Магистратура
  1. Введение в математический анализ  1.1. Теория множеств и логика в реальном анализе  1.1.1. Множества и операции в теории множеств и логике в реальном анализе  1.1.2. Отношения и функции  1.1.3. Логика и кванторы  1.1.4. Мощность множеств  1.2. Метрика  1.2.1. Введение в открытые и замкнутые множества в метрических пространствах  1.2.2. Сходимость последовательностей в метрическом пространстве  1.2.3. Непрерывная функция в метрическом пространстве  1.2.4. Компактность и полнота в метрических пространствах в реальном анализе  1.3. Последовательности и ряды  1.3.1. Сходимость последовательностей  1.3.2. Бесконечные ряды  1.3.3. Равномерная сходимость  1.3.4. Ряды степеней  1.4. Дискриминация  1.4.1. Теорема о среднем значении  1.4.2. Ряд Тейлора  1.4.3. Функции нескольких переменных  1.4.4. Частная производная  1.5. Интеграция  1.5.1. Интегрирование Римана и Лебега  1.5.2. Неправильные интегралы  1.5.3. Теория меры: фундаментальный инструмент в интеграции  1.5.4. Теорема Фубини  1.6. Функциональный анализ  1.6.1. Понимание пространства Банака  1.6.2. Пространства Гильберта  1.6.3. Операторы на пространствах  1.6.4. Спектральная теория
  2. Абстрактная алгебра  2.1. Понимание групп в абстрактной алгебре  2.1.1. Определения и примеры групп в абстрактной алгебре  2.1.2. Гомоморфизмы групп  2.1.3. Введение в нормальные подгруппы  2.1.4. Теорема Силова  2.2. Кольца и поля  2.2.1. Идеалы и фактор-кольца  2.2.2. Расширения полей  2.2.3. Теория Галуа  2.2.4. Полиномиальные кольца  2.3. Введение в модули в абстрактной алгебре  2.3.1. Гомоморфизм модуля  2.3.2. Свободные модули  2.3.3. Введение в тензорные произведения  2.3.4. Точная последовательность в модулях  2.4. Линейная алгебра  2.4.1. Векторное пространство  2.4.2. Собственные значения и собственные векторы  2.4.3. Векторное пространство с внутренним произведением  2.4.4. Диагонализация
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Компактность и связность  3.1.3. Непрерывные отображения  3.1.4. Аксиома отделимости  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Понимание фундаментальных групп в алгебраической топологии  3.2.2. Гомотопия и гомология  3.2.3. Симплициальный комплекс  3.2.4. Точные последовательности в гомологии  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Понимание многообразий в дифференциальной топологии  3.3.2. Гладкие функции  3.3.3. Тангенциальное и котангенциальное пространство  3.3.4. Векторные расслоения
  4. Дифференциальные уравнения  4.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения  4.1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка  4.1.2. Линейные уравнения второго порядка  4.1.3. Системы дифференциальных уравнений  4.1.4. Анализ устойчивости в обыкновенных дифференциальных уравнениях  4.2. Частные дифференциальные уравнения  4.2.1. Классификация уравнений с частными производными  4.2.2. Понимание рядов Фурье в уравнениях с частными производными  4.2.3. Введение в функции Грина  4.2.4. Метод характеристик  4.3. Динамические системы в дифференциальных уравнениях  4.3.1. Теория устойчивости  4.3.2. Предельные циклы в динамических системах  4.3.3. Теория хаоса  4.3.4. Теория бифуркаций
  5. Теория вероятностей и статистика  5.1. Теория вероятностей  5.1.1. Случайные переменные  5.1.2. Распределения вероятностей  5.1.3. Закон больших чисел  5.1.4. Центральная предельная теорема  5.2. Статистическое вывод  5.2.1. Проверка гипотез  5.2.2. Доверительный интервал  5.2.3. Байесовские методы  5.2.4. Метод максимального правдоподобия  5.3. Стохастические процессы  5.3.1. Цепи Маркова  5.3.2. Броуновское движение  5.3.3. Понимание процессов Пуассона  5.3.4. Мартингейлы: всестороннее исследование в вероятности и статистике
  6. Численный анализ  6.1. Численное решение уравнений  6.1.1. Оригинальное открытие  6.1.2. Итерационные методы  6.1.3. Анализ сходимости  6.1.4. Границы ошибок в численных решениях уравнений  6.2. Численная линейная алгебра  6.2.1. Факторизация матриц  6.2.2. Вычисление собственных значений  6.2.3. Разреженные матрицы  6.2.4. Методы предобработки  6.3. Численное интегрирование и дифференцирование  6.3.1. Методы квадратур  6.3.2. Введение в конечные разности  6.3.3. Анализ ошибок в численном интегрировании и дифференцировании  6.3.4. Адаптивные методы в численном интегрировании и дифференцировании
  7. Комплексный анализ  7.1. Комплексные числа  7.1.1. Полярная форма  7.1.2. Комплексные сопряженные  7.1.3. Экспоненциальная форма комплексных чисел  7.1.4. Корни из единицы  7.2. Аналитические функции  7.2.1. Уравнения Коши — Римана  7.2.2. Степенные ряды  7.2.3. Конформное отображение  7.2.4. Гармонические функции  7.3. Интегрирование на комплексной плоскости  7.3.1. Теорема Коши  7.3.2. Теорема о вычетах  7.3.3. Контурное интегрирование  7.3.4. Интегральные преобразования
  8. Математическая логика и основания  8.1. Пропозициональная логика  8.1.1. Таблицы истинности  8.1.2. Логическая эквивалентность в пропозициональной логике  8.1.3. Техники доказательства в пропозициональной логике  8.1.4. Решение в пропозициональной логике  8.2. Логика предикатов  8.2.1. Кванторы в предикатной логике  8.2.2. Формальные системы в предикатной логике  8.2.3. Полнота и правильность  8.2.4. Модельная теория  8.3. Теория множеств  8.3.1. Кардинальность и ординальность  8.3.2. Аксиоматические системы  8.3.3. Понимание теории множеств Цермело-Френкеля  8.3.4. Силы в теории множества
  9. Настройка  9.1. Линейное программирование  9.1.1. Метод симплекс  9.1.2. Двойственность в линейном программировании  9.1.3. Анализ чувствительности в линейном программировании  9.1.4. Методы внутренних точек  9.2. Нелинейное программирование  9.2.1. Градиентный спуск  9.2.2. Множители Лагранжа  9.2.3. Выпуклая оптимизация  9.2.4. Квадратичное программирование  9.3. Комбинаторная оптимизация  9.3.1. Алгоритмы графов  9.3.2. Целочисленное программирование  9.3.3. Сетевой поток  9.3.4. Алгоритмы аппроксимации
  10. Дискретная математика  10.1. Теория графов  10.1.1. Представление графов  10.1.2. Плоскость и цвет  10.1.3. Алгоритм поиска кратчайшего пути  10.1.4. Сетевой поток  10.2. Компаньонство  10.2.1. Перестановка и сочетание  10.2.2. Порождающая функция  10.2.3. Рекуррентные соотношения  10.2.4. Понимание принципа включения-исключения  10.3. Криптография  10.3.1. Применение теории чисел в криптографии  10.3.2. Симметричное и асимметричное шифрование  10.3.3. RSA и криптография на эллиптических кривых  10.3.4. Постквантовая криптография

