Pós-graduação
  1. Introdução à análise real  1.1. Teoria dos conjuntos e lógica em análise real  1.1.1. Conjuntos e operações na teoria dos conjuntos e lógica em análise real  1.1.2. Relações e funções  1.1.3. Lógica e quantificadores  1.1.4. Cardinalidade dos conjuntos  1.2. Espaço métrico  1.2.1. Introdução aos conjuntos abertos e fechados em espaços métricos  1.2.2. Convergência de sequências em um espaço métrico  1.2.3. Função contínua em um espaço métrico  1.2.4. Compacidade e completude em espaços métricos na análise real  1.3. Sequências e séries  1.3.1. Convergência de sequências  1.3.2. Séries infinitas  1.3.3. Convergência uniforme  1.3.4. Séries de potências  1.4. Discriminação  1.4.1. Teorema do valor médio  1.4.2. Série de Taylor  1.4.3. Funções de várias variáveis  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integração  1.5.1. Integração de Riemann e Lebesgue  1.5.2. Integrais impróprias  1.5.3. Teoria da Medida: uma ferramenta fundamental na integração  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análise funcional  1.6.1. Compreendendo espaços de Banach  1.6.2. Espaços de Hilbert  1.6.3. Operadores em espaços  1.6.4. Teoria Espectral
  2. Álgebra Abstrata  2.1. Compreendendo grupos na álgebra abstrata  2.1.1. Definições e exemplos de grupos na álgebra abstrata  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introdução aos subgrupos normais  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anéis e campos  2.2.1. Ideais e anéis quocientes  2.2.2. Extensões de campos  2.2.3. Teoria de Galois  2.2.4. Anéis de polinômios  2.3. Introdução aos módulos em álgebra abstrata  2.3.1. Homomorfismo de Módulos  2.3.2. Módulos livres  2.3.3. Introdução aos produtos tensoriais  2.3.4. Sequência exata em módulos  2.4. Álgebra linear  2.4.1. Espaço vetorial  2.4.2. Autovalores e autovetores  2.4.3. Espaço de produto interno  2.4.4. Diagonalização
  3. Topologia  3.1. Topologia Geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Compacidade e conexidade  3.1.3. Mapas contínuos  3.1.4. Axioma de separação  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Compreendendo grupos fundamentais em topologia algébrica  3.2.2. Homotopia e homologia  3.2.3. Complexo simplicial  3.2.4. Sequências exatas em homologia  3.3. Topologia Diferencial  3.3.1. Compreendendo variedades na topologia diferencial  3.3.2. Funções Suaves  3.3.3. Espaço tangente e cotangente  3.3.4. Feixes vetoriais
  4. Equações diferenciais  4.1. Equação diferencial ordinária  4.1.1. Equações de primeira ordem  4.1.2. Equações lineares de segunda ordem  4.1.3. Sistemas de equações diferenciais  4.1.4. Análise de estabilidade em equações diferenciais ordinárias  4.2. Equações diferenciais parciais  4.2.1. Classificação de PDE  4.2.2. Compreendendo séries de Fourier em equações diferenciais parciais  4.2.3. Introdução às funções de Green  4.2.4. Método de caracterização  4.3. Sistemas dinâmicos em equações diferenciais  4.3.1. Teoria da Sustentabilidade  4.3.2. Ciclos limite em sistemas dinâmicos  4.3.3. Teoria do caos  4.3.4. Teoria da bifurcação
