Pós-graduação
  1. Introdução à análise real  1.1. Teoria dos conjuntos e lógica em análise real  1.1.1. Conjuntos e operações na teoria dos conjuntos e lógica em análise real  1.1.2. Relações e funções  1.1.3. Lógica e quantificadores  1.1.4. Cardinalidade dos conjuntos  1.2. Espaço métrico  1.2.1. Introdução aos conjuntos abertos e fechados em espaços métricos  1.2.2. Convergência de sequências em um espaço métrico  1.2.3. Função contínua em um espaço métrico  1.2.4. Compacidade e completude em espaços métricos na análise real  1.3. Sequências e séries  1.3.1. Convergência de sequências  1.3.2. Séries infinitas  1.3.3. Convergência uniforme  1.3.4. Séries de potências  1.4. Discriminação  1.4.1. Teorema do valor médio  1.4.2. Série de Taylor  1.4.3. Funções de várias variáveis  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integração  1.5.1. Integração de Riemann e Lebesgue  1.5.2. Integrais impróprias  1.5.3. Teoria da Medida: uma ferramenta fundamental na integração  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análise funcional  1.6.1. Compreendendo espaços de Banach  1.6.2. Espaços de Hilbert  1.6.3. Operadores em espaços  1.6.4. Teoria Espectral
  2. Álgebra Abstrata  2.1. Compreendendo grupos na álgebra abstrata  2.1.1. Definições e exemplos de grupos na álgebra abstrata  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introdução aos subgrupos normais  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anéis e campos  2.2.1. Ideais e anéis quocientes  2.2.2. Extensões de campos  2.2.3. Teoria de Galois  2.2.4. Anéis de polinômios  2.3. Introdução aos módulos em álgebra abstrata  2.3.1. Homomorfismo de Módulos  2.3.2. Módulos livres  2.3.3. Introdução aos produtos tensoriais  2.3.4. Sequência exata em módulos  2.4. Álgebra linear  2.4.1. Espaço vetorial  2.4.2. Autovalores e autovetores  2.4.3. Espaço de produto interno  2.4.4. Diagonalização
  3. Topologia  3.1. Topologia Geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Compacidade e conexidade  3.1.3. Mapas contínuos  3.1.4. Axioma de separação  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Compreendendo grupos fundamentais em topologia algébrica  3.2.2. Homotopia e homologia  3.2.3. Complexo simplicial  3.2.4. Sequências exatas em homologia  3.3. Topologia Diferencial  3.3.1. Compreendendo variedades na topologia diferencial  3.3.2. Funções Suaves  3.3.3. Espaço tangente e cotangente  3.3.4. Feixes vetoriais
  4. Equações diferenciais  4.1. Equação diferencial ordinária  4.1.1. Equações de primeira ordem  4.1.2. Equações lineares de segunda ordem  4.1.3. Sistemas de equações diferenciais  4.1.4. Análise de estabilidade em equações diferenciais ordinárias  4.2. Equações diferenciais parciais  4.2.1. Classificação de PDE  4.2.2. Compreendendo séries de Fourier em equações diferenciais parciais  4.2.3. Introdução às funções de Green  4.2.4. Método de caracterização  4.3. Sistemas dinâmicos em equações diferenciais  4.3.1. Teoria da Sustentabilidade  4.3.2. Ciclos limite em sistemas dinâmicos  4.3.3. Teoria do caos  4.3.4. Teoria da bifurcação
  5. Probabilidade e estatística  5.1. Teoria da probabilidade  5.1.1. Variáveis aleatórias  5.1.2. Distribuições de probabilidade  5.1.3. Lei dos grandes números  5.1.4. Teorema Central do Limite  5.2. Inferência estatística  5.2.1. Teste de hipótese  5.2.2. Intervalo de confiança  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimativa de máxima verossimilhança  5.3. Processos estocásticos  5.3.1. Cadeias de Markov  5.3.2. Movimento Browniano  5.3.3. Compreendendo os processos de Poisson  5.3.4. Martingales: Um estudo abrangente em probabilidade e estatística
  6. Análise numérica  6.1. Soluções numéricas de equações  6.1.1. Descoberta original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análise de convergência  6.1.4. Limites de erro em soluções numéricas de equações  6.2. Álgebra linear numérica  6.2.1. Fatoração de matrizes  6.2.2. Cálculo de autovalores  6.2.3. Matrizes esparsas  6.2.4. Técnicas de pré-condicionamento  6.3. Integração e diferenciação numéricas  6.3.1. Métodos de quadratura  6.3.2. Introdução às diferenças finitas  6.3.3. Análise de erro na integração e diferenciação numérica  6.3.4. Métodos adaptativos em integração e diferenciação numérica
  7. Análise complexa  7.1. Números complexos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados Complexos  7.1.3. Forma exponencial de números complexos  7.1.4. Raízes da unidade  7.2. Funções analíticas  7.2.1. Equações de Cauchy–Riemann  7.2.2. Séries de potências  7.2.3. Mapeamento conforme  7.2.4. Funções harmônicas  7.3. Integração no plano complexo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema do resíduo  7.3.3. Integração de contorno  7.3.4. Transformadas integrais
  8. Lógica Matemática e Fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tabelas de verdade  8.1.2. Equivalência lógica na lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de prova em lógica proposicional  8.1.4. Solução na lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Quantificadores na lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formais na lógica de predicados  8.2.3. Completude e correção  8.2.4. Teoria dos modelos  8.3. Teoria dos conjuntos  8.3.1. Cardinalidade e ordinalidade  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Compreendendo a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Forças na teoria dos conjuntos
  9. Personalização  9.1. Programação linear  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidade na programação linear  9.1.3. Análise de sensibilidade em programação linear  9.1.4. Métodos de ponto interior  9.2. Programação não linear  9.2.1. Descida do Gradiente  9.2.2. Múltiplos de Lagrange  9.2.3. Otimização convexa  9.2.4. Programação quadrática  9.3. Otimização Combinatória  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programação inteira  9.3.3. Fluxo de Rede  9.3.4. Algoritmos de aproximação
  10. Matemática discreta  10.1. Teoria dos grafos  10.1.1. Representação de grafos  10.1.2. Planicidade e cor  10.1.3. Algoritmo de caminho mais curto  10.1.4. Fluxo de rede  10.2. Companheirismo  10.2.1. Percmutações e combinações  10.2.2. Função geradora  10.2.3. Relação de recorrência  10.2.4. Compreendendo o Princípio da Inclusão-Exclusão  10.3. Criptografia  10.3.1. Aplicações da teoria dos números na criptografia  10.3.2. Criptografia Simétrica e Assimétrica  10.3.3. RSA e criptografia de curva elíptica  10.3.4. Criptografia pós-quântica