Магистратура ↓


Теория вероятностей и статистика


Теория вероятностей и статистика — это разделы математики, которые имеют дело с концепцией неопределенности. Они используются для анализа и прогнозирования результатов и принятия решений на основе данных. В то время как теория вероятностей предоставляет теоретическую основу для измерения неопределенности, статистика использует эту основу для сбора, анализа, интерпретации и представления эмпирических данных.

Понимание вероятности

Вероятность — это мера возможности наступления события. Она измеряет наши ожидания относительно этого события на основе определенных условий или экспериментов. Вероятность какого-либо события — это число от 0 до 1, где 0 представляет невозможность, а 1 — неизбежность. События с высокой вероятностью более вероятны, чем события с низкой вероятностью.

Рассмотрим простой пример. Если у вас есть правильный шестигранный кубик, вероятность получения определенного числа, скажем 3, равна:

Вероятность выпадения 3 = 1/6 = 0.1667

Это потому, что у кубика шесть граней, и каждая грань имеет равную вероятность выпасть сверху.

Визуальный пример: Вероятность одного броска кубика

1 2 3 4 5 6

Основные концепции вероятности

Случайный эксперимент

Случайный эксперимент — это процедура, исход которой нельзя предсказать с уверенностью заранее. Например, подбрасывание монеты, бросание кубика или вытягивание карты из перемешанной колоды. Несмотря на их случайность, эти эксперименты могут стать предсказуемыми после длительной серии испытаний.

Пространство выборок и событий

Пространство выборок случайного эксперимента, часто обозначаемое S, — это множество всех возможных исходов. Каждый возможный исход называется точкой выборки. Событие — это любое подмножество пространства выборок. Например, при бросании кубика пространство выборок S составляет {1, 2, 3, 4, 5, 6}, а событие может быть «выпадение четного числа», которое включает результаты {2, 4, 6}.

Комбинация событий

Два или более событий в пространстве выборок можно объединить с помощью операций над множествами, таких как объединение, пересечение и дополнение. Например, если A и B — это два события, то:

  • A ∪ B (объединение): событие наступает, если происходит либо A, либо B, либо оба.
  • A ∩ B (пересечение): событие наступает, если происходят и A, и B.
  • A' (дополнение): событие наступает, если A не происходит.

