Pós-graduação
  1. Introdução à análise real  1.1. Teoria dos conjuntos e lógica em análise real  1.1.1. Conjuntos e operações na teoria dos conjuntos e lógica em análise real  1.1.2. Relações e funções  1.1.3. Lógica e quantificadores  1.1.4. Cardinalidade dos conjuntos  1.2. Espaço métrico  1.2.1. Introdução aos conjuntos abertos e fechados em espaços métricos  1.2.2. Convergência de sequências em um espaço métrico  1.2.3. Função contínua em um espaço métrico  1.2.4. Compacidade e completude em espaços métricos na análise real  1.3. Sequências e séries  1.3.1. Convergência de sequências  1.3.2. Séries infinitas  1.3.3. Convergência uniforme  1.3.4. Séries de potências  1.4. Discriminação  1.4.1. Teorema do valor médio  1.4.2. Série de Taylor  1.4.3. Funções de várias variáveis  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integração  1.5.1. Integração de Riemann e Lebesgue  1.5.2. Integrais impróprias  1.5.3. Teoria da Medida: uma ferramenta fundamental na integração  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análise funcional  1.6.1. Compreendendo espaços de Banach  1.6.2. Espaços de Hilbert  1.6.3. Operadores em espaços  1.6.4. Teoria Espectral
  2. Álgebra Abstrata  2.1. Compreendendo grupos na álgebra abstrata  2.1.1. Definições e exemplos de grupos na álgebra abstrata  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introdução aos subgrupos normais  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anéis e campos  2.2.1. Ideais e anéis quocientes  2.2.2. Extensões de campos  2.2.3. Teoria de Galois  2.2.4. Anéis de polinômios  2.3. Introdução aos módulos em álgebra abstrata  2.3.1. Homomorfismo de Módulos  2.3.2. Módulos livres  2.3.3. Introdução aos produtos tensoriais  2.3.4. Sequência exata em módulos  2.4. Álgebra linear  2.4.1. Espaço vetorial  2.4.2. Autovalores e autovetores  2.4.3. Espaço de produto interno  2.4.4. Diagonalização
  3. Topologia  3.1. Topologia Geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Compacidade e conexidade  3.1.3. Mapas contínuos  3.1.4. Axioma de separação  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Compreendendo grupos fundamentais em topologia algébrica  3.2.2. Homotopia e homologia  3.2.3. Complexo simplicial  3.2.4. Sequências exatas em homologia  3.3. Topologia Diferencial  3.3.1. Compreendendo variedades na topologia diferencial  3.3.2. Funções Suaves  3.3.3. Espaço tangente e cotangente  3.3.4. Feixes vetoriais
  4. Equações diferenciais  4.1. Equação diferencial ordinária  4.1.1. Equações de primeira ordem  4.1.2. Equações lineares de segunda ordem  4.1.3. Sistemas de equações diferenciais  4.1.4. Análise de estabilidade em equações diferenciais ordinárias  4.2. Equações diferenciais parciais  4.2.1. Classificação de PDE  4.2.2. Compreendendo séries de Fourier em equações diferenciais parciais  4.2.3. Introdução às funções de Green  4.2.4. Método de caracterização  4.3. Sistemas dinâmicos em equações diferenciais  4.3.1. Teoria da Sustentabilidade  4.3.2. Ciclos limite em sistemas dinâmicos  4.3.3. Teoria do caos  4.3.4. Teoria da bifurcação
