Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

Posgrado ↓


Probabilidad y estadística


La probabilidad y la estadística son ramas de las matemáticas que tratan con el concepto de incertidumbre. Se utilizan para analizar y predecir resultados y tomar decisiones basadas en datos. Mientras que la probabilidad proporciona el marco teórico para medir la incertidumbre, la estadística utiliza ese marco para recopilar, analizar, interpretar y presentar datos empíricos.

Entendiendo la probabilidad

La probabilidad es una medida de la probabilidad de que ocurra un evento. Mide nuestras expectativas sobre ese evento basado en ciertas condiciones o experimentos. La probabilidad de cualquier evento es un número entre 0 y 1, donde 0 representa imposibilidad y 1 representa certeza. Los eventos con alta probabilidad son más propensos a ocurrir que los eventos con baja probabilidad.

Considera un ejemplo simple. Si tienes un dado justo de seis caras, la probabilidad de obtener un número particular, digamos el 3, es:

Probabilidad de obtener un 3 = 1/6 = 0.1667

Esto es porque el dado tiene seis caras y cada cara tiene una igual probabilidad de salir arriba.

Ejemplo visual: Probabilidad de una sola tirada de dado

1 2 3 4 5 6

Conceptos básicos de probabilidad

Experimento aleatorio

Un experimento aleatorio es un procedimiento cuyo resultado no puede predecirse con certeza de antemano. Por ejemplo, lanzar una moneda, tirar dados o sacar una carta de un mazo barajado. A pesar de su aleatoriedad, estos experimentos pueden volverse predecibles después de una larga serie de pruebas.

Espacios muestrales y eventos

El espacio muestral de un experimento aleatorio, frecuentemente denotado por S, es el conjunto de todos los resultados posibles. Cada resultado posible se llama punto muestral. Un evento es cualquier subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo, al lanzar un dado, el espacio muestral S es {1, 2, 3, 4, 5, 6} y un evento podría ser "obtener un número par", que incluye los resultados {2, 4, 6}.

Combinación de eventos

Dos o más eventos en el espacio muestral pueden combinarse utilizando operaciones de conjunto como la unión, la intersección y el complemento. Por ejemplo, si A y B son dos eventos, entonces:

  • A ∪ B (Unión): El evento ocurre si ocurre A o B o ambos.
  • A ∩ B (Intersección): El evento ocurre si ocurren tanto A como B.
  • A' (complemento): El evento ocurre si A no ocurre.

Leyes de la probabilidad

Las reglas de probabilidad son reglas que rigen cómo las probabilidades pueden asignarse a eventos en un espacio de probabilidad. Estas incluyen los axiomas de la probabilidad, que son los siguientes:

  1. No-negatividad: La probabilidad de cualquier evento A es mayor o igual a 0. 
    P(A) ≥ 0
  2. Generalización: Todo el espacio muestral S tiene probabilidad 1. 
    P(S) = 1
  3. Aditividad: Para eventos mutuamente excluyentes A y B, la probabilidad de que ocurra A o B es la suma de sus probabilidades individuales. 
    P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Para escenarios más complejos, la probabilidad condicional y el teorema de Bayes son conceptos esenciales:

Probabilidad condicional

La probabilidad de un evento A dado que ha ocurrido el evento B se llama probabilidad condicional de A dado B y se denota por P(A|B). Se calcula como sigue: 

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
siempre que P(B) > 0.

Teorema de Bayes

El teorema de Bayes trata con las probabilidades condicionales y marginales de eventos aleatorios. Es una herramienta importante para actualizar probabilidades basadas en nueva información. El teorema de Bayes se expresa como: 

P(A|B) = [P(B|A) * P(A)] / P(B)

Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad

Variables aleatorias

Una variable aleatoria es una variable que toma diferentes valores numéricos dependiendo del resultado de un experimento aleatorio. Las variables aleatorias se clasifican en tipos discretos y continuos.

Variables aleatorias discretas: Estas toman un número contable de posibles outcomes. Por ejemplo, lanzar un dado y contar el número de éxitos en una serie de experimentos.

Variables aleatorias continuas: Estas pueden tomar un número infinito de posibles resultados dentro de un rango dado. Por ejemplo, la altura exacta de las personas o el tiempo que se tarda en completar una tarea.

Distribuciones de probabilidad

La distribución de probabilidad describe cómo las probabilidades están distribuidas sobre los valores de una variable aleatoria. Para una variable aleatoria discreta, esto se conoce como función masa de probabilidad (PMF): 

P(X = x) = p(x)
Para una variable aleatoria continua, esto se conoce como función de densidad de probabilidad (PDF): 
f(x)
El área bajo la curva del PDF para un intervalo dado proporciona la probabilidad de que la variable aleatoria caiga dentro de ese intervalo.

Ejemplo visual: Función masa de probabilidad

0.25 0.20 0.25 0.05

Distribución normal de probabilidad

Distribución binomial

La distribución binomial es una distribución discreta que describe el número de éxitos en una cantidad determinada de ensayos de Bernoulli independientes, con la misma probabilidad de éxito. La probabilidad de exactamente k éxitos en n ensayos se da por: 

P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)
donde C(n, k) es el coeficiente binomial.

Distribución normal

La distribución normal, también conocida como distribución gaussiana, es una distribución continua que es simétrica respecto a la media. Se define por su media (µ) y desviación estándar (σ) y se da por la función de densidad de probabilidad: 

f(x) = (1/(σ√(2π))) * e^(-(x-µ)²/(2σ²))

Ejemplo visual: Distribución normal

Media

Introducción a la estadística

La estadística es la disciplina que trata con la recopilación, organización, análisis, interpretación y presentación de datos. Tiene dos ramas principales: estadística descriptiva y estadística inferencial.

Estadísticas descriptivas

Las estadísticas descriptivas resumen y describen las características principales de un conjunto de datos. Esto incluye medidas de tendencia central, dispersión y representación gráfica.

Medidas de tendencia central: Estas medidas describen el centro de un conjunto de datos. Las medidas comunes incluyen la media, mediana y moda.

Medidas de dispersión: La dispersión representa la dispersión de los puntos de datos. Las medidas comunes incluyen rango, varianza y desviación estándar.

Estadísticas inferenciales

La estadística inferencial usa muestras aleatorias de datos tomadas de una población para describir y hacer inferencias sobre la población. Incluye pruebas de hipótesis, estimación y predicción.

Pruebas de hipótesis

Las pruebas de hipótesis son un método para tomar decisiones usando datos obtenidos de un estudio científico. Involucra probar una suposición o afirmación sobre un parámetro de la población.

Por ejemplo, puede que desees probar si un nuevo medicamento es más efectivo que uno existente. Formas dos hipótesis:

  • H0 (hipótesis nula): No hay diferencia en efectividad.
  • H1 (hipótesis alternativa): El nuevo medicamento es más efectivo.

Conclusión

La probabilidad y la estadística forman la base del análisis de datos y la toma de decisiones en varios campos, incluyendo la ciencia, la ingeniería, la economía y otros. La probabilidad ayuda a medir la incertidumbre y estimar la probabilidad de resultados en experimentos aleatorios, mientras que la estadística ayuda a explicar imperativos del mundo real basados en la recopilación y análisis de datos. Entender estos conceptos es esencial para tomar decisiones informadas en un mundo incierto.


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