Pós-graduação
  1. Introdução à análise real  1.1. Teoria dos conjuntos e lógica em análise real  1.1.1. Conjuntos e operações na teoria dos conjuntos e lógica em análise real  1.1.2. Relações e funções  1.1.3. Lógica e quantificadores  1.1.4. Cardinalidade dos conjuntos  1.2. Espaço métrico  1.2.1. Introdução aos conjuntos abertos e fechados em espaços métricos  1.2.2. Convergência de sequências em um espaço métrico  1.2.3. Função contínua em um espaço métrico  1.2.4. Compacidade e completude em espaços métricos na análise real  1.3. Sequências e séries  1.3.1. Convergência de sequências  1.3.2. Séries infinitas  1.3.3. Convergência uniforme  1.3.4. Séries de potências  1.4. Discriminação  1.4.1. Teorema do valor médio  1.4.2. Série de Taylor  1.4.3. Funções de várias variáveis  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integração  1.5.1. Integração de Riemann e Lebesgue  1.5.2. Integrais impróprias  1.5.3. Teoria da Medida: uma ferramenta fundamental na integração  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análise funcional  1.6.1. Compreendendo espaços de Banach  1.6.2. Espaços de Hilbert  1.6.3. Operadores em espaços  1.6.4. Teoria Espectral
  2. Álgebra Abstrata  2.1. Compreendendo grupos na álgebra abstrata  2.1.1. Definições e exemplos de grupos na álgebra abstrata  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introdução aos subgrupos normais  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anéis e campos  2.2.1. Ideais e anéis quocientes  2.2.2. Extensões de campos  2.2.3. Teoria de Galois  2.2.4. Anéis de polinômios  2.3. Introdução aos módulos em álgebra abstrata  2.3.1. Homomorfismo de Módulos  2.3.2. Módulos livres  2.3.3. Introdução aos produtos tensoriais  2.3.4. Sequência exata em módulos  2.4. Álgebra linear  2.4.1. Espaço vetorial  2.4.2. Autovalores e autovetores  2.4.3. Espaço de produto interno  2.4.4. Diagonalização
  3. Topologia  3.1. Topologia Geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Compacidade e conexidade  3.1.3. Mapas contínuos  3.1.4. Axioma de separação  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Compreendendo grupos fundamentais em topologia algébrica  3.2.2. Homotopia e homologia  3.2.3. Complexo simplicial  3.2.4. Sequências exatas em homologia  3.3. Topologia Diferencial  3.3.1. Compreendendo variedades na topologia diferencial  3.3.2. Funções Suaves  3.3.3. Espaço tangente e cotangente  3.3.4. Feixes vetoriais
  4. Equações diferenciais  4.1. Equação diferencial ordinária  4.1.1. Equações de primeira ordem  4.1.2. Equações lineares de segunda ordem  4.1.3. Sistemas de equações diferenciais  4.1.4. Análise de estabilidade em equações diferenciais ordinárias  4.2. Equações diferenciais parciais  4.2.1. Classificação de PDE  4.2.2. Compreendendo séries de Fourier em equações diferenciais parciais  4.2.3. Introdução às funções de Green  4.2.4. Método de caracterização  4.3. Sistemas dinâmicos em equações diferenciais  4.3.1. Teoria da Sustentabilidade  4.3.2. Ciclos limite em sistemas dinâmicos  4.3.3. Teoria do caos  4.3.4. Teoria da bifurcação
  5. Probabilidade e estatística  5.1. Teoria da probabilidade  5.1.1. Variáveis aleatórias  5.1.2. Distribuições de probabilidade  5.1.3. Lei dos grandes números  5.1.4. Teorema Central do Limite  5.2. Inferência estatística  5.2.1. Teste de hipótese  5.2.2. Intervalo de confiança  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimativa de máxima verossimilhança  5.3. Processos estocásticos  5.3.1. Cadeias de Markov  5.3.2. Movimento Browniano  5.3.3. Compreendendo os processos de Poisson  5.3.4. Martingales: Um estudo abrangente em probabilidade e estatística
  6. Análise numérica  6.1. Soluções numéricas de equações  6.1.1. Descoberta original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análise de convergência  6.1.4. Limites de erro em soluções numéricas de equações  6.2. Álgebra linear numérica  6.2.1. Fatoração de matrizes  6.2.2. Cálculo de autovalores  6.2.3. Matrizes esparsas  6.2.4. Técnicas de pré-condicionamento  6.3. Integração e diferenciação numéricas  6.3.1. Métodos de quadratura  6.3.2. Introdução às diferenças finitas  6.3.3. Análise de erro na integração e diferenciação numérica  6.3.4. Métodos adaptativos em integração e diferenciação numérica
  7. Análise complexa  7.1. Números complexos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados Complexos  7.1.3. Forma exponencial de números complexos  7.1.4. Raízes da unidade  7.2. Funções analíticas  7.2.1. Equações de Cauchy–Riemann  7.2.2. Séries de potências  7.2.3. Mapeamento conforme  7.2.4. Funções harmônicas  7.3. Integração no plano complexo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema do resíduo  7.3.3. Integração de contorno  7.3.4. Transformadas integrais
  8. Lógica Matemática e Fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tabelas de verdade  8.1.2. Equivalência lógica na lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de prova em lógica proposicional  8.1.4. Solução na lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Quantificadores na lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formais na lógica de predicados  8.2.3. Completude e correção  8.2.4. Teoria dos modelos  8.3. Teoria dos conjuntos  8.3.1. Cardinalidade e ordinalidade  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Compreendendo a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Forças na teoria dos conjuntos
  9. Personalização  9.1. Programação linear  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidade na programação linear  9.1.3. Análise de sensibilidade em programação linear  9.1.4. Métodos de ponto interior  9.2. Programação não linear  9.2.1. Descida do Gradiente  9.2.2. Múltiplos de Lagrange  9.2.3. Otimização convexa  9.2.4. Programação quadrática  9.3. Otimização Combinatória  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programação inteira  9.3.3. Fluxo de Rede  9.3.4. Algoritmos de aproximação
  10. Matemática discreta  10.1. Teoria dos grafos  10.1.1. Representação de grafos  10.1.2. Planicidade e cor  10.1.3. Algoritmo de caminho mais curto  10.1.4. Fluxo de rede  10.2. Companheirismo  10.2.1. Percmutações e combinações  10.2.2. Função geradora  10.2.3. Relação de recorrência  10.2.4. Compreendendo o Princípio da Inclusão-Exclusão  10.3. Criptografia  10.3.1. Aplicações da teoria dos números na criptografia  10.3.2. Criptografia Simétrica e Assimétrica  10.3.3. RSA e criptografia de curva elíptica  10.3.4. Criptografia pós-quântica