Законы вероятности

Правила вероятности — это правила, которые регулируют, как вероятности могут быть присвоены событиям в пространстве вероятностей. Они включают аксиомы вероятности, которые заключаются в следующем:

  1. Ненегативность: Вероятность любого события A больше или равна 0. 
    P(A) ≥ 0
  2. Обобщение: Все пространство выборок S имеет вероятность 1. 
    P(S) = 1
  3. Аддитивность: Для попарно несовместимых событий A и B вероятность того, что произойдет A или B, равна сумме их индивидуальных вероятностей. 
    P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Для более сложных сценариев условная вероятность и теорема Байеса являются основными концепциями:

Условная вероятность

Вероятность события A при условии, что событие B произошло, называется условной вероятностью A B, обозначается P(A|B). Она вычисляется следующим образом: 

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
при условии, что P(B) > 0.

Теорема Байеса

Теорема Байеса рассматривает условные и предельные вероятности случайных событий. Это важный инструмент для обновления вероятностей на основе новой информации. Теорема Байеса выражается следующим образом: 

P(A|B) = [P(B|A) * P(A)] / P(B)

Случайные величины и распределения вероятности

Случайные величины

Случайная величина — это величина, которая принимает различные числовые значения в зависимости от исхода случайного эксперимента. Случайные величины классифицируются на дискретные и непрерывные типы.

Дискретные случайные величины: Эти величины принимают ограниченное количество возможных исходов. Например, бросание кубика и подсчет числа успешных испытаний в серии экспериментов.

Непрерывные случайные величины: Эти величины могут принимать бесконечное количество возможных исходов в заданном диапазоне. Например, точная высота людей или время, затраченное на выполнение задачи.

Распределения вероятности

Распределение вероятности описывает, как вероятности распределены по значениям случайной величины. Для дискретной случайной величины это известно как функция массового распределения вероятностей (PMF): 

P(X = x) = p(x)
Для непрерывной случайной величины это известно как функция плотности вероятности (PDF): 
f(x)
Площадь под кривой PDF для данного интервала предоставляет вероятность того, что случайная величина попадет в этот интервал.

Визуальный пример: Функция массового распределения вероятностей

0.25 0.20 0.25 0.05

Нормальное распределение вероятностей

Биномиальное распределение

Биномиальное распределение — это дискретное распределение, описывающее количество успехов в определенном числе независимых испытаний Бернулли с постоянной вероятностью успеха. Вероятность ровно k успехов в n испытаниях определяется следующим образом: 

P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(nk)
, где C(n, k) — биномиальный коэффициент.

Нормальное распределение

Нормальное распределение, также известное как гауссово распределение, представляет собой непрерывное распределение, симметричное относительно среднего. Оно определяется своим средним (µ) и стандартным отклонением (σ) и описывается функцией плотности вероятности: 

f(x) = (1/(σ√(2π))) * e^(-(x-µ)²/(2σ²))

Визуальный пример: Нормальное распределение

Среднее

Введение в статистику

Статистика — это дисциплина, занимающаяся сбором, организацией, анализом, интерпретацией и представлением данных. Она имеет два основных раздела: описательную статистику и инференциальную статистику.

Описательная статистика

Описательная статистика обобщает и описывает основные характеристики набора данных. Это включает меры центральной тенденции, разброса и графическое представление.

Меры центральной тенденции: Эти меры описывают центр набора данных. Общие меры включают среднее, медиану и моду.

Меры разброса: Разброс представляет разброс данных. Общие меры включают диапазон, дисперсию и стандартное отклонение.

Инференциальная статистика

Инференциальная статистика использует случайные выборки данных, взятые из генеральной совокупности, для описания и получения выводов о генеральной совокупности. Она включает проверку гипотез, оценивание и предсказание.

Проверка гипотез

Проверка гипотез — это метод принятия решений с использованием данных, полученных в результате научного исследования. Она включает проверку предположения или утверждения о параметре совокупности.

Например, вы можете захотеть проверить, является ли новый препарат более эффективным, чем существующий препарат. Вы формируете две гипотезы:

  • H0 (нулевая гипотеза): Разницы в эффективности нет.
  • H1 (альтернативная гипотеза): Новый препарат более эффективен.

Заключение

Теория вероятностей и статистика составляют основу анализа данных и принятия решений в различных областях, включая науку, технику, экономику и другие. Теория вероятностей помогает измерять неопределенность и оценивать вероятность исходов в случайных экспериментах, в то время как статистика помогает объяснять реальные требования на основе сбора и анализа данных. Понимание этих концепций необходимо для принятия обоснованных решений в мире неопределенности.


Магистратура → 5


U
username
0%
завершено в Магистратура

← предыдущая (4.3.4)
Теория бифуркаций
следующая (5.1) →
Теория вероятностей

комментарии 



Теория вероятностей и статистика

https://www.buddymath.com/g/5?bmal=ru