Pós-graduação
  1. Introdução à análise real  1.1. Teoria dos conjuntos e lógica em análise real  1.1.1. Conjuntos e operações na teoria dos conjuntos e lógica em análise real  1.1.2. Relações e funções  1.1.3. Lógica e quantificadores  1.1.4. Cardinalidade dos conjuntos  1.2. Espaço métrico  1.2.1. Introdução aos conjuntos abertos e fechados em espaços métricos  1.2.2. Convergência de sequências em um espaço métrico  1.2.3. Função contínua em um espaço métrico  1.2.4. Compacidade e completude em espaços métricos na análise real  1.3. Sequências e séries  1.3.1. Convergência de sequências  1.3.2. Séries infinitas  1.3.3. Convergência uniforme  1.3.4. Séries de potências  1.4. Discriminação  1.4.1. Teorema do valor médio  1.4.2. Série de Taylor  1.4.3. Funções de várias variáveis  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integração  1.5.1. Integração de Riemann e Lebesgue  1.5.2. Integrais impróprias  1.5.3. Teoria da Medida: uma ferramenta fundamental na integração  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análise funcional  1.6.1. Compreendendo espaços de Banach  1.6.2. Espaços de Hilbert  1.6.3. Operadores em espaços  1.6.4. Teoria Espectral
  2. Álgebra Abstrata  2.1. Compreendendo grupos na álgebra abstrata  2.1.1. Definições e exemplos de grupos na álgebra abstrata  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introdução aos subgrupos normais  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anéis e campos  2.2.1. Ideais e anéis quocientes  2.2.2. Extensões de campos  2.2.3. Teoria de Galois  2.2.4. Anéis de polinômios  2.3. Introdução aos módulos em álgebra abstrata  2.3.1. Homomorfismo de Módulos  2.3.2. Módulos livres  2.3.3. Introdução aos produtos tensoriais  2.3.4. Sequência exata em módulos  2.4. Álgebra linear  2.4.1. Espaço vetorial  2.4.2. Autovalores e autovetores  2.4.3. Espaço de produto interno  2.4.4. Diagonalização
  3. Topologia  3.1. Topologia Geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Compacidade e conexidade  3.1.3. Mapas contínuos  3.1.4. Axioma de separação  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Compreendendo grupos fundamentais em topologia algébrica  3.2.2. Homotopia e homologia  3.2.3. Complexo simplicial  3.2.4. Sequências exatas em homologia  3.3. Topologia Diferencial  3.3.1. Compreendendo variedades na topologia diferencial  3.3.2. Funções Suaves  3.3.3. Espaço tangente e cotangente  3.3.4. Feixes vetoriais
  4. Equações diferenciais  4.1. Equação diferencial ordinária  4.1.1. Equações de primeira ordem  4.1.2. Equações lineares de segunda ordem  4.1.3. Sistemas de equações diferenciais  4.1.4. Análise de estabilidade em equações diferenciais ordinárias  4.2. Equações diferenciais parciais  4.2.1. Classificação de PDE  4.2.2. Compreendendo séries de Fourier em equações diferenciais parciais  4.2.3. Introdução às funções de Green  4.2.4. Método de caracterização  4.3. Sistemas dinâmicos em equações diferenciais  4.3.1. Teoria da Sustentabilidade  4.3.2. Ciclos limite em sistemas dinâmicos  4.3.3. Teoria do caos  4.3.4. Teoria da bifurcação
  5. Probabilidade e estatística  5.1. Teoria da probabilidade  5.1.1. Variáveis aleatórias  5.1.2. Distribuições de probabilidade  5.1.3. Lei dos grandes números  5.1.4. Teorema Central do Limite  5.2. Inferência estatística  5.2.1. Teste de hipótese  5.2.2. Intervalo de confiança  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimativa de máxima verossimilhança  5.3. Processos estocásticos  5.3.1. Cadeias de Markov  5.3.2. Movimento Browniano  5.3.3. Compreendendo os processos de Poisson  5.3.4. Martingales: Um estudo abrangente em probabilidade e estatística
  6. Análise numérica  6.1. Soluções numéricas de equações  6.1.1. Descoberta original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análise de convergência  6.1.4. Limites de erro em soluções numéricas de equações  6.2. Álgebra linear numérica  6.2.1. Fatoração de matrizes  6.2.2. Cálculo de autovalores  6.2.3. Matrizes esparsas  6.2.4. Técnicas de pré-condicionamento  6.3. Integração e diferenciação numéricas  6.3.1. Métodos de quadratura  6.3.2. Introdução às diferenças finitas  6.3.3. Análise de erro na integração e diferenciação numérica  6.3.4. Métodos adaptativos em integração e diferenciação numérica
  7. Análise complexa  7.1. Números complexos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados Complexos  7.1.3. Forma exponencial de números complexos  7.1.4. Raízes da unidade  7.2. Funções analíticas  7.2.1. Equações de Cauchy–Riemann  7.2.2. Séries de potências  7.2.3. Mapeamento conforme  7.2.4. Funções harmônicas  7.3. Integração no plano complexo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema do resíduo  7.3.3. Integração de contorno  7.3.4. Transformadas integrais
  8. Lógica Matemática e Fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tabelas de verdade  8.1.2. Equivalência lógica na lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de prova em lógica proposicional  8.1.4. Solução na lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Quantificadores na lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formais na lógica de predicados  8.2.3. Completude e correção  8.2.4. Teoria dos modelos  8.3. Teoria dos conjuntos  8.3.1. Cardinalidade e ordinalidade  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Compreendendo a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Forças na teoria dos conjuntos
  9. Personalização  9.1. Programação linear  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidade na programação linear  9.1.3. Análise de sensibilidade em programação linear  9.1.4. Métodos de ponto interior  9.2. Programação não linear  9.2.1. Descida do Gradiente  9.2.2. Múltiplos de Lagrange  9.2.3. Otimização convexa  9.2.4. Programação quadrática  9.3. Otimização Combinatória  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programação inteira  9.3.3. Fluxo de Rede  9.3.4. Algoritmos de aproximação
  10. Matemática discreta  10.1. Teoria dos grafos  10.1.1. Representação de grafos  10.1.2. Planicidade e cor  10.1.3. Algoritmo de caminho mais curto  10.1.4. Fluxo de rede  10.2. Companheirismo  10.2.1. Percmutações e combinações  10.2.2. Função geradora  10.2.3. Relação de recorrência  10.2.4. Compreendendo o Princípio da Inclusão-Exclusão  10.3. Criptografia  10.3.1. Aplicações da teoria dos números na criptografia  10.3.2. Criptografia Simétrica e Assimétrica  10.3.3. RSA e criptografia de curva elíptica  10.3.4. Criptografia pós-quântica

