2.67

4. Гауссовы квадратуры

Гауссовы квадратуры повышают точность, выбирая оптимальные точки выборки и их веса в интервале. Эти точки и веса получают из корней ортогональных полиномов, таких как полиномы Лежандра. Общая формула с n точками:

I ≈ ∑ wi × f( xi )

где w i - веса, а x i - корни (узлы).

Например, используя 2-точечные гауссовы квадратуры для ∫ -1 1 x^2 dx:

Корни: x 1 = -1/√3, x 2 = 1/√3
Веса: w 1 = w 2 = 1

Таким образом, интеграл может быть приближенно вычислен как:

I ≈ 1 × ((-1/√3)^2) + 1 × ((1/√3)^2) = 0.6667

Пример текста

Вот простые примеры, показывающие применение каждого метода:

Пример 1: Правило средних точек

Пусть f(x) = e^x на [1, 2]. Приблизительно используя правило средних точек.

Средняя точка: ((1 + 2) / 2) = 1.5
f(1.5) = e^1.5 ≈ 4.4817
Приближение: 4.4817 × (2 - 1) = 4.4817

Пример 2: Правило трапеций

Найти ∫ 0 π sin(x) dx с помощью Правила трапеции.

f(0) = sin(0) = 0
f(π) = sin(π) = 0
Приближение: π × (0 + 0) / 2 = 0

Пример 3: Правило Симпсона

Применить правило Симпсона для оценки ∫ 0 2 ln(x + 1) dx.

f(0) = ln(1) = 0
Средняя точка f(1) = ln(2) ≈ 0.6931
f(2) = ln(3) ≈ 1.0986
Приближение: (2/6) × (0 + 4×0.6931 + 1.0986) ≈ 1.7627

Пример 4: Гауссовы квадратуры

Оценить ∫ -1 1 x^4 dx с использованием 2-точечной гауссовой квадратуры.

Корни: x 1 = -1/√3, x 2 = 1/√3
Веса: w 1 = w 2 = 1
f(x 1 ) = ((-1/√3)^4), f(x 2 ) = ((1/√3)^4)
Приближение: 1 × f(x 1 ) + 1 × f(x 2 ) = 1/9 + 1/9 = 0.2222

Заключение

Методы квадратур являются важной основой численного анализа. Они широко используются в различных областях, от физики до финансов, везде, где необходимы вычисления интегралов, но невозможно выполнить их аналитически. Эти методы позволяют решать проблемы, связанные со сложными функциями, и ограничивать анализ численными результатами, которые все еще предоставляют важные инсайты в основные явления. Каждый метод имеет свои собственные преимущества и ограничения, часто зависящие от природы интегрируемой функции. Выбор подходящего метода может привести к более эффективным и точным вычислениям.

комментарии