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Cadeias de Markov


Uma cadeia de Markov é um sistema matemático que experimenta transições de um estado para outro de acordo com certas regras probabilísticas. A característica única de uma cadeia de Markov é que o estado futuro depende apenas do estado atual, não da sequência de eventos anteriores.

Introdução às cadeias de Markov

Considere um exemplo simples como o clima: se você conhece o clima de hoje, pode prever o clima de amanhã, sem precisar saber o clima do dia depois de amanhã. Este é um exemplo clássico da propriedade de Markov, que afirma que o sistema é "sem memória". Cadeias de Markov essencialmente modelam situações onde esta propriedade é verdadeira.

Conceitos básicos

Antes de nos aprofundarmos nas cadeias de Markov, vamos definir alguns termos básicos:

  • Estado: Uma descrição do estado do sistema de Markov em qualquer momento.
  • Transição: O processo de se mover de um estado para outro em uma cadeia de Markov.
  • Probabilidade de Transição: A probabilidade de mover de um estado para outro.

Representação matemática

Uma cadeia de Markov é representada por uma matriz chamada matriz de transição. Cada elemento na matriz representa a probabilidade de mover de um estado para outro. Vejamos um exemplo:

P = | 0.7 0.3 | | 0.4 0.6 |

Nesta matriz, 0.7 é a probabilidade de permanecer no estado 1, e 0.3 é a probabilidade de mover do estado 1 para o estado 2.

