Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

Posgrado → Análisis numérico → Soluciones numéricas de ecuaciones ↓


Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones


En el campo del análisis numérico, encontrar soluciones a ecuaciones matemáticas a menudo implica métodos de aproximación como técnicas iterativas o integración numérica. Estos métodos son populares porque pueden proporcionar soluciones cuando las soluciones analíticas son difíciles de encontrar o no existen. Sin embargo, los métodos numéricos son inherentemente propensos a errores. Es importante comprender y estimar estos errores utilizando cotas de error para evaluar la fiabilidad y precisión de las soluciones numéricas.

Comprensión de errores y límites de error

Error en el análisis numérico se refiere a la diferencia entre la solución matemática exacta (que a menudo no se conoce) y la solución numérica aproximada. Los cálculos numéricos implican diferentes tipos de errores:

  • Error de truncamiento: Este error ocurre cuando un proceso infinito se aproxima mediante un proceso finito. Por ejemplo, truncar una serie infinita a un número finito de términos conduce a un error de truncamiento.
  • Error de redondeo: Este error surge debido a la precisión finita con la que se representan y convierten los números en instrumentos de cálculo.

Los límites de error proporcionan una medida cuantitativa de la magnitud de estos errores. En otras palabras, los límites de error nos dan un intervalo dentro del cual se encuentra el error real.

Formulación matemática

Denotemos la solución exacta de la ecuación por ( x_{text{exact}} ) y la solución aproximada obtenida por el método numérico por ( x_{text{approx}} ). El error ( E ) se puede definir como:

E = |x_{text{exact}} - x_{text{approx}}|

El propósito de la limitación de error es establecer un límite ( E_{text{bound}} ) tal que:

E leq E_{text{bound}}

La cota de error proporciona la seguridad de que el error real no excede este límite y da información sobre la fiabilidad del método numérico utilizado.

Enfoque gráfico para comprender las cotas de error

Para comprender el concepto de cotas de error, considere un escenario simple que involucra la función ( f(x) = x^2 ). Supongamos que tenemos que encontrar la raíz de la ecuación ( x^2 - 2 = 0 ), que es lo mismo que encontrar la raíz cuadrada de 2.

La solución exacta es ( sqrt{2} approx 1.4142 ldots ) Ahora, si estimamos ( sqrt{2} approx 1.41 ), el error es:

E = |sqrt{2} - 1.41| approx 0.0042 ldots

Considere realizar algunas iteraciones de un método numérico, como el método de Newton-Raphson, para actualizar nuestra estimación de ( sqrt{2} ). Puede usar una representación gráfica simple, como un gráfico de líneas en un eje donde el eje x representa las diferentes iteraciones y el eje y representa los valores calculados.

01.411.4141.415

Este diagrama simple muestra la iteración frente al valor de aproximación. A medida que avanzan las iteraciones, la aproximación ( x_{text{approx}} ) converge hacia el valor exacto ( sqrt{2} ). La distancia vertical entre los valores reales y de aproximación en cada punto representa el error. Las cotas de error pueden enmarcar estas líneas, representando la desviación máxima esperada.

Límites de error comunes en varios métodos numéricos

Método de bisección

El método de bisección es una técnica de búsqueda de raíces que reduce continuamente el intervalo que contiene la raíz. En cada paso, la longitud del intervalo se reduce a la mitad, reduciendo el espacio donde podría estar la raíz. Las cotas de error para el método de bisección después de ( n ) iteraciones se dan por:

E_{text{bound}} = frac{b-a}{2^n}

donde ( a ) y ( b ) son los límites iniciales del intervalo. Esta cota de error muestra que con cada iteración, la incertidumbre sobre el origen disminuye exponencialmente, haciendo que el método sea fiable y preciso con más iteraciones.

Método de Newton-Raphson

El método de Newton-Raphson es una técnica poderosa para encontrar aproximaciones sucesivamente más precisas de las raíces (o ceros) de una función de valor real. Sin embargo, las cotas de error para el método de Newton-Raphson dependen dinámicamente de las propiedades de la función y la estimación inicial. Para una función diferenciable ( f(x) ), el error en el paso ( n+1 ) se puede expresar utilizando el teorema de Taylor:

E_{n+1} leq frac{K}{2} E_n^2

donde ( K ) es una constante que involucra la derivada de ( f ). Las cotas de error indican convergencia cuadrática, lo que significa que el error en cada iteración es aproximadamente al cuadrado, potencialmente disminuyendo exponencialmente con cada paso, lo cual es una buena estimación inicial.

Importancia del umbral de error

Las cotas de error juegan un papel importante en el análisis numérico al proporcionar seguridad sobre la precisión de los cálculos numéricos. Ayudan a guiar la selección de técnicas numéricas y la elección de parámetros, y ayudan a comprender el número de iteraciones necesarias para lograr el nivel de precisión deseado. Esto es particularmente importante en cálculos científicos complejos donde se requiere alta precisión.

Aplicaciones de las cotas de error

Diferentes campos de la ciencia y la ingeniería utilizan métodos numéricos y sus cálculos deben ser fiables y precisos:

  • Simulación de ingeniería: Los métodos numéricos se utilizan ampliamente en la simulación de sistemas físicos. Estimar los límites de error ayuda a los ingenieros a determinar la fiabilidad del análisis de tensiones, simulaciones de fluidos o modelos térmicos.
  • Finanzas computacionales: Los modelos financieros a menudo requieren resolver ecuaciones diferenciales o problemas de optimización, donde las cotas de error pueden informar sobre la precisión de las predicciones.
  • Investigación científica: Conocer los límites de error da confianza en simulaciones o cálculos realizados sobre datos experimentales, que a menudo no se pueden resolver analíticamente.

Conclusión

El análisis numérico efectivo no se trata solo de obtener soluciones aproximadas; también se trata de comprender qué tan cerca están esas soluciones de ser precisas. Las cotas de error proporcionan la medida con la que se mide la precisión de las soluciones numéricas. Diferentes métodos tienen sus propias características de error específicas que influyen en la elección del método según los requisitos del problema. Al aprovechar las cotas de error, los practicantes pueden asegurar que los recursos computacionales se utilicen de manera eficiente mientras se logra la precisión deseada en las soluciones.


Posgrado → 6.1.4


U
username
0%
completado en Posgrado

← Anterior (6.1.3)
Análisis de convergencia
Siguiente (6.2) →
Álgebra lineal numérica

Comentarios 



Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones

https://www.buddymath.com/g/6.1.4?bmal=es