Магистратура
  1. Введение в математический анализ  1.1. Теория множеств и логика в реальном анализе  1.1.1. Множества и операции в теории множеств и логике в реальном анализе  1.1.2. Отношения и функции  1.1.3. Логика и кванторы  1.1.4. Мощность множеств  1.2. Метрика  1.2.1. Введение в открытые и замкнутые множества в метрических пространствах  1.2.2. Сходимость последовательностей в метрическом пространстве  1.2.3. Непрерывная функция в метрическом пространстве  1.2.4. Компактность и полнота в метрических пространствах в реальном анализе  1.3. Последовательности и ряды  1.3.1. Сходимость последовательностей  1.3.2. Бесконечные ряды  1.3.3. Равномерная сходимость  1.3.4. Ряды степеней  1.4. Дискриминация  1.4.1. Теорема о среднем значении  1.4.2. Ряд Тейлора  1.4.3. Функции нескольких переменных  1.4.4. Частная производная  1.5. Интеграция  1.5.1. Интегрирование Римана и Лебега  1.5.2. Неправильные интегралы  1.5.3. Теория меры: фундаментальный инструмент в интеграции  1.5.4. Теорема Фубини  1.6. Функциональный анализ  1.6.1. Понимание пространства Банака  1.6.2. Пространства Гильберта  1.6.3. Операторы на пространствах  1.6.4. Спектральная теория
  2. Абстрактная алгебра  2.1. Понимание групп в абстрактной алгебре  2.1.1. Определения и примеры групп в абстрактной алгебре  2.1.2. Гомоморфизмы групп  2.1.3. Введение в нормальные подгруппы  2.1.4. Теорема Силова  2.2. Кольца и поля  2.2.1. Идеалы и фактор-кольца  2.2.2. Расширения полей  2.2.3. Теория Галуа  2.2.4. Полиномиальные кольца  2.3. Введение в модули в абстрактной алгебре  2.3.1. Гомоморфизм модуля  2.3.2. Свободные модули  2.3.3. Введение в тензорные произведения  2.3.4. Точная последовательность в модулях  2.4. Линейная алгебра  2.4.1. Векторное пространство  2.4.2. Собственные значения и собственные векторы  2.4.3. Векторное пространство с внутренним произведением  2.4.4. Диагонализация
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Компактность и связность  3.1.3. Непрерывные отображения  3.1.4. Аксиома отделимости  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Понимание фундаментальных групп в алгебраической топологии  3.2.2. Гомотопия и гомология  3.2.3. Симплициальный комплекс  3.2.4. Точные последовательности в гомологии  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Понимание многообразий в дифференциальной топологии  3.3.2. Гладкие функции  3.3.3. Тангенциальное и котангенциальное пространство  3.3.4. Векторные расслоения
  4. Дифференциальные уравнения  4.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения  4.1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка  4.1.2. Линейные уравнения второго порядка  4.1.3. Системы дифференциальных уравнений  4.1.4. Анализ устойчивости в обыкновенных дифференциальных уравнениях  4.2. Частные дифференциальные уравнения  4.2.1. Классификация уравнений с частными производными  4.2.2. Понимание рядов Фурье в уравнениях с частными производными  4.2.3. Введение в функции Грина  4.2.4. Метод характеристик  4.3. Динамические системы в дифференциальных уравнениях  4.3.1. Теория устойчивости  4.3.2. Предельные циклы в динамических системах  4.3.3. Теория хаоса  4.3.4. Теория бифуркаций
