Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

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Métodos iterativos


Introducción

Los métodos iterativos son una herramienta fundamental en el análisis numérico que ayuda a encontrar soluciones a ecuaciones que de otro modo serían difíciles o imposibles de resolver analíticamente. Estos métodos son particularmente útiles para resolver ecuaciones no lineales y sistemas de ecuaciones. La idea principal detrás de los métodos iterativos es generar una secuencia de aproximaciones que convergen hacia la verdadera solución.

La necesidad de los métodos iterativos

Consideremos una ecuación simple en una sola variable:

f(x) = 0

Resolver esta ecuación analíticamente puede ser desafiante, especialmente si la función f(x) es compleja o no lineal. En tales casos, los métodos iterativos brindan un enfoque numérico para encontrar soluciones aproximadas. Los métodos iterativos son particularmente eficientes cuando:

  • Esta ecuación es compleja y no tiene solución analítica.
  • Necesitamos resolver rápidamente grandes sistemas de ecuaciones.
  • Aceptamos soluciones aproximadas para aplicaciones prácticas.

El concepto básico de recursión

El núcleo de los métodos iterativos es el proceso de iteración, que implica repetir un cierto cálculo para refinar una solución aproximada. La idea general puede representarse de la siguiente manera:

x_{n+1} = g(x_n)

Aquí, x_n es la aproximación actual, y x_{n+1} es la siguiente aproximación. La función g(x) es una función iterativa diseñada para acercar sucesivas aproximaciones a la verdadera solución.

Ejemplo: Iteración de punto fijo

El ejemplo más simple de un método iterativo es la iteración de punto fijo. Dada la ecuación f(x) = 0, la reformulamos a la forma:

x = g(x)

Luego, usamos la función g(x) para acercarnos a la solución:

x_{n+1} = g(x_n)

Supongamos que quieres encontrar las raíces de f(x) = cos(x) - x Reescríbelo de la siguiente manera:

x = cos(x)

Comienza con la estimación inicial x_0 y repite:

x_{1} = cos(0) = 1
x_{2} = cos(1) ≈ 0.5403
x_{3} = cos(0.5403) ≈ 0.8576

Continúa este proceso hasta que los cambios sean insignificantes. Repite hasta que:

|x_{n+1} - x_n| < ε

donde ε es un nivel de tolerancia pequeño elegido.

Convergencia de los métodos iterativos

Para que un método iterativo sea útil, debe converger a la solución exacta. La convergencia significa que a medida que iteras, tus aproximaciones se acercan cada vez más a la verdadera solución. Los factores que afectan la convergencia incluyen:

  • Elección de la estimación inicial.
  • La naturaleza de la función g(x).
  • Propiedades de la ecuación a resolver.

En general, el método iterativo converge cuando la magnitud de la derivada de g(x) en un punto fijo es menor que uno:

|g'(x)| < 1

Ejemplo

Para encontrar la raíz cuadrada de 3, considera g(x) = 1/2 (x + 3/x) Se puede demostrar que:

g'(x) = 1/2 (1 - 3/x^2)

Si 1/2 (1 - 3/x^2) < 1 cerca del origen, el método convergerá.

Métodos iterativos generales

1. Método de Newton-Raphson

El método de Newton-Raphson es una de las técnicas iterativas más populares porque converge rápidamente para funciones bien comportadas. La fórmula iterativa es:

x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n)

Una gran ventaja de este método es que converge cuadráticamente a medida que se aproxima al origen, es decir, el número de dígitos correctos se duplica aproximadamente en cada paso.

Ejemplo

Para resolver f(x) = x^2 - 2 :

f(x) = x^2 - 2 f'(x) = 2x x_{n+1} = x_n - (x_n^2 - 2) / (2x_n)

Comienza con x_0 = 1 :

x_{1} = 1 - ((1)^2 - 2) / (2*1) = 1.5 x_{2} = 1.5 - ((1.5)^2 - 2) / (2*1.5) = 1.4167

2. Método de la secante

El método de la secante es similar al método de Newton-Raphson, pero no requiere calcular la derivada f'(x), lo que lo hace útil cuando las derivadas son difíciles de calcular:

x_{n+1} = x_n - f(x_n) * (x_n - x_{n-1}) / (f(x_n) - f(x_{n-1}))

Ejemplo

Para resolver f(x) = x^2 - 4, comienza con dos valores iniciales:

x_0 = 2, x_1 = 3 x_{2} = 3 - (3^2 - 4) * (3 - 2) / ((3^2 - 4) - (2^2 - 4))

Continúa haciendo iteraciones.

3. Método de Gauss-Seidel para sistemas de ecuaciones

Al tratar con un sistema de ecuaciones lineales, los métodos iterativos como el método de Gauss-Seidel ayudan a encontrar soluciones de manera eficiente. Considera este sistema:

a11x + a12y = b1 a21x + a22y = b2

Puedes iterar sobre cada variable y actualizarla utilizando los valores más actuales:

x^{k+1} = (b1 - a12y^k) / a11 y^{k+1} = (b2 - a21x^{k+1}) / a22

Comienza con una estimación inicial para x y y y repite.

Beneficios y desafíos de los métodos iterativos

Los métodos iterativos ofrecen varias ventajas:

  • Eficientes para grandes sistemas donde los métodos directos son costosos computacionalmente.
  • Adecuados para aplicaciones en tiempo real donde se requieren soluciones rápidas.
  • Requieren menos memoria que los métodos directos.

Sin embargo, también presentan desafíos:

  • Sensiblemente dependientes de la estimación inicial para la convergencia.
  • Pueden no converger para ciertas funciones o ecuaciones complejas.
  • La selección del método apropiado dependiendo del contexto del problema es importante.

Consideraciones finales

Los métodos iterativos son un componente importante del análisis numérico, teniendo amplias aplicaciones en ingeniería, física y ciencias de la computación. Dominar estos métodos permite resolver ecuaciones complejas de manera eficiente y efectiva. La elección del método depende del problema específico y las restricciones como la disponibilidad de recursos y la precisión requerida. A medida que los recursos computacionales y las técnicas avanzan, los métodos iterativos continúan evolucionando, ofreciendo nuevas formas de abordar desafíos matemáticos.


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