Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

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Cálculo de valores propios


Los cálculos de valores propios juegan un papel clave en el álgebra lineal numérica y son importantes en muchas aplicaciones que van desde la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales hasta la sincronización de sistemas complejos. En resumen, los valores propios y los vectores propios proporcionan una forma de comprender las propiedades intrínsecas de las matrices, que son fundamentales en el modelado y cálculo matemático.

Introducción a los valores propios y vectores propios

En términos simples, el valor propio de una matriz es un escalar que indica cuánto se estira o contrae el vector propio asociado durante la transformación lineal representada por la matriz.

La ecuación fundamental que define el valor propio λ y el vector propio v es:

Av = λv

donde A es una matriz cuadrada, v es un vector no nulo, y λ es un escalar. Una matriz puede tener múltiples valores propios, y cada valor propio puede tener uno o más vectores propios correspondientes.

Comprensión de los problemas de valores propios

El problema de los valores propios surge cuando deseamos determinar los valores (valores propios) de λ para los cuales existe un vector no nulo v tal que la ecuación de la matriz Av = λv se cumpla.

Para que esta ecuación sea válida para v no nulo, la matriz (A - λI) no debe ser invertible. Esto proporciona la ecuación característica:

det(A - λI) = 0

Aquí, I es la matriz identidad del mismo tamaño que A, y el determinante igual a cero indica que la matriz (A - λI) no es invertible.

Cálculo de valores propios: métodos básicos

Iteración de potencia

La iteración de potencia es el algoritmo más simple para encontrar el valor propio más grande (en valor absoluto) de una matriz A y sus vectores propios correspondientes. Aquí se muestra cómo implementarlo:

def power_iteration(A, num_simulations):
    b_k = np.random.rand(A.shape[1])
    for _ in range(num_simulations):
        # Calcular el producto matriz-por-vector Ab
        b_k1 = np.dot(A, b_k)
        # Calcular la norma
        b_k1_norm = np.linalg.norm(b_k1)
        # Re-normalizar el vector
        b_k = b_k1 / b_k1_norm
    return b_k

La iteración de potencia converge a uno de los vectores propios asociados con el valor propio más grande, y actualiza y normaliza el vector iterativamente en cada paso.

Algoritmos QR

El algoritmo QR es un método poderoso para resolver el problema de los valores propios para una matriz cuadrada, especialmente cuando necesitamos todos los valores propios. Este proceso generalmente funciona de la siguiente manera:

  1. Comience con la matriz A 0 = A.
  2. Realice la descomposición QR: A k = Q k R k.
  3. Actualice A: A k+1 = R k Q k.
  4. Repita hasta la convergencia.

Finalmente, A k se transforma en una matriz triangular superior, y los valores propios son los elementos diagonales.

Ejemplo: cálculo de los valores propios de una matriz

Para aclarar las cosas, calculemos los valores propios de una matriz 2x2 simple:

A = [4, 2]
[1, 3]

La ecuación característica se da como:

det(A - λI) = |4-λ 2 |
|1 3-λ| = 0

Ampliando el determinante, obtenemos:

(4-λ)(3-λ) - (2)(1) = λ 2 - 7λ + 10 = 0

Resolviendo ecuaciones cuadráticas:

λ 1 = 5, λ 2 = 2

Por lo tanto, los valores propios de la matriz A son 5 y 2.

Importancia de los vectores propios

Una vez que encontramos los valores propios, es importante encontrar los vectores propios correspondientes, ya que proporcionan información sobre la dirección del cambio.

Para cada valor propio, sustituya v de nuevo en (A - λI)v = 0 para resolver para λ. Tomando λ = 5, resolvemos:

|4-5 2| |x| = |0|
|1 3-5| |y| = |0|

Llevando al sistema:

-x + 2y = 0
x - 2y = 0

Resolver da los vectores propios como cualquier múltiplo escalar de [2, 1].

Aplicaciones en el mundo real

Ingeniería y análisis de vibraciones

En ingeniería, los valores propios se utilizan principalmente para analizar la estabilidad y la vibración. Por ejemplo, las frecuencias naturales de una estructura mecánica son los valores propios de un sistema obtenido de sus matrices de masa y rigidez.

Análisis de componentes principales (PCA)

En estadísticas, el PCA utiliza el cálculo de valores propios para reducir la dimensionalidad de un conjunto de datos, permitiendo una visualización e interpretación más sencilla al encontrar “componentes principales”.

Data = [[2.5, 2.4], [0.5, 0.7], [2.2, 2.9], [1.9, 2.2], [3.1, 3.0], [2.3, 2.7], [2, 1.6], [1, 1.1], [1.5, 1.6], [1.1, 0.9]]
Covariance_matrix = np.cov(Data, rowvar=False)
eigen_values, eigen_vectors = np.linalg.eig(Covariance_matrix)

Aquí, los valores propios de la matriz de covarianza ayudan a identificar la dirección principal en la que el conjunto de datos varía más.

Desafíos en el cálculo de valores propios

Aunque los conceptos de valores propios y vectores propios son simples, los cálculos pueden ser desafiantes, especialmente para matrices grandes:

  • Estabilidad: Pequeños cambios en la matriz pueden llevar a cambios significativos en los valores propios, especialmente para matrices defectuosas.
  • Complejidad: A medida que aumenta el tamaño de la matriz, el cálculo se hace intensivo, requiriendo algoritmos eficientes y aproximaciones.

Conclusión

Los cálculos de valores propios son esenciales en muchos algoritmos computacionales utilizados tanto en la ciencia teórica como aplicada. Una serie de técnicas que van desde iteraciones de potencia básicas hasta avanzados algoritmos QR se utilizan para determinar estos valores eficientemente. Comprender los principios subyacentes facilita su aplicación en muchos campos, garantizando soluciones precisas en la computación científica y más allá.


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Cálculo de valores propios

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