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मार्कोव चेन
मार्कोव चेन एक गणितीय प्रणाली है जो कुछ संभाव्य नियमों के अनुसार एक अवस्था से दूसरी अवस्था में परिवर्तन का अनुभव करती है। मार्कोव चेन की विशेष विशेषता यह है कि भविष्य की अवस्था केवल वर्तमान अवस्था पर निर्भर करती है, न कि इसके पहले की घटनाओं के अनुक्रम पर।
मार्कोव चेन का परिचय
मौसम जैसे आसान उदाहरण पर विचार करें: यदि आपको आज का मौसम पता है, तो आप कल के मौसम का अनुमान बिना परसों के मौसम को जाने कर सकते हैं। यह मार्कोव गुण का एक क्लासिक उदाहरण है, जो बताता है कि प्रणाली "स्मृतिविहीन" है। मार्कोव चेन मूल रूप से उन परिस्थितियों को मॉडल करते हैं जहाँ यह गुण सत्य होता है।
मूल अवधारणाएँ
मार्कोव चेन में गहराई तक जाने से पहले, आइए कुछ बुनियादी शब्दों को परिभाषित करें:
- अवस्था: किसी भी समय मार्कोव प्रणाली की अवस्था का वर्णन।
- संक्रमण: मार्कोव चेन में एक अवस्था से दूसरी अवस्था में जाने की प्रक्रिया।
- संक्रमण संभाव्यता: एक अवस्था से दूसरी अवस्था में जाने की संभाव्यता।
गणितीय अभ्यविन्यास
मार्कोव चेन को एक मैट्रिक्स के द्वारा निरुपित किया जाता है जिसे संक्रमण मैट्रिक्स कहा जाता है। इस मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व एक अवस्था से दूसरी अवस्था में जाने की संभाव्यता को दर्शाते हैं। आइए एक उदाहरण देखें:
P = | 0.7 0.3 | | 0.4 0.6 |इस मैट्रिक्स में, 0.7 पहली अवस्था में बने रहने की संभाव्यता है, और 0.3 पहली अवस्था से दूसरी अवस्था में जाने की संभाव्यता है।
दृश्य उदाहरण
निम्नलिखित आरेख एक सरल मार्कोव चेन को दो अवस्थाओं के साथ प्रदर्शित करता है:
इस उदाहरण में, S1 से S2 की ओर जा रहे तीर के संक्रमण संभाव्यता 0.3 है, जो बताता है कि यह पहली अवस्था से दूसरी अवस्था में जाने की 30% संभावना है।
मार्कोव चेन के प्रकार
मुख्य रूप से दो प्रकार के मार्कोव चेन होते हैं:
- डिस्क्रीट-टाइम मार्कोव चेन: यह प्रक्रिया डिस्क्रीट चरणों या अवस्थाओं में आगे बढ़ती है।
- कंटीन्यूअस-टाइम मार्कोव चेन: परिवर्तन (संक्रमण) किसी भी समय हो सकते हैं।
स्थिर वितरण
मार्कोव चेन उस बिंदु पर पहुँच सकते हैं जहाँ प्रत्येक अवस्था में होने की संभावनाएँ स्थिर हो जाती हैं। इसे स्थिर वितरण कहा जाता है। इसे निम्नलिखित समीकरण को हल करके निकाला जा सकता है:
πP = πयहाँ, π स्थिर वितरण वेक्टर का प्रतिनिधित्व करता है, और P संक्रमण मैट्रिक्स है।
पाठ्य उदाहरण
मान लें आप एक मशीन लर्निंग इंजीनियर हैं जो एक स्ट्रीमिंग प्लेटफॉर्म के लिए अनुशंसा प्रणाली पर काम कर रहे हैं। आपको दो अवस्थाएँ मिलती हैं जो उपयोगकर्ता क्रियाओं का प्रतिनिधित्व करती हैं: "देखना" और "ब्राउज़िंग।" उपयोगकर्ता इन अवस्थाओं के बीच कुछ संभावनाओं के आधार पर स्विच कर सकते हैं। एक संक्रमण मैट्रिक्स का उपयोग करके, आप इन संभावनाओं को निम्नानुसार दर्शाते हैं:
P = | 0.8 0.2 | | 0.5 0.5 |कई पुनरावृत्तियों के बाद, आपको पता चलता है कि संभाव्यता वितरण नहीं बदलता। यह स्थिर वितरण आपको समय के साथ उपयोगकर्ता व्यवहार को समझने में मदद करता है।
मार्कोव चेन के अनुप्रयोग
मार्कोव चेन का उपयोग कई क्षेत्रों में किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:
- अर्थशास्त्र: स्टॉक की कीमतों और आर्थिक प्रवृत्तियों का मॉडलिंग।
- जीवविज्ञान: जनसंख्या गतिकी का स्वरूपण।
- क्यूइंग थ्योरी: सेवा लाइनों के साथ सिस्टम का मॉडलिंग।
- गणनात्मक एल्गोरिदम: जैसे कि गूगल के पेजरैंक एल्गोरिदम।
क्यूइंग थ्योरी में उदाहरण
कल्पना करें कि एकल-सर्वर कतार है जहां ग्राहक अनियमित रूप से आते हैं। सिस्टम को मार्कोव चेन का उपयोग करते हुए मॉडल किया जा सकता है, जहां अवस्थाएं सिस्टम में ग्राहकों की संख्या का प्रतिनिधित्व करती हैं। संक्रमण संभावनाएं आगमन और सेवा दरों पर आधारित होती हैं।
उदाहरण के लिए, एक सुपरमार्केट के चेकआउट काउंटर पर विचार करें। ग्राहक यादृच्छिक अंतराल पर आते हैं, और प्रत्येक ग्राहक की सेवा में लगने वाला समय भिन्न होता है। आगमन और सेवा समय संक्रमण संभावनाओं का आधार बनाते हैं, और कतार लंबाई मार्कोव चेन की विभिन्न अवस्थाओं को प्रदर्शित करती है।
मार्कोव चेन को हल करना
मार्कोव चेन को हल करना आमतौर पर स्थिर वितरण को खोजने में शामिल होता है। इसे आमतौर पर दो तरीकों में से एक में किया जाता है:
- आवृत्ति से: संक्रमण मैट्रिक्स का उपयोग करके प्रारंभिक वितरण को तब तक गुणा करें जब तक कि यह स्थिर न हो जाए।
- प्रत्यक्ष समाधान: रेखीय बीजगणित का उपयोग करके
πP = πको हल करें, जैसे किπकी यथाकथित एकता जैसी अतिरिक्त बाधाएँ।
उदाहरण गणना
चलो मार्कोव चेन को पुनरावृत्ति का उपयोग करते हुए हल करते हैं। मान लीजिए हमारे पास प्रारंभिक अवस्था वितरण है: [1, 0]। एक संक्रमण मैट्रिक्स के साथ:
P = | 0.9 0.1 | | 0.2 0.8 |हमारा प्रारंभिक वितरण कहता है कि हम निश्चित रूप से अवस्था 1 में शुरू करते हैं। एक संक्रमण के बाद, वितरण बन जाता है:
[1, 0] * | 0.9 0.1 | = | 0.9 0.1 |इन गुणनों को दोहराने से अंततः स्थिर वितरण प्राप्त होगा।
निष्कर्ष
मार्कोव चेन संभावना और सांख्यिकी में आकस्मिक प्रक्रियाओं का मॉडलिंग करने के लिए शक्तिशाली उपकरण हैं। वे विशेष रूप से उपयोगी होते हैं जब प्रणाली मार्कोव गुण प्रदर्शित करती है, जहां अगली अवस्था केवल वर्तमान अवस्था पर निर्भर करती है और इसलिए यह अतीत के बारे में आपको जानने के लिए सब कुछ संक्षेपित करता है। मार्कोव चेन की बुनियादी समझ आपको विज्ञान और अभियंत्रण में विभिन्न समस्याओं से निपटने में मदद करेगी।
मार्कोव चेन के अंतर्गत आने वाले विषय, जैसे प्रकार, अनुप्रयोग, और समाधान, बहुत व्यापक हैं, और निरंतर अध्ययन आकस्मिक प्रक्रियाओं में उन्नत विषयों के लिए एक मजबूत नींव रख सकता है।
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