Pós-graduação
  1. Introdução à análise real  1.1. Teoria dos conjuntos e lógica em análise real  1.1.1. Conjuntos e operações na teoria dos conjuntos e lógica em análise real  1.1.2. Relações e funções  1.1.3. Lógica e quantificadores  1.1.4. Cardinalidade dos conjuntos  1.2. Espaço métrico  1.2.1. Introdução aos conjuntos abertos e fechados em espaços métricos  1.2.2. Convergência de sequências em um espaço métrico  1.2.3. Função contínua em um espaço métrico  1.2.4. Compacidade e completude em espaços métricos na análise real  1.3. Sequências e séries  1.3.1. Convergência de sequências  1.3.2. Séries infinitas  1.3.3. Convergência uniforme  1.3.4. Séries de potências  1.4. Discriminação  1.4.1. Teorema do valor médio  1.4.2. Série de Taylor  1.4.3. Funções de várias variáveis  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integração  1.5.1. Integração de Riemann e Lebesgue  1.5.2. Integrais impróprias  1.5.3. Teoria da Medida: uma ferramenta fundamental na integração  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análise funcional  1.6.1. Compreendendo espaços de Banach  1.6.2. Espaços de Hilbert  1.6.3. Operadores em espaços  1.6.4. Teoria Espectral
  2. Álgebra Abstrata  2.1. Compreendendo grupos na álgebra abstrata  2.1.1. Definições e exemplos de grupos na álgebra abstrata  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introdução aos subgrupos normais  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anéis e campos  2.2.1. Ideais e anéis quocientes  2.2.2. Extensões de campos  2.2.3. Teoria de Galois  2.2.4. Anéis de polinômios  2.3. Introdução aos módulos em álgebra abstrata  2.3.1. Homomorfismo de Módulos  2.3.2. Módulos livres  2.3.3. Introdução aos produtos tensoriais  2.3.4. Sequência exata em módulos  2.4. Álgebra linear  2.4.1. Espaço vetorial  2.4.2. Autovalores e autovetores  2.4.3. Espaço de produto interno  2.4.4. Diagonalização
  3. Topologia  3.1. Topologia Geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Compacidade e conexidade  3.1.3. Mapas contínuos  3.1.4. Axioma de separação  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Compreendendo grupos fundamentais em topologia algébrica  3.2.2. Homotopia e homologia  3.2.3. Complexo simplicial  3.2.4. Sequências exatas em homologia  3.3. Topologia Diferencial  3.3.1. Compreendendo variedades na topologia diferencial  3.3.2. Funções Suaves  3.3.3. Espaço tangente e cotangente  3.3.4. Feixes vetoriais
  4. Equações diferenciais  4.1. Equação diferencial ordinária  4.1.1. Equações de primeira ordem  4.1.2. Equações lineares de segunda ordem  4.1.3. Sistemas de equações diferenciais  4.1.4. Análise de estabilidade em equações diferenciais ordinárias  4.2. Equações diferenciais parciais  4.2.1. Classificação de PDE  4.2.2. Compreendendo séries de Fourier em equações diferenciais parciais  4.2.3. Introdução às funções de Green  4.2.4. Método de caracterização  4.3. Sistemas dinâmicos em equações diferenciais  4.3.1. Teoria da Sustentabilidade  4.3.2. Ciclos limite em sistemas dinâmicos  4.3.3. Teoria do caos  4.3.4. Teoria da bifurcação
  5. Probabilidade e estatística  5.1. Teoria da probabilidade  5.1.1. Variáveis aleatórias  5.1.2. Distribuições de probabilidade  5.1.3. Lei dos grandes números  5.1.4. Teorema Central do Limite  5.2. Inferência estatística  5.2.1. Teste de hipótese  5.2.2. Intervalo de confiança  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimativa de máxima verossimilhança  5.3. Processos estocásticos  5.3.1. Cadeias de Markov  5.3.2. Movimento Browniano  5.3.3. Compreendendo os processos de Poisson  5.3.4. Martingales: Um estudo abrangente em probabilidade e estatística
  6. Análise numérica  6.1. Soluções numéricas de equações  6.1.1. Descoberta original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análise de convergência  6.1.4. Limites de erro em soluções numéricas de equações  6.2. Álgebra linear numérica  6.2.1. Fatoração de matrizes  6.2.2. Cálculo de autovalores  6.2.3. Matrizes esparsas  6.2.4. Técnicas de pré-condicionamento  6.3. Integração e diferenciação numéricas  6.3.1. Métodos de quadratura  6.3.2. Introdução às diferenças finitas  6.3.3. Análise de erro na integração e diferenciação numérica  6.3.4. Métodos adaptativos em integração e diferenciação numérica
  7. Análise complexa  7.1. Números complexos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados Complexos  7.1.3. Forma exponencial de números complexos  7.1.4. Raízes da unidade  7.2. Funções analíticas  7.2.1. Equações de Cauchy–Riemann  7.2.2. Séries de potências  7.2.3. Mapeamento conforme  7.2.4. Funções harmônicas  7.3. Integração no plano complexo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema do resíduo  7.3.3. Integração de contorno  7.3.4. Transformadas integrais
  8. Lógica Matemática e Fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tabelas de verdade  8.1.2. Equivalência lógica na lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de prova em lógica proposicional  8.1.4. Solução na lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Quantificadores na lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formais na lógica de predicados  8.2.3. Completude e correção  8.2.4. Teoria dos modelos  8.3. Teoria dos conjuntos  8.3.1. Cardinalidade e ordinalidade  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Compreendendo a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Forças na teoria dos conjuntos
  9. Personalização  9.1. Programação linear  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidade na programação linear  9.1.3. Análise de sensibilidade em programação linear  9.1.4. Métodos de ponto interior  9.2. Programação não linear  9.2.1. Descida do Gradiente  9.2.2. Múltiplos de Lagrange  9.2.3. Otimização convexa  9.2.4. Programação quadrática  9.3. Otimização Combinatória  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programação inteira  9.3.3. Fluxo de Rede  9.3.4. Algoritmos de aproximação
  10. Matemática discreta  10.1. Teoria dos grafos  10.1.1. Representação de grafos  10.1.2. Planicidade e cor  10.1.3. Algoritmo de caminho mais curto  10.1.4. Fluxo de rede  10.2. Companheirismo  10.2.1. Percmutações e combinações  10.2.2. Função geradora  10.2.3. Relação de recorrência  10.2.4. Compreendendo o Princípio da Inclusão-Exclusão  10.3. Criptografia  10.3.1. Aplicações da teoria dos números na criptografia  10.3.2. Criptografia Simétrica e Assimétrica  10.3.3. RSA e criptografia de curva elíptica  10.3.4. Criptografia pós-quântica