  5. Probabilidade e estatística  5.1. Teoria da probabilidade  5.1.1. Variáveis aleatórias  5.1.2. Distribuições de probabilidade  5.1.3. Lei dos grandes números  5.1.4. Teorema Central do Limite  5.2. Inferência estatística  5.2.1. Teste de hipótese  5.2.2. Intervalo de confiança  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimativa de máxima verossimilhança  5.3. Processos estocásticos  5.3.1. Cadeias de Markov  5.3.2. Movimento Browniano  5.3.3. Compreendendo os processos de Poisson  5.3.4. Martingales: Um estudo abrangente em probabilidade e estatística
  6. Análise numérica  6.1. Soluções numéricas de equações  6.1.1. Descoberta original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análise de convergência  6.1.4. Limites de erro em soluções numéricas de equações  6.2. Álgebra linear numérica  6.2.1. Fatoração de matrizes  6.2.2. Cálculo de autovalores  6.2.3. Matrizes esparsas  6.2.4. Técnicas de pré-condicionamento  6.3. Integração e diferenciação numéricas  6.3.1. Métodos de quadratura  6.3.2. Introdução às diferenças finitas  6.3.3. Análise de erro na integração e diferenciação numérica  6.3.4. Métodos adaptativos em integração e diferenciação numérica
  7. Análise complexa  7.1. Números complexos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados Complexos  7.1.3. Forma exponencial de números complexos  7.1.4. Raízes da unidade  7.2. Funções analíticas  7.2.1. Equações de Cauchy–Riemann  7.2.2. Séries de potências  7.2.3. Mapeamento conforme  7.2.4. Funções harmônicas  7.3. Integração no plano complexo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema do resíduo  7.3.3. Integração de contorno  7.3.4. Transformadas integrais
  8. Lógica Matemática e Fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tabelas de verdade  8.1.2. Equivalência lógica na lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de prova em lógica proposicional  8.1.4. Solução na lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Quantificadores na lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formais na lógica de predicados  8.2.3. Completude e correção  8.2.4. Teoria dos modelos  8.3. Teoria dos conjuntos  8.3.1. Cardinalidade e ordinalidade  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Compreendendo a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Forças na teoria dos conjuntos
  9. Personalização  9.1. Programação linear  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidade na programação linear  9.1.3. Análise de sensibilidade em programação linear  9.1.4. Métodos de ponto interior  9.2. Programação não linear  9.2.1. Descida do Gradiente  9.2.2. Múltiplos de Lagrange  9.2.3. Otimização convexa  9.2.4. Programação quadrática  9.3. Otimização Combinatória  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programação inteira  9.3.3. Fluxo de Rede  9.3.4. Algoritmos de aproximação
  10. Matemática discreta  10.1. Teoria dos grafos  10.1.1. Representação de grafos  10.1.2. Planicidade e cor  10.1.3. Algoritmo de caminho mais curto  10.1.4. Fluxo de rede  10.2. Companheirismo  10.2.1. Percmutações e combinações  10.2.2. Função geradora  10.2.3. Relação de recorrência  10.2.4. Compreendendo o Princípio da Inclusão-Exclusão  10.3. Criptografia  10.3.1. Aplicações da teoria dos números na criptografia  10.3.2. Criptografia Simétrica e Assimétrica  10.3.3. RSA e criptografia de curva elíptica  10.3.4. Criptografia pós-quântica

