Pós-graduação
  1. Introdução à análise real  1.1. Teoria dos conjuntos e lógica em análise real  1.1.1. Conjuntos e operações na teoria dos conjuntos e lógica em análise real  1.1.2. Relações e funções  1.1.3. Lógica e quantificadores  1.1.4. Cardinalidade dos conjuntos  1.2. Espaço métrico  1.2.1. Introdução aos conjuntos abertos e fechados em espaços métricos  1.2.2. Convergência de sequências em um espaço métrico  1.2.3. Função contínua em um espaço métrico  1.2.4. Compacidade e completude em espaços métricos na análise real  1.3. Sequências e séries  1.3.1. Convergência de sequências  1.3.2. Séries infinitas  1.3.3. Convergência uniforme  1.3.4. Séries de potências  1.4. Discriminação  1.4.1. Teorema do valor médio  1.4.2. Série de Taylor  1.4.3. Funções de várias variáveis  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integração  1.5.1. Integração de Riemann e Lebesgue  1.5.2. Integrais impróprias  1.5.3. Teoria da Medida: uma ferramenta fundamental na integração  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análise funcional  1.6.1. Compreendendo espaços de Banach  1.6.2. Espaços de Hilbert  1.6.3. Operadores em espaços  1.6.4. Teoria Espectral
  2. Álgebra Abstrata  2.1. Compreendendo grupos na álgebra abstrata  2.1.1. Definições e exemplos de grupos na álgebra abstrata  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introdução aos subgrupos normais  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anéis e campos  2.2.1. Ideais e anéis quocientes  2.2.2. Extensões de campos  2.2.3. Teoria de Galois  2.2.4. Anéis de polinômios  2.3. Introdução aos módulos em álgebra abstrata  2.3.1. Homomorfismo de Módulos  2.3.2. Módulos livres  2.3.3. Introdução aos produtos tensoriais  2.3.4. Sequência exata em módulos  2.4. Álgebra linear  2.4.1. Espaço vetorial  2.4.2. Autovalores e autovetores  2.4.3. Espaço de produto interno  2.4.4. Diagonalização
  3. Topologia  3.1. Topologia Geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Compacidade e conexidade  3.1.3. Mapas contínuos  3.1.4. Axioma de separação  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Compreendendo grupos fundamentais em topologia algébrica  3.2.2. Homotopia e homologia  3.2.3. Complexo simplicial  3.2.4. Sequências exatas em homologia  3.3. Topologia Diferencial  3.3.1. Compreendendo variedades na topologia diferencial  3.3.2. Funções Suaves  3.3.3. Espaço tangente e cotangente  3.3.4. Feixes vetoriais
  4. Equações diferenciais  4.1. Equação diferencial ordinária  4.1.1. Equações de primeira ordem  4.1.2. Equações lineares de segunda ordem  4.1.3. Sistemas de equações diferenciais  4.1.4. Análise de estabilidade em equações diferenciais ordinárias  4.2. Equações diferenciais parciais  4.2.1. Classificação de PDE  4.2.2. Compreendendo séries de Fourier em equações diferenciais parciais  4.2.3. Introdução às funções de Green  4.2.4. Método de caracterização  4.3. Sistemas dinâmicos em equações diferenciais  4.3.1. Teoria da Sustentabilidade  4.3.2. Ciclos limite em sistemas dinâmicos  4.3.3. Teoria do caos  4.3.4. Teoria da bifurcação
  5. Probabilidade e estatística  5.1. Teoria da probabilidade  5.1.1. Variáveis aleatórias  5.1.2. Distribuições de probabilidade  5.1.3. Lei dos grandes números  5.1.4. Teorema Central do Limite  5.2. Inferência estatística  5.2.1. Teste de hipótese  5.2.2. Intervalo de confiança  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimativa de máxima verossimilhança  5.3. Processos estocásticos  5.3.1. Cadeias de Markov  5.3.2. Movimento Browniano  5.3.3. Compreendendo os processos de Poisson  5.3.4. Martingales: Um estudo abrangente em probabilidade e estatística
  6. Análise numérica  6.1. Soluções numéricas de equações  6.1.1. Descoberta original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análise de convergência  6.1.4. Limites de erro em soluções numéricas de equações  6.2. Álgebra linear numérica  6.2.1. Fatoração de matrizes  6.2.2. Cálculo de autovalores  6.2.3. Matrizes esparsas  6.2.4. Técnicas de pré-condicionamento  6.3. Integração e diferenciação numéricas  6.3.1. Métodos de quadratura  6.3.2. Introdução às diferenças finitas  6.3.3. Análise de erro na integração e diferenciação numérica  6.3.4. Métodos adaptativos em integração e diferenciação numérica
  7. Análise complexa  7.1. Números complexos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados Complexos  7.1.3. Forma exponencial de números complexos  7.1.4. Raízes da unidade  7.2. Funções analíticas  7.2.1. Equações de Cauchy–Riemann  7.2.2. Séries de potências  7.2.3. Mapeamento conforme  7.2.4. Funções harmônicas  7.3. Integração no plano complexo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema do resíduo  7.3.3. Integração de contorno  7.3.4. Transformadas integrais
  8. Lógica Matemática e Fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tabelas de verdade  8.1.2. Equivalência lógica na lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de prova em lógica proposicional  8.1.4. Solução na lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Quantificadores na lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formais na lógica de predicados  8.2.3. Completude e correção  8.2.4. Teoria dos modelos  8.3. Teoria dos conjuntos  8.3.1. Cardinalidade e ordinalidade  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Compreendendo a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Forças na teoria dos conjuntos
  9. Personalização  9.1. Programação linear  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidade na programação linear  9.1.3. Análise de sensibilidade em programação linear  9.1.4. Métodos de ponto interior  9.2. Programação não linear  9.2.1. Descida do Gradiente  9.2.2. Múltiplos de Lagrange  9.2.3. Otimização convexa  9.2.4. Programação quadrática  9.3. Otimização Combinatória  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programação inteira  9.3.3. Fluxo de Rede  9.3.4. Algoritmos de aproximação
  10. Matemática discreta  10.1. Teoria dos grafos  10.1.1. Representação de grafos  10.1.2. Planicidade e cor  10.1.3. Algoritmo de caminho mais curto  10.1.4. Fluxo de rede  10.2. Companheirismo  10.2.1. Percmutações e combinações  10.2.2. Função geradora  10.2.3. Relação de recorrência  10.2.4. Compreendendo o Princípio da Inclusão-Exclusão  10.3. Criptografia  10.3.1. Aplicações da teoria dos números na criptografia  10.3.2. Criptografia Simétrica e Assimétrica  10.3.3. RSA e criptografia de curva elíptica  10.3.4. Criptografia pós-quântica