  5. Probabilidade e estatística  5.1. Teoria da probabilidade  5.1.1. Variáveis aleatórias  5.1.2. Distribuições de probabilidade  5.1.3. Lei dos grandes números  5.1.4. Teorema Central do Limite  5.2. Inferência estatística  5.2.1. Teste de hipótese  5.2.2. Intervalo de confiança  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimativa de máxima verossimilhança  5.3. Processos estocásticos  5.3.1. Cadeias de Markov  5.3.2. Movimento Browniano  5.3.3. Compreendendo os processos de Poisson  5.3.4. Martingales: Um estudo abrangente em probabilidade e estatística
  6. Análise numérica  6.1. Soluções numéricas de equações  6.1.1. Descoberta original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análise de convergência  6.1.4. Limites de erro em soluções numéricas de equações  6.2. Álgebra linear numérica  6.2.1. Fatoração de matrizes  6.2.2. Cálculo de autovalores  6.2.3. Matrizes esparsas  6.2.4. Técnicas de pré-condicionamento  6.3. Integração e diferenciação numéricas  6.3.1. Métodos de quadratura  6.3.2. Introdução às diferenças finitas  6.3.3. Análise de erro na integração e diferenciação numérica  6.3.4. Métodos adaptativos em integração e diferenciação numérica
  7. Análise complexa  7.1. Números complexos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados Complexos  7.1.3. Forma exponencial de números complexos  7.1.4. Raízes da unidade  7.2. Funções analíticas  7.2.1. Equações de Cauchy–Riemann  7.2.2. Séries de potências  7.2.3. Mapeamento conforme  7.2.4. Funções harmônicas  7.3. Integração no plano complexo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema do resíduo  7.3.3. Integração de contorno  7.3.4. Transformadas integrais
  8. Lógica Matemática e Fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tabelas de verdade  8.1.2. Equivalência lógica na lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de prova em lógica proposicional  8.1.4. Solução na lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Quantificadores na lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formais na lógica de predicados  8.2.3. Completude e correção  8.2.4. Teoria dos modelos  8.3. Teoria dos conjuntos  8.3.1. Cardinalidade e ordinalidade  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Compreendendo a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Forças na teoria dos conjuntos
  9. Personalização  9.1. Programação linear  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidade na programação linear  9.1.3. Análise de sensibilidade em programação linear  9.1.4. Métodos de ponto interior  9.2. Programação não linear  9.2.1. Descida do Gradiente  9.2.2. Múltiplos de Lagrange  9.2.3. Otimização convexa  9.2.4. Programação quadrática  9.3. Otimização Combinatória  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programação inteira  9.3.3. Fluxo de Rede  9.3.4. Algoritmos de aproximação
  10. Matemática discreta  10.1. Teoria dos grafos  10.1.1. Representação de grafos  10.1.2. Planicidade e cor  10.1.3. Algoritmo de caminho mais curto  10.1.4. Fluxo de rede  10.2. Companheirismo  10.2.1. Percmutações e combinações  10.2.2. Função geradora  10.2.3. Relação de recorrência  10.2.4. Compreendendo o Princípio da Inclusão-Exclusão  10.3. Criptografia  10.3.1. Aplicações da teoria dos números na criptografia  10.3.2. Criptografia Simétrica e Assimétrica  10.3.3. RSA e criptografia de curva elíptica  10.3.4. Criptografia pós-quântica

