Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

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Factorización de matrices


La factorización de matrices es un concepto importante en álgebra lineal numérica, un área importante del análisis numérico. Este tema es relevante en muchas aplicaciones en ciencia, ingeniería y matemáticas. La idea es expresar una matriz dada como el producto de dos o más matrices con propiedades específicas. Esto puede hacer que resolver sistemas lineales, encontrar inversas y determinar propiedades de matrices sea computacionalmente eficiente. En esta lección, exploraremos diferentes tipos de factorización de matrices, sus propósitos y ejemplos simples de sus aplicaciones.

Terminología y conceptos básicos

Antes de profundizar en factorizaciones de matrices específicas, es importante comprender las operaciones básicas de matrices y propiedades. Las matrices son arreglos bidimensionales de números que pueden ser sumados, restados y multiplicados siguiendo ciertas reglas. Una operación fundamental es la multiplicación de matrices, que es no conmutativa, lo que significa que multiplicar una matriz A por B no siempre da el mismo resultado que multiplicar B por A

La factorización de matrices implica descomponer una matriz en productos de matrices más simples. Puede ayudar a resolver los siguientes tipos de ecuaciones:

Ax = b

donde A es una matriz, y x y b son vectores.

Descomposición LU

La descomposición LU es un método en el cual una matriz A se descompone en dos matrices, L y U. L es una matriz triangular inferior, y U es una matriz triangular superior. Esta factorización es posible si A es una matriz cuadrada, lo que significa que tiene el mismo número de filas y columnas.

El objetivo de la descomposición LU es simplificar el proceso de resolver sistemas lineales y calcular determinantes e inversas. Una matriz se descompone de la siguiente manera:

A = LU

Aquí hay un ejemplo simple con una matriz 3x3:

A = | 2 3 1 |
| 4 7 -1 |
| -2 4 5 |
L = | 1 0 0 |
| 2 1 0 |
| -1 1 1 |
U = | 2 3 1 |
| 0 1 -3 |
| 0 0 7 |

A través de sustitución avanzada y retroactiva en L y U, resolver Ax = b se vuelve más factible computacionalmente.

l Tú Descomposición LU

Descomposición de Cholesky

La descomposición de Cholesky es un tipo específico de descomposición LU que se aplica a matrices hermitianas y definidas positivas. Expresa la matriz A como:

A = LL T

donde L es una matriz triangular inferior con entradas diagonales reales y positivas, y L T es la transpuesta de L

Considere un ejemplo de matriz simétrica:

A = | 4 12 -16 |
| 12 37 -43 |
| -16 -43 98 |
L = | 2 0 0 |
| 6 1 0 |
| -8 5 3 |
L T = | 2 6 -8 |
| 0 1 5 |
| 0 0 3 |

Aplicaciones en soluciones de sistemas

La descomposición de Cholesky es útil para resolver el sistema Ax = b donde A es simétrica y definida positiva. Es ventajosa por su eficiencia y estabilidad numérica.

l L T Descomposición de Cholesky

Descomposición QR

La descomposición QR descompone una matriz A en el producto de dos matrices Q y R, donde Q es una matriz ortogonal y R es una matriz triangular superior:

A = QR

Es particularmente útil para resolver sistemas lineales y cálculos de valores propios, y también se puede usar en el cálculo de la solución de mínimos cuadrados de Ax = b.

Considere este ejemplo:

A = | 1 2 |
| 3 4 |
| 5 6 |
Q = | 1/√35 2/√35 |
| 3/√35 4/√35 |
| 5/√35 6/√35 |
R = | √35 0 |
| 0 √35 |
¿Por qué? R Descomposición QR

Descomposición en valores singulares (SVD)

Una de las técnicas de descomposición más potentes es la descomposición en valores singulares, que representa la matriz A de la siguiente manera:

A = UΣV *

donde U y V son matrices unitarias, y Σ (sigma) es una matriz diagonal.

La SVD es especialmente importante porque se puede aplicar a cualquier matriz mxn, no solo a matrices cuadradas. Se utiliza en procesamiento de señales, estadísticas y visión por computadora.

Ejemplo:

A = | 1 0 1 |
| 0 1 0 |
| 1 0 1 |
U = | 1/√2 0 1/√2 |
| 0 1 0 |
| 1/√2 0 1/√2 |
Σ = | 2 0 0 |
| 0 1 0 |
| 0 0 0 |
V * = | 1/√2 0 1/√2 |
| 0 1 0 |
| -1/√2 0 1/√2 |

Aplicaciones de SVD

La SVD se utiliza en la resolución de sistemas de ecuaciones, procesamiento de señales y estadísticas. Su aplicación en el Análisis de Componentes Principales (PCA) ayuda a reducir la dimensionalidad del conjunto de datos, lo cual es importante para aplicaciones de aprendizaje automático.

Tú Σ V * SVD

Consideraciones prácticas

Las factorizaciones de matrices no son solo constructos teóricos, sino que están implementadas en varias bibliotecas computacionales y software como LAPACK, MATLAB y NumPy en Python. Estas bibliotecas ayudan a realizar cálculos numéricos eficientes necesarios para problemas a gran escala.

Al aplicar descomposiciones, la estabilidad numérica y el costo computacional son consideraciones importantes. Dependiendo de las propiedades de la matriz (por ejemplo, dispersa, simétrica, etc.), ciertas descomposiciones son más adecuadas.

Conclusión

Las factorizaciones de matrices como LU, Cholesky, QR y SVD son herramientas integrales en álgebra lineal numérica. Facilitan operaciones en matrices, como resolver sistemas lineales y analizar propiedades de matrices, haciéndolas invaluables para aplicaciones prácticas. Comprender estas factorizaciones amplía tu capacidad para resolver problemas computacionales complejos de manera eficiente y precisa.


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