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Métodos de quadratura


Métodos de quadratura, comumente referidos como integração numérica, são um conjunto de algoritmos para calcular aproximadamente a integral definida de uma função. Integrais definidas são fundamentais na matemática, particularmente no cálculo, e são essenciais para encontrar áreas, volumes, pontos centrais, entre muitas outras coisas. Métodos numéricos são necessários quando uma função é complicada ou não é integrável analiticamente.

O objetivo dos métodos de quadratura é estimar a integral definida de uma função em um intervalo. Para uma função dada f(x), a integral definida entre os limites a e b é expressa como:

∫ a b f(x) dx

Uma ilustração visual simples deste conceito pode ser entendida considerando o gráfico da função f(x):

f(x) A B

A área sombreada sob a curva f(x) entre a e b representa a integral definida. Em muitos casos, é difícil ou impossível encontrar a área analiticamente, então métodos numéricos entram em ação.

1. Regra do ponto médio

A regra do ponto médio estima a integral tomando o valor da função no ponto médio do intervalo e multiplicando-o pela largura do intervalo. Ela é representada como:

I ≈ f((a + b) / 2) × (b – a)

Suponha que queremos aproximar a integral de f(x) = x^2 no intervalo [1, 3]. Usando a regra do ponto médio:

Ponto médio: ((1 + 3) / 2) = 2
f(2) = 2^2 = 4

Assim, a integral aproximada é:

≈ 4 × (3 – 1) = 8

2. Regra do trapézio

A regra do trapézio aproxima a área sob a curva como um trapézio e calcula sua área. A fórmula é:

I ≈ (B – A) × (F(A) + F(B)) / 2

Suponha que queremos encontrar a integral da função f(x) = x^3 em [1, 2]:

f(1) = 1^3 = 1
f(2) = 2^3 = 8

Portanto, a integral é estimada da seguinte forma:

I ≈ (2 – 1) × (1 + 8) / 2 = 4.5

3. Regra de Simpson

A regra de Simpson é mais precisa e usa uma parábola para aproximar a curva. A regra de Simpson assume que a função é quadrática. Ela é expressa como:

I ≈ (B – A) / 6 × [f(A) + 4f((A + B) / 2) + f(B)]

Vamos tentar isso para f(x) = x^2 em [0, 2]:

f(0) = 0^2 = 0
Ponto médio: ((0 + 2) / 2) = 1; f(1) = 1^2 = 1
f(2) = 2^2 = 4

A integral aproximada usando a regra de Simpson é:

I ≈ (2 – 0) / 6 × [0 + 4 × 1 + 4] = 2.67

4. Quadratura gaussiana

A quadratura gaussiana melhora a precisão escolhendo pontos de amostra ótimos e seus pesos dentro do intervalo. Esses pontos e pesos são obtidos a partir das raízes de polinômios ortogonais, como polinômios de Legendre. A fórmula geral com n pontos é:

I ≈ ∑ wi × f( xi )

onde w i são pesos e x i são raízes (nós).

Por exemplo, usando uma quadratura gaussiana de 2 pontos para ∫ -1 1 x^2 dx:

Raízes: x 1 = -1/√3, x 2 = 1/√3
Pesos: w 1 = w 2 = 1

Assim, a integral pode ser aproximada como:

I ≈ 1 × ((-1/√3)^2) + 1 × ((1/√3)^2) = 0.6667

Exemplo de texto

Aqui estão exemplos simples para mostrar a aplicação de cada método:

Exemplo 1: Regra do ponto médio

Seja f(x) = e^x em [1, 2]. Aproximar usando a regra do ponto médio.

Ponto médio: ((1 + 2) / 2) = 1.5
f(1.5) = e^1.5 ≈ 4.4817
Aproximação: 4.4817 × (2 - 1) = 4.4817

Exemplo 2: Regra do trapézio

Encontre ∫ 0 π sin(x) dx usando a regra do trapézio.

f(0) = sin(0) = 0
f(π) = sin(π) = 0
Aproximação: π × (0 + 0) / 2 = 0

Exemplo 3: Regra de Simpson

Aplicar a regra de Simpson para estimar ∫ 0 2 ln(x + 1) dx.

f(0) = ln(1) = 0
Ponto médio f(1) = ln(2) ≈ 0.6931
f(2) = ln(3) ≈ 1.0986
Aproximação: (2/6) × (0 + 4×0.6931 + 1.0986) ≈ 1.7627

Exemplo 4: Quadratura gaussiana

Estimar ∫ -1 1 x^4 dx usando quadratura gaussiana de 2 pontos.

Raízes: x 1 = -1/√3, x 2 = 1/√3
Pesos: w 1 = w 2 = 1
f(x 1 ) = ((-1/√3)^4), f(x 2 ) = ((1/√3)^4)
Aproximação: 1 × f(x 1 ) + 1 × f(x 2 ) = 1/9 + 1/9 = 0.2222

Conclusão

Métodos de quadratura são o alicerce essencial da análise numérica. Eles são amplamente usados em uma variedade de campos, desde a física até as finanças, onde quer que cálculos integrais sejam necessários, mas não sejam possíveis de serem realizados analiticamente. Esses métodos tornam possível lidar com problemas envolvendo funções complexas e limitam a análise a resultados numéricos que ainda fornecem insights importantes sobre os fenômenos subjacentes. Cada método tem suas próprias vantagens e limitações, muitas vezes dependendo da natureza da função a ser integrada. Selecionar o método apropriado pode levar a cálculos mais eficientes e precisos.


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