Pós-graduação ↓


Probabilidade e estatística


Probabilidade e estatística são ramos da matemática que lidam com o conceito de incerteza. Elas são usadas para analisar e prever resultados e tomar decisões com base em dados. Enquanto a probabilidade fornece o quadro teórico para medir a incerteza, a estatística usa esse quadro para coletar, analisar, interpretar e apresentar dados empíricos.

Entendendo a probabilidade

A probabilidade é uma medida da chance de um evento ocorrer. Ela mede nossas expectativas sobre esse evento com base em certas condições ou experimentos. A probabilidade de qualquer evento é um número entre 0 e 1, onde 0 representa impossibilidade e 1 representa certeza. Eventos com alta probabilidade têm mais chance de ocorrer do que eventos com baixa probabilidade.

Considere um exemplo simples. Se você tem um dado de seis lados honesto, a probabilidade de obter um número específico, digamos 3, é:

Probabilidade de rolar um 3 = 1/6 = 0,1667

Isso porque o dado tem seis lados e cada lado tem a mesma chance de cair para cima.

Exemplo visual: Probabilidade de uma única rolagem de dado

1 2 3 4 5 6

Conceitos básicos de probabilidade

Experimento aleatório

Um experimento aleatório é um procedimento cujo resultado não pode ser previsto com certeza de antemão. Por exemplo, jogar uma moeda, lançar dados ou pegar uma carta de um baralho embaralhado. Apesar de sua aleatoriedade, esses experimentos podem se tornar previsíveis após uma longa série de tentativas.

Lugares de amostra e eventos

O espaço amostral de um experimento aleatório, frequentemente denotado por S, é o conjunto de todos os resultados possíveis. Cada resultado possível é chamado de ponto amostral. Um evento é qualquer subconjunto do espaço amostral. Por exemplo, ao lançar um dado, o espaço amostral S é {1, 2, 3, 4, 5, 6}, e um evento pode ser "rolar um número par", que inclui os resultados {2, 4, 6}.

Combinação de eventos

Dois ou mais eventos no espaço amostral podem ser combinados usando operações de conjunto, como união, interseção e complemento. Por exemplo, se A e B são dois eventos, então:

  • A ∪ B (União): O evento ocorre se A ou B ou ambos ocorrerem.
  • A ∩ B (Interseção): O evento ocorre se tanto A quanto B ocorrerem.
  • A' (complemento): O evento ocorre se A não ocorrer.