Pós-graduação → Análise numérica ↓


Álgebra linear numérica


Álgebra linear numérica é um campo essencial na análise numérica que se concentra em resolver problemas de álgebra linear usando métodos numéricos. Esses problemas incluem resolver sistemas de equações lineares, encontrar autovalores e autovetores, e realizar fatoração de matrizes. Álgebra linear numérica é amplamente utilizada em computação científica, engenharia, física e análise de dados.

Conceitos básicos de álgebra linear

Antes de se aprofundar em métodos numéricos, é importante entender alguns conceitos básicos de álgebra linear:

Matriz: Uma matriz é um arranjo retangular de números, símbolos ou expressões, organizados em linhas e colunas. Por exemplo, uma matriz com m linhas e n colunas é escrita como:

        
A = [a 11 a 12 ... a 1n
     a 21 a 22 ... a 2n
     ... a m1 a m2 ... a mn ]
Um 11 A 21 Um M1 a 1n a 2n a mn

Vetor: Um vetor é um tipo especial de matriz que possui apenas uma coluna. Ele representa um ponto em um espaço multidimensional.

        
v = [v 1 v 2 ... v n ]

Resolvendo sistemas de equações lineares

Uma das tarefas fundamentais em álgebra linear numérica é resolver sistemas de equações lineares. Um sistema de equações lineares pode ser escrito na forma matricial como segue:

        Ax = b

Onde:

  • A é uma matriz conhecida.
  • x é o vetor desconhecido que contém as variáveis do sistema.
  • b é um vetor conhecido.

Métodos diretos

Métodos diretos resolvem sistemas lineares em um número finito de etapas, que são calculadas diretamente da matriz A e do vetor b.

Eliminação de Gauss

Eliminação de Gauss é o processo de transformar o sistema em uma matriz triangular superior, que pode então ser resolvida por substituição reversa.

Decomposição LU

Na decomposição LU, a matriz A é decomposta no produto de uma matriz triangular inferior L e uma matriz triangular superior U

        A = LU

Métodos iterativos

Métodos iterativos produzem uma sequência de soluções aproximadas que convergem para a solução exata. Estes são particularmente úteis para resolver grandes sistemas lineares.

Método de Jacobi: Cada elemento diagonal é resolvido usando um palpite inicial, até que a convergência seja alcançada.

Método de Gauss-Seidel: Este é semelhante ao método de Jacobi, mas usa os valores mais recentes assim que estão disponíveis.

Autovalores e autovetores

Autovalores e autovetores são conceitos-chave em álgebra linear, que têm muitas aplicações em simulações numéricas e cálculos científicos.

O problema de encontrar os autovalores e autovetores de uma matriz quadrada A pode ser representado como:

        Av = λv
  • v é o autovetor.
  • λ é o autovalor.

Método de iteração de potência

O método de iteração de potência é uma técnica iterativa projetada para encontrar o autovalor dominante (maior) e seu autovetor correspondente.

Algoritmos QR

O algoritmo QR decompõe uma matriz em matrizes ortogonais e, por meio de iteração, estima seus autovalores e autovetores.

Fatoração de matrizes

Matrizes podem ser divididas ou decompostas em matrizes mais simples, tornando muitos problemas de matrizes mais fáceis de resolver.

Decomposição de valores singulares (SVD)

SVD decompõe uma matriz A em três matrizes U, Σ e V* tal que:

        A = UΣV*
A , U Σ V*

Decomposição de Cholesky

A decomposição de Cholesky se aplica a matrizes hermitianas e definidas positivas e decompõe uma matriz em uma matriz triangular inferior e sua transposta conjugada.

        A = LL*

Aplicações da álgebra linear numérica

Os algoritmos de álgebra linear numérica têm muitas aplicações em computação moderna e ciência:

  • Gráficos de computador: transformação e manipulação de objetos 3D.
  • Análise de dados: Análise de Componentes Principais (PCA) usa SVD para reduzir a dimensionalidade dos dados.
  • Simulação em engenharia: resolução de equações diferenciais parciais e análise estrutural.

Dominar a álgebra linear numérica ajuda os profissionais a enfrentarem eficientemente problemas em larga escala em múltiplos domínios. Combina engenhosidade matemática com técnicas computacionais para alcançar resultados precisos e escaláveis.


Pós-graduação → 6.2


U
username
0%
concluído em Pós-graduação

← Anterior (6.1.4)
Limites de erro em soluções numéricas de equações
Próximo (6.2.1) →
Fatoração de matrizes

Comentários 



Álgebra linear numérica

https://www.buddymath.com/g/6.2?bmal=pt