マルコフ連鎖

マルコフ連鎖は、特定の確率的なルールに従って、ある状態から別の状態へと移行する数学的システムです。マルコフ連鎖の特異な特徴は、未来の状態が現在の状態のみに依存し、その前の出来事の連続には依存しないことです。

マルコフ連鎖の導入

例えば天気のような簡単な例を考えます。今日の天気がわかれば、明日の天気を予測できますが、明後日の天気は必要ありません。これは「メモリなし」というマルコフ性の典型的な例です。マルコフ連鎖はこの性質が真である状況をモデル化します。

基本概念

マルコフ連鎖を深く理解する前に、いくつかの基本的な用語を定義します：

• 状態：任意の時点でのマルコフシステムの状態の説明。
• 遷移：マルコフ連鎖である状態から別の状態へ移る過程。
• 遷移確率：ある状態から別の状態へ移る確率。

数学的表現

マルコフ連鎖は、遷移行列と呼ばれる行列で表されます。行列の各要素は、ある状態から別の状態へ移る確率を表します。例を見てみましょう：

P = | 0.7 0.3 | | 0.4 0.6 |

この行列では、0.7は状態1に留まる確率であり、0.3は状態1から状態2に移る確率です。

視覚的例

次の図は、2つの状態を持つシンプルなマルコフ連鎖を示しています：

この例では、S1からS2への矢印は0.3の遷移確率を持ち、30％の確率で状態1から状態2に移行します。

マルコフ連鎖の種類

主に2つのタイプのマルコフ連鎖があります：

• 離散時間マルコフ連鎖：このプロセスは離散的なステップや状態で進行します。
• 連続時間マルコフ連鎖：変更（遷移）は任意の時点で発生します。

定常分布

マルコフ連鎖は、各状態にいる確率が安定する点に到達することがあります。これは定常分布と呼ばれます。次の方程式を解くことで計算できます：

πP = π

ここで、πは定常分布ベクトルを表し、Pは遷移行列です。

テキスト例

たとえば、ストリーミングプラットフォームのレコメンデーションシステムに取り組んでいる機械学習エンジニアだとします。ユーザーのアクションを表す2つの状態、「視聴」と「閲覧」があります。ユーザーは特定の確率に基づいてこれらの状態間を移動できます。遷移行列を使用してこれらの確率を次のように表します：

P = | 0.8 0.2 | | 0.5 0.5 |

何度か繰り返すと、確率分布が変わらないことがわかります。この安定した分布は、時間の経過に伴うユーザーの行動を理解するのに役立ちます。

マルコフ連鎖の応用

マルコフ連鎖は様々な分野で使用されています：

• 経済学：株価や経済動向のモデリング。
• 生物学：人口動態のシミュレーション。
• 待ち行列理論：サービスラインを持つシステムのモデリング。
• 計算アルゴリズム：GoogleのPageRankアルゴリズムなど。

待ち行列理論の例

ランダムに顧客が到着する単一サーバーの待ち行列を想像します。このシステムは、マルコフ連鎖を使用してモデル化できます。ここで、状態はシステム内の顧客の数を表します。遷移確率は到着率とサービス率に基づいています。

例えば、スーパーマーケットのレジカウンターを考えます。顧客はランダムな間隔で到着し、各顧客のサービスにかかる時間は異なります。到着とサービス時間が遷移確率の基礎を成し、待ち行列の長さがマルコフ連鎖の異なる状態を表します。

マルコフ連鎖の解法

マルコフ連鎖を解くには通常、定常分布を見つけます。通常、次の2つの方法で行います：

• 反復法：初期分布を遷移行列で乗算し、定常になるまで続けます。
• 直接解法：πP = πを解くために線形代数を使用し、πが1になるように追加の制約を加えます。

計算例

再帰を使用してマルコフ連鎖を解いてみましょう。初期状態分布が[1, 0]の場合、遷移行列：

P = | 0.9 0.1 | | 0.2 0.8 |

初期分布により、確実に状態1で開始します。遷移後の分布は：

[1, 0] * | 0.9 0.1 | = | 0.9 0.1 |

これらの乗算を繰り返すことで最終的に定常分布が得られます。

結論

マルコフ連鎖は、確率論や統計学においてランダムなプロセスをモデル化する強力なツールです。特に、次の状態が現在の状態のみに依存するシステムで有用であり、このため過去について知る必要があるすべてのことを要約します。マルコフ連鎖の基本を理解することで、科学や工学におけるさまざまな問題を解決するのに役立ちます。

マルコフ連鎖に関するトピック、例えば種類、応用、および解法は非常に広範であり、継続的な学習により確率過程の高度なトピックに関する強固な基礎を築くことができます。

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