固有値計算

固有値計算は数値線形代数において重要な役割を果たし、微分方程式の系の解法から複雑なシステムの同期まで、多くの応用において重要です。要するに、固有値と固有ベクトルは行列の本質的な特性を理解する方法を提供し、これは数学的モデリングと計算の基礎となります。

固有値と固有ベクトルの概要

簡単に言うと、行列の固有値は、その行列によって表される線形変換の際に関連する固有ベクトルがどの程度伸縮されるかを示すスカラーです。

固有値λと固有ベクトルvを定義する基本方程式は次の通りです:

Av = λv

ここで、Aは正方行列、vは零ではないベクトル、λはスカラーです。行列は複数の固有値を持つことができ、各固有値に対して1つ以上の対応する固有ベクトルが存在します。

固有値問題の理解

固有値問題は、非零ベクトルvが存在するλの値（固有値）を決定したいときに生じ、行列方程式Av = λvが成り立ちます。

この方程式が零でないvに対して有効であるためには、行列(A - λI)が可逆であってはなりません。これにより特性方程式が得られます:

det(A - λI) = 0

ここで、IはAと同じサイズの単位行列であり、行列(A - λI)が可逆でないことを示しています。

固有値の計算: 基本的方法

べき乗法

べき乗法は行列Aの最大の固有値（絶対値において）とその対応する固有ベクトルを見つけるための最も単純なアルゴリズムです。以下のように実装できます:

def power_iteration(A, num_simulations):
    b_k = np.random.rand(A.shape[1])
    for _ in range(num_simulations):
        # Calculate the matrix-by-vector product Ab
        b_k1 = np.dot(A, b_k)
        # Calculate the norm
        b_k1_norm = np.linalg.norm(b_k1)
        # Re normalize the vector
        b_k = b_k1 / b_k1_norm
    return b_k

べき乗法は最大の固有値に対応する固有ベクトルに収束し、各ステップでベクトルを逐次更新し正規化します。

QRアルゴリズム

QRアルゴリズムは正方行列の固有値問題を解く強力な方法であり、特にすべての固有値が必要なときに有効です。このプロセスは通常以下のように進行します:

行列A ₀ = Aから始めます。
QR分解を実行します: A _k = Q _k R _k。
行列Aを更新します: A _k+1 = R _k Q _k。
収束するまで繰り返します。

最終的に、A _kは上三角行列に変換され、固有値は対角要素となります。

例: 行列の固有値を計算する

より明確にするために、単純な2x2行列の固有値を計算してみましょう:

A = [4, 2]
[1, 3]

特性方程式は以下のように与えられます:

det(A - λI) = |4-λ 2 |
|1 3-λ| = 0

行列式を展開すると:

(4-λ)(3-λ) - (2)(1) = λ ² - 7λ + 10 = 0

二次方程式を解くと:

λ ₁ = 5, λ ₂ = 2

したがって、行列Aの固有値は5と2です。

固有ベクトルの重要性

一度固有値を見つけたら、対応する固有ベクトルを見つけることが重要になります。これにより変化の方向に関する情報が得られます。

各固有値に対して、(A - λI)v = 0にvを代入してλを解きます。λ = 5を取るとき、以下を解きます:

|4-5 2| |x| = |0|
|1 3-5| |y| = |0|

次のシステムに導かれます:

-x + 2y = 0
x - 2y = 0

解くと、固有ベクトルは[2, 1]の任意のスカラー倍となります。

実世界での応用

工学と振動解析

工学では、固有値は主に安定性と振動の解析に使用されます。例えば、機械構造の固有振動数は、質量と剛性の行列から得られたシステムの固有値です。

主成分分析 (PCA)

統計学では、PCAはデータセットの次元を減らすために固有値計算を使用し、「主成分」を見つけることで視覚化と解釈を容易にします。

Data = [[2.5, 2.4], [0.5, 0.7], [2.2, 2.9], [1.9, 2.2], [3.1, 3.0], [2.3, 2.7], [2, 1.6], [1, 1.1], [1.5, 1.6], [1.1, 0.9]]
Covariance_matrix = np.cov(Data, rowvar=False)
eigen_values, eigen_vectors = np.linalg.eig(Covariance_matrix)

ここで、共分散行列の固有値は、データセットが最も変化する主要な方向を特定するのに役立ちます。