Exemplo visual

O diagrama a seguir mostra uma cadeia de Markov simples com dois estados:

S1 S2 0.3 0.4

Neste exemplo, a seta indo de S1 para S2 tem uma probabilidade de transição de 0.3, o que significa que há 30% de chance de ir do estado 1 para o estado 2.

Tipos de cadeias de Markov

Existem principalmente dois tipos de cadeias de Markov:

  • Cadeia de Markov de tempo discreto: Este processo avança em etapas ou estados discretos.
  • Cadeia de Markov de tempo contínuo: Mudanças (transições) podem acontecer a qualquer momento.

Distribuição estável

A cadeia de Markov pode atingir um ponto onde as probabilidades de estar em cada estado se tornam estáveis. Isso é chamado de distribuição estacionária. Pode ser calculada resolvendo a seguinte equação:

πP = π

Aqui, π denota o vetor de distribuição estacionária, e P é a matriz de transição.

Exemplo de texto

Suponha que você seja um engenheiro de aprendizado de máquina trabalhando em um sistema de recomendação para uma plataforma de streaming. Você encontra dois estados que representam ações do usuário: “assistindo” e “navegando”. O usuário pode alternar entre esses estados com base em certas probabilidades. Usando uma matriz de transição, você representa essas probabilidades da seguinte forma:

P = | 0.8 0.2 | | 0.5 0.5 |

Após várias iterações, você descobre que a distribuição de probabilidades não muda. Esta distribuição estável ajuda você a entender o comportamento do usuário ao longo do tempo.

Aplicações das cadeias de Markov

As cadeias de Markov são usadas em diversos campos, incluindo:

  • Economia: Modelagem de preços de ações e tendências econômicas.
  • Biologia: Simulação da dinâmica populacional.
  • Teoria das filas: modelagem de sistemas com filas de serviço.
  • Algoritmos computacionais: como o algoritmo PageRank do Google.

Exemplos na teoria das filas

Imagine uma fila com um único servidor onde os clientes chegam aleatoriamente. O sistema pode ser modelado usando uma cadeia de Markov, onde os estados representam o número de clientes no sistema. As probabilidades de transição são baseadas em taxas de chegada e de serviço.

Por exemplo, considere um supermercado com um balcão de pagamento. Os clientes chegam em intervalos aleatórios, e o tempo levado para atender cada cliente varia. Os tempos de chegada e serviço formam a base das probabilidades de transição, e o comprimento da fila representa os diferentes estados da cadeia de Markov.

Resolvendo cadeias de Markov

Resolver uma cadeia de Markov geralmente envolve encontrar a distribuição estacionária. Isso geralmente é feito de uma das duas maneiras:

  • Iteração: Multiplicar a distribuição inicial pela matriz de transição até que se torne estacionária.
  • Solução direta: Usar álgebra linear para resolver πP = π, com restrições adicionais, como π somando-se a 1.

Cálculo exemplo

Vamos resolver a cadeia de Markov usando recursão. Suponha que temos uma distribuição de estado inicial: [1, 0]. Com uma matriz de transição:

P = | 0.9 0.1 | | 0.2 0.8 |

Nossa distribuição inicial diz que começamos no estado 1 com certeza. Após uma transição, a distribuição se torna:

[1, 0] * | 0.9 0.1 | = | 0.9 0.1 |

Repetir essas multiplicações eventualmente dará a distribuição estacionária.

Conclusão

Cadeias de Markov são ferramentas poderosas em probabilidade e estatística para modelar processos aleatórios. Elas são particularmente úteis quando o sistema apresenta propriedades de Markov, onde o próximo estado depende apenas do estado atual e, portanto, resume tudo que você precisa saber sobre o passado. Compreender os conceitos básicos de cadeias de Markov ajudará a resolver uma ampla variedade de problemas em ciência e engenharia.

Os tópicos sob cadeias de Markov, como tipos, aplicações e soluções, são muito amplos, e o estudo contínuo pode lançar uma base sólida para tópicos avançados em processos estocásticos.


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