क्वाड्रचर विधियाँ

क्वाड्रचर विधियाँ, जिन्हें सामान्यतः संख्यात्मक समाकलन के रूप में जाना जाता है, कुछ एल्गोरिदम का सेट होती हैं जो एक कार्य के निश्चित समाकलन की अनुमानित गणना करती हैं। निश्चित समाकलन गणित में मूलभूत होते हैं, विशेष रूप से कलन में, और वे क्षेत्रों, आयतन, केंद्रीय बिंदुओं का पता लगाने में आवश्यक होते हैं, और भी कई चीजों में। जब कोई कार्य जटिल होता है या विश्लेषणात्मक रूप से समाकलनीय नहीं होता है तब संख्यात्मक विधियाँ आवश्यक हो जाती हैं।

क्वाड्रचर विधियों का उद्देश्य एक अंतराल पर एक फलन के निश्चित समाकलन का अनुमान लगाना होता है। दी गई फलन f(x) के लिए, सीमाओं a और b के बीच निश्चित समाकलन को इस प्रकार दर्शाया जाता है:

∫ a b f(x) dx

इस अवधारणा का एक सरल दृश्य चित्रण इस प्रकार समझा जा सकता है कि फलन f(x) के ग्राफ पर विचार करें:

वक्र f(x) के नीचे छायांकित क्षेत्र a और b के बीच निश्चित समाकलन का प्रतिनिधित्व करता है। कई मामलों में, इसे विश्लेषणात्मक रूप से क्षेत्र का पता लगाना चुनौतीपूर्ण या असंभव होता है, इसलिए संख्यात्मक विधियों का उपयोग होता है।

1. मिडपॉइंट नियम

मिडपॉइंट नियम अंतराल के मिडपॉइंट पर फलन के मान को लेकर और इसे अंतराल की चौड़ाई से गुणा करके समाकलन का अनुमान लगाता है। इसे इस प्रकार प्रदर्शित किया जाता है:

I ≈ f((a + b) / 2) × (b – a)

मान लें कि हम फलन f(x) = x^2 का अंतराल [1, 3] पर समाकलन करना चाहते हैं। मिडपॉइंट नियम का उपयोग करें:

मिडपॉइंट: ((1 + 3) / 2) = 2
f(2) = 2^2 = 4

इस प्रकार, अनुमानित समाकलन है:

≈ 4 × (3 – 1) = 8

2. ट्रेपेज़ाइडल नियम

ट्रेपेज़ाइडल नियम वक्र के नीचे क्षेत्र को एक समांतरकोण के रूप में अनुमानित करता है और उसके क्षेत्रफल की गणना करता है। सूत्र है:

I ≈ (B – A) × (F(A) + F(B)) / 2

मान लें हमें कार्य f(x) = x^3 का अंतराल [1, 2] पर समाकलन करना है:

f(1) = 1^3 = 1
f(2) = 2^3 = 8

इसलिए, समाकलन का अनुमान इस प्रकार लगाया जाता है:

I ≈ (2 – 1) × (1 + 8) / 2 = 4.5

3. सिम्पसन का नियम

सिम्पसन का नियम अधिक सटीक होता है और वक्र का अनुमान लगाने के लिए एक परबोला का उपयोग करता है। सिम्पसन का नियम मानता है कि फलन द्विघातीय है। इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

I ≈ (B – A) / 6 × [f(A) + 4f((A + B) / 2) + f(B)]

आइए f(x) = x^2 का अंतराल [0, 2] पर प्रयास करें:

f(0) = 0^2 = 0
मिडपॉइंट: ((0 + 2) / 2) = 1; f(1) = 1^2 = 1
f(2) = 2^2 = 4

सिम्पसन के नियम का उपयोग करके अनुमानित समाकलन है:

I ≈ (2 – 0) / 6 × [0 + 4 × 1 + 4] = 2.67

4. गॉसियन क्वाड्रचर

गॉसियन क्वाड्रचर सटीकता में सुधार करता है अंतराल के भीतर इष्टतम नमूना बिंदु और उनके भार चुनकर। ये बिंदु और भार ऑर्थोगोनल पॉलीनोमियल्स, जैसे लेगेंड्रे पॉलीनोमियल्स, के मूल से प्राप्त होते हैं। सामान्य सूत्र n बिंदुओं के लिए है:

I ≈ ∑ wi × f( xi )

जहाँ w i भार होते हैं और x i मूल (नोड्स) होते हैं।

उदाहरण के लिए, 2-बिंदु गॉसियन क्वाड्रचर का उपयोग करें ∫ -1 1 x^2 dx के लिए:

मूल: x 1 = -1/√3, x 2 = 1/√3
भार: w 1 = w 2 = 1

इस प्रकार समाकलन का अनुमान इस प्रकार किया जा सकता है:

I ≈ 1 × ((-1/√3)^2) + 1 × ((1/√3)^2) = 0.6667

पाठ उदाहरण

यहाँ प्रत्येक विधि के अनुप्रयोग को दिखाने के लिए सरल उदाहरण दिए गए हैं:

उदाहरण 1: मिडपॉइंट नियम

मान लें f(x) = e^x पर [1, 2]। मिडपॉइंट नियम का उपयोग करके अनुमान लगाएँ।

मिडपॉइंट: ((1 + 2) / 2) = 1.5
f(1.5) = e^1.5 ≈ 4.4817
अनुमान: 4.4817 × (2 - 1) = 4.4817

उदाहरण 2: ट्रेपेज़ाइडल नियम

पता लगाएं ∫ 0 π sin(x) dx का ट्रेपेज़ॉयड नियम का उपयोग करके।

f(0) = sin(0) = 0
f(π) = sin(π) = 0
अनुमान: π × (0 + 0) / 2 = 0

उदाहरण 3: सिम्पसन नियम

सिम्पसन का नियम लागू करें ∫ 0 2 ln(x + 1) dx का अनुमान लगाने के लिए।

f(0) = ln(1) = 0
मिडपॉइंट f(1) = ln(2) ≈ 0.6931
f(2) = ln(3) ≈ 1.0986
अनुमान: (2/6) × (0 + 4×0.6931 + 1.0986) ≈ 1.7627

उदाहरण 4: गॉसियन क्वाड्रचर

अनुमान लगाएं ∫ -1 1 x^4 dx के लिए 2-बिंदु गॉसियन क्वाड्रचर का उपयोग करके।

मूल: x 1 = -1/√3, x 2 = 1/√3
भार: w 1 = w 2 = 1
f(x 1 ) = ((-1/√3)^4), f(x 2 ) = ((1/√3)^4)
अनुमान: 1 × f(x 1 ) + 1 × f(x 2 ) = 1/9 + 1/9 = 0.2222

निष्कर्ष

क्वाड्रचर विधियाँ संख्यात्मक विश्लेषण का एक अनिवार्य स्तंभ होती हैं। उनका उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में व्यापक रूप से किया जाता है, जैसे कि भौतिक विज्ञान से वित्त तक, जहाँ समाकलन गणनाएँ आवश्यक होती हैं लेकिन विश्लेषणात्मक रूप से करने योग्य नहीं होती हैं। ये विधियाँ जटिल कार्यों से जुड़े समस्याओं को हल करने में सक्षम बनाती हैं और विश्लेषण को संख्यात्मक परिणामों तक सीमित करती हैं जो अब भी अंतर्निहित घटनाएं में महत्वपूर्ण अंतर्दृष्टियां प्रदान करती हैं। प्रत्येक विधि के अपने फायदे और सीमाएँ होती हैं, अक्सर समाकलित होने वाले कार्य की प्रकृति पर निर्भर करती हैं। उचित विधि का चयन अधिक कुशल और सटीक गणनाओं तक ले जा सकता है।

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