Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

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Métodos de cuadratura


Los métodos de cuadratura, comúnmente conocidos como integración numérica, son un conjunto de algoritmos para calcular aproximadamente la integral definida de una función. Las integrales definidas son fundamentales en matemáticas, particularmente en cálculo, y son esenciales para encontrar áreas, volúmenes, puntos centrales, entre muchas otras cosas. Los métodos numéricos son necesarios cuando una función es complicada o no es integrable analíticamente.

El objetivo de los métodos de cuadratura es estimar la integral definida de una función en un intervalo. Para una función dada f(x), la integral definida entre los límites a y b se expresa como:

∫ a b f(x) dx

Una ilustración visual simple de este concepto se puede entender considerando el gráfico de la función f(x):

f(x) A B

El área sombreada bajo la curva f(x) entre a y b representa la integral definida. En muchos casos, es difícil o imposible encontrar el área analíticamente, por lo que los métodos numéricos entran en juego.

1. Regla del punto medio

La regla del punto medio estima la integral tomando el valor de la función en el punto medio del intervalo y multiplicándolo por el ancho del intervalo. Se representa como:

I ≈ f((a + b) / 2) × (b – a)

Supongamos que queremos aproximar la integral de f(x) = x^2 en el intervalo [1, 3]. Usando la regla del punto medio:

Punto medio: ((1 + 3) / 2) = 2
f(2) = 2^2 = 4

Por lo tanto, la integral aproximada es:

≈ 4 × (3 – 1) = 8

2. Regla del trapecio

La regla del trapecio aproxima el área bajo la curva como un trapecio y calcula su área. La fórmula es:

I ≈ (B – A) × (F(A) + F(B)) / 2

Supongamos que queremos encontrar la integral de la función f(x) = x^3 en [1, 2]:

f(1) = 1^3 = 1
f(2) = 2^3 = 8

Por lo tanto, la integral se estima de la siguiente manera:

I ≈ (2 – 1) × (1 + 8) / 2 = 4.5

3. Regla de Simpson

La regla de Simpson es más precisa y utiliza una parábola para aproximar la curva. La regla de Simpson asume que la función es cuadrática. Se expresa como:

I ≈ (B – A) / 6 × [f(A) + 4f((A + B) / 2) + f(B)]

Probémoslo para f(x) = x^2 en [0, 2]:

f(0) = 0^2 = 0
Punto medio: ((0 + 2) / 2) = 1; f(1) = 1^2 = 1
f(2) = 2^2 = 4

La integral aproximada usando la regla de Simpson es:

I ≈ (2 – 0) / 6 × [0 + 4 × 1 + 4] = 2.67

4. Cuadratura de Gauss

La cuadratura de Gauss mejora la precisión al elegir puntos de muestra óptimos y sus pesos dentro del intervalo. Estos puntos y pesos se obtienen de las raíces de polinomios ortogonales, como los polinomios de Legendre. La fórmula general con n puntos es:

I ≈ ∑ wi × f( xi )

donde w i son pesos y x i son raíces (nodos).

Por ejemplo, usando una cuadratura de Gauss de 2 puntos para ∫ -1 1 x^2 dx:

Raíces: x 1 = -1/√3, x 2 = 1/√3
Pesos: w 1 = w 2 = 1

Entonces, la integral se puede aproximar como:

I ≈ 1 × ((-1/√3)^2) + 1 × ((1/√3)^2) = 0.6667

Ejemplo de texto

Aquí hay ejemplos simples para mostrar la aplicación de cada método:

Ejemplo 1: Regla del punto medio

Sea f(x) = e^x en [1, 2]. Aproximar usando la regla del punto medio.

Punto medio: ((1 + 2) / 2) = 1.5
f(1.5) = e^1.5 ≈ 4.4817
Aproximación: 4.4817 × (2 - 1) = 4.4817

Ejemplo 2: Regla del trapecio

Encuentre ∫ 0 π sin(x) dx usando la regla del trapecio.

f(0) = sin(0) = 0
f(π) = sin(π) = 0
Aproximación: π × (0 + 0) / 2 = 0

Ejemplo 3: Regla de Simpson

Aplica la regla de Simpson para estimar ∫ 0 2 ln(x + 1) dx.

f(0) = ln(1) = 0
Punto medio f(1) = ln(2) ≈ 0.6931
f(2) = ln(3) ≈ 1.0986
Aproximación: (2/6) × (0 + 4×0.6931 + 1.0986) ≈ 1.7627

Ejemplo 4: Cuadratura de Gauss

Estime ∫ -1 1 x^4 dx usando cuadratura de Gauss de 2 puntos.

Raíces: x 1 = -1/√3, x 2 = 1/√3
Pesos: w 1 = w 2 = 1
f(x 1 ) = ((-1/√3)^4), f(x 2 ) = ((1/√3)^4)
Aproximación: 1 × f(x 1 ) + 1 × f(x 2 ) = 1/9 + 1/9 = 0.2222

Conclusión

Los métodos de cuadratura son una piedra angular esencial del análisis numérico. Se utilizan ampliamente en una variedad de campos, desde la física hasta las finanzas, donde los cálculos integrales son necesarios pero no es posible realizarlos analíticamente. Estos métodos permiten abordar problemas que involucran funciones complejas y limitan el análisis a resultados numéricos que aún proporcionan información importante sobre los fenómenos subyacentes. Cada método tiene sus propias ventajas y limitaciones, a menudo dependiendo de la naturaleza de la función que se está integrando. Seleccionar el método apropiado puede conducir a cálculos más eficientes y precisos.


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