  5. Теория вероятностей и статистика  5.1. Теория вероятностей  5.1.1. Случайные переменные  5.1.2. Распределения вероятностей  5.1.3. Закон больших чисел  5.1.4. Центральная предельная теорема  5.2. Статистическое вывод  5.2.1. Проверка гипотез  5.2.2. Доверительный интервал  5.2.3. Байесовские методы  5.2.4. Метод максимального правдоподобия  5.3. Стохастические процессы  5.3.1. Цепи Маркова  5.3.2. Броуновское движение  5.3.3. Понимание процессов Пуассона  5.3.4. Мартингейлы: всестороннее исследование в вероятности и статистике
  6. Численный анализ  6.1. Численное решение уравнений  6.1.1. Оригинальное открытие  6.1.2. Итерационные методы  6.1.3. Анализ сходимости  6.1.4. Границы ошибок в численных решениях уравнений  6.2. Численная линейная алгебра  6.2.1. Факторизация матриц  6.2.2. Вычисление собственных значений  6.2.3. Разреженные матрицы  6.2.4. Методы предобработки  6.3. Численное интегрирование и дифференцирование  6.3.1. Методы квадратур  6.3.2. Введение в конечные разности  6.3.3. Анализ ошибок в численном интегрировании и дифференцировании  6.3.4. Адаптивные методы в численном интегрировании и дифференцировании
  7. Комплексный анализ  7.1. Комплексные числа  7.1.1. Полярная форма  7.1.2. Комплексные сопряженные  7.1.3. Экспоненциальная форма комплексных чисел  7.1.4. Корни из единицы  7.2. Аналитические функции  7.2.1. Уравнения Коши — Римана  7.2.2. Степенные ряды  7.2.3. Конформное отображение  7.2.4. Гармонические функции  7.3. Интегрирование на комплексной плоскости  7.3.1. Теорема Коши  7.3.2. Теорема о вычетах  7.3.3. Контурное интегрирование  7.3.4. Интегральные преобразования
  8. Математическая логика и основания  8.1. Пропозициональная логика  8.1.1. Таблицы истинности  8.1.2. Логическая эквивалентность в пропозициональной логике  8.1.3. Техники доказательства в пропозициональной логике  8.1.4. Решение в пропозициональной логике  8.2. Логика предикатов  8.2.1. Кванторы в предикатной логике  8.2.2. Формальные системы в предикатной логике  8.2.3. Полнота и правильность  8.2.4. Модельная теория  8.3. Теория множеств  8.3.1. Кардинальность и ординальность  8.3.2. Аксиоматические системы  8.3.3. Понимание теории множеств Цермело-Френкеля  8.3.4. Силы в теории множества
  9. Настройка  9.1. Линейное программирование  9.1.1. Метод симплекс  9.1.2. Двойственность в линейном программировании  9.1.3. Анализ чувствительности в линейном программировании  9.1.4. Методы внутренних точек  9.2. Нелинейное программирование  9.2.1. Градиентный спуск  9.2.2. Множители Лагранжа  9.2.3. Выпуклая оптимизация  9.2.4. Квадратичное программирование  9.3. Комбинаторная оптимизация  9.3.1. Алгоритмы графов  9.3.2. Целочисленное программирование  9.3.3. Сетевой поток  9.3.4. Алгоритмы аппроксимации
  10. Дискретная математика  10.1. Теория графов  10.1.1. Представление графов  10.1.2. Плоскость и цвет  10.1.3. Алгоритм поиска кратчайшего пути  10.1.4. Сетевой поток  10.2. Компаньонство  10.2.1. Перестановка и сочетание  10.2.2. Порождающая функция  10.2.3. Рекуррентные соотношения  10.2.4. Понимание принципа включения-исключения  10.3. Криптография  10.3.1. Применение теории чисел в криптографии  10.3.2. Симметричное и асимметричное шифрование  10.3.3. RSA и криптография на эллиптических кривых  10.3.4. Постквантовая криптография