Leis da probabilidade

As regras de probabilidade são regras que governam como probabilidades podem ser atribuídas a eventos em um espaço de probabilidade. Estas incluem os axiomas da probabilidade, que são os seguintes:

  1. Não negatividade: A probabilidade de qualquer evento A é maior ou igual a 0. 
    P(A) ≥ 0
  2. Generalização: O espaço amostral inteiro S tem probabilidade 1. 
    P(S) = 1
  3. Aditividade: Para eventos mutuamente exclusivos A e B, a probabilidade de A ou B ocorrer é a soma de suas probabilidades individuais. 
    P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Para cenários mais complexos, a probabilidade condicional e o teorema de Bayes são conceitos essenciais:

Probabilidade condicional

A probabilidade do evento A dados que o evento B ocorreu é chamada de probabilidade condicional de A B denotada por P(A|B). Ela é calculada da seguinte forma: 

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
desde que P(B) > 0.

Teorema de Bayes

O teorema de Bayes trata das probabilidades condicionais e marginais de eventos aleatórios. É uma ferramenta importante para atualizar probabilidades com base em novas informações. O teorema de Bayes é expresso como: 

P(A|B) = [P(B|A) * P(A)] / P(B)

Variáveis aleatórias e distribuições de probabilidade

Variáveis aleatórias

Uma variável aleatória é uma variável que assume diferentes valores numéricos dependendo do resultado de um experimento aleatório. As variáveis aleatórias são classificadas em tipos discretos e contínuos.

Variáveis aleatórias discretas: Essas assumem um número contável de resultados possíveis. Por exemplo, lançar um dado e contar o número de sucessos em uma série de experimentos.

Variáveis aleatórias contínuas: Essas podem assumir um número infinito de resultados possíveis dentro de um determinado intervalo. Por exemplo, a altura exata de pessoas ou o tempo necessário para concluir uma tarefa.

Distribuições de probabilidade

A distribuição de probabilidade descreve como as probabilidades são distribuídas sobre os valores de uma variável aleatória. Para uma variável aleatória discreta, isso é conhecido como função massa de probabilidade (PMF): 

P(X = x) = p(x)
Para uma variável aleatória contínua, isso é conhecido como função densidade de probabilidade (PDF): 
f(x)
A área sob a curva da PDF para um dado intervalo fornece a probabilidade de que a variável aleatória caia dentro desse intervalo.

Exemplo visual: Função massa de probabilidade

0,25 0,20 0,25 0,05

Distribuição de probabilidade normal

Distribuição binomial

A distribuição binomial é uma distribuição discreta que descreve o número de sucessos em um determinado número de ensaios de Bernoulli independentes, com a mesma probabilidade de sucesso. A probabilidade de exatamente k sucessos em n ensaios é dada por: 

P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(nk)
onde C(n, k) é o coeficiente binomial.

Distribuição normal

A distribuição normal, também conhecida como distribuição Gaussiana, é uma distribuição contínua que é simétrica em relação à média. É definida por sua média (µ) e desvio padrão (σ) e é dada pela função densidade de probabilidade: 

f(x) = (1/(σ√(2π))) * e^(-(x-µ)²/(2σ²))

Exemplo visual: Distribuição normal

Média

Introdução à estatística

A estatística é a disciplina que trata da coleta, organização, análise, interpretação e apresentação de dados. Possui dois ramos principais: estatística descritiva e estatística inferencial.

Estatística descritiva

A estatística descritiva resume e descreve as principais características de um conjunto de dados. Isso inclui medidas de tendência central, dispersão e representação gráfica.

Medidas de tendência central: Essas medidas descrevem o centro de um conjunto de dados. As medidas comuns incluem a média, mediana e moda.

Medidas de dispersão: A dispersão representa a distribuição dos pontos de dados. As medidas comuns incluem alcance, variância e desvio padrão.

Estatística inferencial

A estatística inferencial usa amostras aleatórias de dados obtidas de uma população para descrever e fazer inferências sobre a população. Inclui teste de hipóteses, estimativa e previsão.

Teste de hipóteses

O teste de hipóteses é um método de tomar decisões usando dados obtidos de um estudo científico. Envolve testar uma suposição ou afirmação sobre um parâmetro populacional.

Por exemplo, você pode querer testar se um novo medicamento é mais eficaz do que um medicamento existente. Você forma duas hipóteses:

  • H0 (hipótese nula): Não há diferença na eficácia.
  • H1 (hipótese alternativa): O novo medicamento é mais eficaz.

Conclusão

Probabilidade e estatística formam a base da análise de dados e tomada de decisões em vários campos, incluindo ciência, engenharia, economia e outros. A probabilidade ajuda a medir a incerteza e estimar a probabilidade de resultados em experimentos aleatórios, enquanto a estatística ajuda a explicar imperativos do mundo real com base na coleta e análise de dados. Entender esses conceitos é essencial para tomar decisões informadas em um mundo incerto.


Pós-graduação → 5


U
username
0%
concluído em Pós-graduação

← Anterior (4.3.4)
Teoria da bifurcação
Próximo (5.1) →
Teoria da probabilidade

Comentários 



Probabilidade e estatística

https://www.buddymath.com/g/5?bmal=pt