Pós-graduação → Análise numérica ↓


Soluções numéricas de equações


No vasto campo da matemática, resolver equações é uma tarefa fundamental. As equações podem ser tão simples quanto x + 3 = 5 ou tão complexas quanto aquelas que surgem em sistemas caóticos ou equações diferenciais parciais. Soluções numéricas para equações se tornam importantes quando soluções analíticas são impossíveis ou difíceis de encontrar. Nesta análise detalhada, exploraremos vários métodos que formam a base da análise numérica, um campo dedicado a desenvolver algoritmos para obter soluções aproximadas para problemas.

Compreendendo a solução numérica

O propósito da solução numérica é encontrar respostas aproximadas para equações. Esses métodos são necessários em cálculos onde soluções exatas são inalcançáveis devido à complexidade da equação. O objetivo principal é aproximar a solução o mais próximo possível, garantindo que atenda à precisão necessária. Métodos numéricos são uma ponte entre a matemática teórica e aplicações práticas, fornecendo uma maneira de resolver problemas do mundo real de forma eficiente.

Tipos de métodos numéricos

Diferentes métodos numéricos atendem a diferentes equações. A escolha do método geralmente depende da natureza da equação, da precisão desejada e da eficiência de cálculo. Algumas abordagens comuns incluem:

Método da bissecção

O método da bissecção é uma maneira simples e robusta de encontrar as raízes de funções contínuas. Baseia-se no teorema do valor intermediário, que afirma que se uma função contínua muda de sinal em um intervalo [a, b], então existe uma raiz nesse intervalo. Este método envolve dividir repetidamente o intervalo em metades e selecionar o subintervalo onde ocorre a mudança de sinal.

function bisection(f, a, b, tolerance) while (b - a) / 2 > tolerance c = (a + b) / 2 if f(c) == 0 return c elseif sign(f(c)) == sign(f(a)) a = c else b = c return (a + b) / 2
function bisection(f, a, b, tolerance) while (b - a) / 2 > tolerance c = (a + b) / 2 if f(c) == 0 return c elseif sign(f(c)) == sign(f(a)) a = c else b = c return (a + b) / 2

Exemplo visual:

A B C

Método de Newton-Raphson

O método de Newton-Raphson é uma técnica poderosa para encontrar sucessivas aproximações melhores das raízes de uma função de valor real. Baseia-se em valores facilmente calculados a partir do cálculo, em particular onde a próxima aproximação é encontrada seguindo a tangente à curva.

function newtonRaphson(f, df, x0, tolerance) while true x1 = x0 - f(x0) / df(x0) if abs(x1 - x0) < tolerance return x1 x0 = x1
function newtonRaphson(f, df, x0, tolerance) while true x1 = x0 - f(x0) / df(x0) if abs(x1 - x0) < tolerance return x1 x0 = x1

Exemplo de problema:

Suponha que queiramos encontrar a raiz de f(x) = x^2 - 2. A representação gráfica mostra uma parábola intersectando o eixo x. Usar o método de Newton-Raphson é eficaz porque podemos facilmente encontrar a derivada.

Método da secante

O método da secante não requer o cálculo de derivadas, o que é uma vantagem para funções difíceis de diferenciar. Ele usa duas suposições iniciais e estima a origem ao interceptar a linha secante com o eixo x.

function secantMethod(f, x0, x1, tolerance) while true x2 = x1 - f(x1) * ((x1 - x0) / (f(x1) - f(x0))) if abs(x2 - x1) < tolerance return x2 x0 = x1 x1 = x2
function secantMethod(f, x0, x1, tolerance) while true x2 = x1 - f(x1) * ((x1 - x0) / (f(x1) - f(x0))) if abs(x2 - x1) < tolerance return x2 x0 = x1 x1 = x2

Iteração de ponto fixo

A iteração de ponto fixo é um método simples onde a função é reescrita como x = g(x) e iterada até a convergência. Funciona bem para funções com declive menor que um em valor absoluto no ponto fixo.

function fixedPoint(g, x0, tolerance) while true x1 = g(x0) if abs(x1 - x0) < tolerance return x1 x0 = x1
function fixedPoint(g, x0, tolerance) while true x1 = g(x0) if abs(x1 - x0) < tolerance return x1 x0 = x1

Considerações práticas

Embora esses métodos sejam robustos, considerações práticas como escolha de valores iniciais, critérios de convergência e custo computacional são críticas para o sucesso. O método da bissecção, embora simples, pode ser mais lento que outros. Os métodos de Newton-Raphson e da secante oferecem convergência rápida, mas podem falhar se as estimativas iniciais não forem escolhidas cuidadosamente.

Conclusão

A pedra angular da análise numérica, soluções numéricas de equações, nos permite encontrar soluções aproximadas para modelos matemáticos complexos. Embora essas abordagens produzam resultados aproximados, a precisão pode ser altamente controlada, tornando-as indispensáveis, especialmente em simulações de engenharia e científicas. Dominar vários métodos numéricos permite que matemáticos, engenheiros e cientistas analisem e resolvam efetivamente uma ampla gama de problemas.


Pós-graduação → 6.1


U
username
0%
concluído em Pós-graduação

← Anterior (6)
Análise numérica
Próximo (6.1.1) →
Descoberta original

Comentários 



Soluções numéricas de equações

https://www.buddymath.com/g/6.1?bmal=pt