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Fatoração de matrizes


A fatoração de matrizes é um conceito importante na álgebra linear numérica, uma área importante da análise numérica. Este tema é relevante em muitas aplicações nas ciências, engenharia e matemática. A ideia é expressar uma matriz dada como um produto de duas ou mais matrizes com propriedades específicas. Isso pode tornar a resolução de sistemas lineares, encontrar inversos e determinar propriedades de matrizes mais eficiente computacionalmente. Nesta lição, exploraremos diferentes tipos de fatoração de matrizes, seus propósitos e exemplos simples de suas aplicações.

Terminologia e conceitos básicos

Antes de mergulhar em fatorações de matrizes específicas, é importante entender as operações e propriedades básicas das matrizes. Matrizes são arrays bidimensionais de números que podem ser somados, subtraídos e multiplicados seguindo certas regras. Uma operação fundamental é a multiplicação de matrizes, que é não comutativa, o que significa que multiplicar uma matriz A por B nem sempre dá o mesmo resultado que multiplicar B por A

Fatoração de matrizes envolve decompor uma matriz em produtos de matrizes mais simples. Isso pode ajudar a resolver os seguintes tipos de equações:

Ax = b

onde A é uma matriz, e x e b são vetores.

Decomposição LU

A decomposição LU é um método no qual uma matriz A é decomposta em duas matrizes, L e U. L é uma matriz triangular inferior, e U é uma matriz triangular superior. Esta fatoração é possível se A for uma matriz quadrada, o que significa que ela tem o mesmo número de linhas e colunas.

