Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

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Álgebra lineal numérica


El álgebra lineal numérica es un campo esencial en el análisis numérico que se centra en resolver problemas de álgebra lineal utilizando métodos numéricos. Estos problemas incluyen resolver sistemas de ecuaciones lineales, encontrar valores y vectores propios, y realizar factorización de matrices. El álgebra lineal numérica se utiliza ampliamente en computación científica, ingeniería, física y análisis de datos.

Conceptos básicos del álgebra lineal

Antes de profundizar en los métodos numéricos, es importante entender algunos conceptos básicos del álgebra lineal:

Matriz: Una matriz es un arreglo rectangular de números, símbolos o expresiones, dispuestos en filas y columnas. Por ejemplo, una matriz con m filas y n columnas se escribe como:

        
A = [a 11 a 12 ... a 1n
     a 21 a 22 ... a 2n
     ... a m1 a m2 ... a mn ]
a 11 a 21 a m1 a 1n a 2n a mn

Vector: Un vector es un tipo especial de matriz que tiene solo una columna. Representa un punto en un espacio multidimensional.

        
v = [v 1 v 2 ... v n ]

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Una de las tareas fundamentales en álgebra lineal numérica es resolver sistemas de ecuaciones lineales. Un sistema de ecuaciones lineales se puede escribir en forma de matriz como sigue:

        Ax = b

Dónde:

  • A es una matriz conocida.
  • x es el vector desconocido que contiene las variables del sistema.
  • b es un vector conocido.

Métodos directos

Los métodos directos resuelven sistemas lineales en un número finito de pasos, que se calculan directamente a partir de la matriz A y el vector b.

Eliminación gaussiana

La eliminación gaussiana es el proceso de transformar el sistema en una matriz triangular superior, que luego puede ser resuelta por sustitución hacia atrás.

Descomposición LU

En la descomposición LU, la matriz A se descompone en el producto de una matriz triangular inferior L y una matriz triangular superior U

        A = LU

Métodos iterativos

Los métodos iterativos producen una secuencia de soluciones aproximadas que convergen en la solución exacta. Son particularmente útiles para resolver grandes sistemas lineales.

Método de Jacobi: Cada elemento diagonal se resuelve utilizando una suposición inicial, hasta que se logra la convergencia.

Método de Gauss-Seidel: Es similar al método de Jacobi, pero utiliza los últimos valores tan pronto como están disponibles.

Valores y vectores propios

Los valores y vectores propios son conceptos clave en álgebra lineal, que tienen muchas aplicaciones en simulaciones numéricas y cálculos científicos.

El problema de encontrar los valores y vectores propios de una matriz cuadrada A se puede representar como:

        Av = λv
  • v es el vector propio.
  • λ es el valor propio.

Método de la potencia

El método de la potencia es una técnica iterativa diseñada para encontrar el valor propio dominante (mayor) y su correspondiente vector propio.

Algoritmos QR

El algoritmo QR descompone una matriz en matrices ortogonales, y a través de la iteración, estima sus valores y vectores propios.

Factorización de matrices

Las matrices se pueden dividir o descomponer en matrices más simples, lo que hace que muchos problemas de matrices sean más fáciles de resolver.

Descomposición en valores singulares (SVD)

SVD descompone una matriz A en tres matrices U, Σ y V* tal que:

        A = UΣV*
A , U Σ V*

Descomposición de Cholesky

La descomposición de Cholesky se aplica a matrices hermitianas y definidas positivas, descomponiendo una matriz en una matriz triangular inferior y su transpuesta conjugada.

        A = LL*

Aplicaciones del álgebra lineal numérica

Los algoritmos de álgebra lineal numérica tienen muchas aplicaciones en la computación y ciencia modernas:

  • Gráficos por computadora: transformación y manipulación de objetos 3D.
  • Análisis de datos: El análisis de componentes principales (PCA) utiliza SVD para reducir la dimensionalidad de los datos.
  • Simulación de ingeniería: resolución de ecuaciones diferenciales parciales y análisis estructural.

Dominar el álgebra lineal numérica ayuda a los profesionales a abordar de manera eficiente problemas a gran escala en múltiples dominios. Combina la ingeniosidad matemática con técnicas computacionales para lograr resultados precisos y escalables.


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