Магистратура → Теория вероятностей и статистика → Стохастические процессы ↓


Цепи Маркова


Цепь Маркова — это математическая система, которая переживает переходы из одного состояния в другое в соответствии с определёнными вероятностными правилами. Уникальная особенность цепи Маркова заключается в том, что будущее состояние зависит только от текущего состояния, а не от последовательности предыдущих событий.

Введение в цепи Маркова

Рассмотрим простой пример, такой как погода: если вы знаете сегодняшнюю погоду, вы можете предсказать завтрашнюю погоду, не зная погоды послезавтра. Это классический пример свойства Маркова, который утверждает, что система является "беспрепятственной". Цепи Маркова по сути моделируют ситуации, в которых это свойство выполняется.

Основные концепции

Перед тем как углубиться в изучение цепей Маркова, давайте определим некоторые основные термины:

  • Состояние: Описание состояния марковской системы в любой момент времени.
  • Переход: Процесс перехода из одного состояния в другое в цепи Маркова.
  • Вероятность перехода: Вероятность перехода из одного состояния в другое.

Математическое представление

Цепь Маркова представляется матрицей, называемой матрицей переходов. Каждый элемент в матрице представляет вероятность перехода из одного состояния в другое. Давайте рассмотрим пример:

P = | 0.7 0.3 | | 0.4 0.6 |

В этой матрице 0.7 - это вероятность остаться в состоянии 1, а 0.3 - вероятность перейти из состояния 1 в состояние 2.

Визуальный пример

Следующая диаграмма показывает простую цепь Маркова с двумя состояниями:

S1 S2 0.3 0.4

В этом примере стрелка, идущая от S1 к S2, имеет вероятность перехода 0.3, что означает 30% вероятность перехода из состояния 1 в состояние 2.

Типы цепей Маркова

Существуют в основном два типа цепей Маркова:

  • Марковская цепь с дискретным временем: Этот процесс происходит в дискретных шагах или состояниях.
  • Марковская цепь с непрерывным временем: Изменения (переходы) могут происходить в любое время.

Стабильное распределение

Цепь Маркова может достичь точки, в которой вероятности находиться в каждом состоянии становятся стабильными. Это называется стационарным распределением. Оно может быть рассчитано путем решения следующего уравнения:

πP = π

Здесь π обозначает вектор стационарного распределения, а P — матрицу переходов.

Текстовый пример

Предположим, вы работаете инженером по машинному обучению, разрабатывая рекомендательную систему для платформы потокового видео. Вы сталкиваетесь с двумя состояниями, которые представляют действия пользователя: "просмотр" и "поиск". Пользователь может переключаться между этими состояниями на основе определённых вероятностей. Используя матрицу переходов, вы представляете эти вероятности следующим образом:

P = | 0.8 0.2 | | 0.5 0.5 |

После нескольких итераций вы обнаруживаете, что распределение вероятностей не изменяется. Это стабильное распределение помогает вам понять поведение пользователей со временем.

Применение цепей Маркова

Цепи Маркова используются в различных областях, включая:

  • Экономику: моделирование цен акций и экономических тенденций.
  • Биологию: моделирование динамики популяций.
  • Теорию очередей: моделирование систем с очередями обслуживания.
  • Вычислительные алгоритмы: такие как алгоритм PageRank от Google.

Примеры в теории очередей

Представьте себе одноканальную очередь, в которой клиенты прибывают случайным образом. Система может быть смоделирована с помощью цепи Маркова, где состояния представляют количество клиентов в системе. Вероятности переходов основаны на частоте прибытия и скорости обслуживания.

Например, рассмотрим супермаркет с кассой. Клиенты прибывают с случайными интервалами, а время, затрачиваемое на обслуживание каждого клиента, варьируется. Время прибытия и обслуживания формируют основу вероятностей переходов, а длина очереди представляет различные состояния цепи Маркова.

Решение цепей Маркова

Решение цепи Маркова обычно заключается в нахождении стационарного распределения. Это обычно делается одним из двух способов:

  • Итерация: умножение начального распределения на матрицу переходов до тех пор, пока оно не станет стационарным.
  • Прямое решение: использование линейной алгебры для решения πP = π, с дополнительными ограничениями, такими как сумма элементов π до 1.

Пример расчёта

Решим цепь Маркова с помощью рекурсии. Предположим, у нас есть начальное распределение состояний: [1, 0]. С матрицей переходов:

P = | 0.9 0.1 | | 0.2 0.8 |

Наше начальное распределение говорит, что мы начинаем в состоянии 1 с уверенностью. После перехода распределение становится:

[1, 0] * | 0.9 0.1 | = | 0.9 0.1 |

Повторение этих умножений в конечном счёте даст стационарное распределение.

Заключение

Цепи Маркова являются мощными инструментами в области вероятности и статистики для моделирования случайных процессов. Они особенно полезны, когда система демонстрирует свойства Маркова, где следующее состояние зависит только от текущего состояния, и поэтому оно резюмирует всё, что нужно знать о прошлом. Понимание основ цепей Маркова поможет вам решить широкий спектр задач в науке и технике.

Темы под цепями Маркова, такие как типы, приложения и решения, очень широки, и их продолжительное изучение может заложить прочную основу для изучения продвинутых тем в области стохастических процессов.


Магистратура → 5.3.1


U
username
0%
завершено в Магистратура

← предыдущая (5.3)
Стохастические процессы
следующая (5.3.2) →
Броуновское движение

комментарии 



Цепи Маркова

https://www.buddymath.com/g/5.3.1?bmal=ru