O objetivo da decomposição LU é simplificar o processo de resolução de sistemas lineares e cálculo de determinantes e inversos. Uma matriz é decomposta da seguinte forma:

A = LU

Aqui está um exemplo simples com uma matriz 3x3:

A = | 2 3 1 |
| 4 7 -1 |
| -2 4 5 |
L = | 1 0 0 |
| 2 1 0 |
| -1 1 1 |
U = | 2 3 1 |
| 0 1 -3 |
| 0 0 7 |

Através da substituição para frente e para trás em L e U, resolver Ax = b torna-se mais viável computacionalmente.

l Você Decomposição LU

Decomposição de Cholesky

A decomposição de Cholesky é um tipo específico de decomposição LU que se aplica a matrizes hermitianas e definidas positivas. Ela expressa a matriz A como:

A = LL T

onde L é uma matriz triangular inferior com entradas diagonais reais e positivas, e L T é a transposta de L

Considere um exemplo de matriz simétrica:

A = | 4 12 -16 |
| 12 37 -43 |
| -16 -43 98 |
L = | 2 0 0 |
| 6 1 0 |
| -8 5 3 |
L T = | 2 6 -8 |
| 0 1 5 |
| 0 0 3 |

Aplicações em soluções de sistemas

A decomposição de Cholesky é útil para resolver o sistema Ax = b onde A é simétrica e definida positiva. Sua vantagem reside na eficiência e estabilidade numérica.

l L T Decomposição de Cholesky

Decomposição QR

A decomposição QR decompõe uma matriz A em um produto de duas matrizes Q e R, onde Q é uma matriz ortogonal e R é uma matriz triangular superior:

A = QR

Ela é particularmente útil na resolução de sistemas lineares e cálculos de autovalores e também pode ser usada no cálculo da solução de mínimos quadrados de Ax = b.

Considere este exemplo:

A = | 1 2 |
| 3 4 |
| 5 6 |
Q = | 1/√35 2/√35 |
| 3/√35 4/√35 |
| 5/√35 6/√35 |
R = | √35 0 |
| 0 √35 |
Por que R Decomposição QR

Decomposição em valores singulares (SVD)

Uma das técnicas de decomposição mais poderosas, a decomposição em valores singulares, representa a matriz A da seguinte maneira:

A = UΣV *

onde U e V são matrizes unitárias, e Σ (sigma) é uma matriz diagonal.

SVD é particularmente importante porque pode ser aplicada a qualquer matriz mxn, não apenas matrizes quadradas. É usada no processamento de sinal, estatística e visão computacional.

Exemplo:

A = | 1 0 1 |
| 0 1 0 |
| 1 0 1 |
U = | 1/√2 0 1/√2 |
| 0 1 0 |
| 1/√2 0 1/√2 |
Σ = | 2 0 0 |
| 0 1 0 |
| 0 0 0 |
V * = | 1/√2 0 1/√2 |
| 0 1 0 |
| -1/√2 0 1/√2 |

Aplicações do SVD

O SVD é usado na solução de sistemas de equações, processamento de sinal e estatística. Sua aplicação na Análise de Componentes Principais (PCA) ajuda a reduzir a dimensionalidade do conjunto de dados, o que é importante para aplicações de aprendizado de máquina.

Você Σ V * SVD

Considerações práticas

As fatorações de matrizes não são apenas construções teóricas, mas são implementadas em várias bibliotecas e softwares computacionais, como LAPACK, MATLAB e NumPy em Python. Essas bibliotecas ajudam na execução de cálculos numéricos eficientes necessários para problemas em grande escala.

Ao aplicar decomposições, a estabilidade numérica e o custo computacional são considerações importantes. Dependendo das propriedades da matriz (por exemplo, esparsa, simétrica, etc.), certas decomposições são mais adequadas.

Conclusão

Fatorações de matrizes como LU, Cholesky, QR e SVD são ferramentas essenciais na álgebra linear numérica. Eles agilizam operações em matrizes, como resolver sistemas lineares e analisar propriedades de matrizes, tornando-se inestimáveis para aplicações práticas. Entender essas fatorações expande sua capacidade de resolver problemas computacionais complexos de maneira eficiente e precisa.


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