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Inferência estatística


Inferência estatística é um método de fazer julgamentos ou previsões sobre uma população com base em uma amostra de dados retirada dessa população. É um aspecto fundamental da estatística e lida com a formulação de conclusões sobre as características ou parâmetros de um grupo maior, examinando um subgrupo menor. O processo envolve testes de hipóteses, estimativa e cálculo de intervalos de confiança.

Conceitos chave da inferência estatística

Para entender inferência estatística, é importante primeiro entender alguns conceitos básicos:

População e amostra

A população inclui todos os pontos de dados ou itens que estamos interessados em estudar, enquanto a amostra é um subconjunto da população que realmente observamos e analisamos. Por exemplo, se um fabricante de carros quer testar a eficiência média de combustível de um novo modelo, a população incluiria todas as unidades produzidas, e a amostra poderia ser 100 carros testados para eficiência de combustível.

Parâmetros e estatísticas

Um parâmetro é uma medida que descreve uma característica de uma população, como a média ou o desvio padrão. Em contraste, uma estatística é uma medida que descreve uma característica de uma amostra. Por exemplo, se a altura média de uma amostra de 100 pessoas aleatórias é 5'7", essa média é uma estatística.

Distribuição amostral

A distribuição amostral é a distribuição de uma dada estatística com base em uma amostra aleatória. É um conceito importante porque nos permite entender como uma estatística pode variar de amostra para amostra, ajudando-nos a fazer inferências sobre um parâmetro populacional.

0 distribuição de população

Este gráfico mostra a distribuição da população com pontos de dados amostrais aleatórios indicados por círculos vermelhos.

Procedimentos em inferência estatística

A inferência estatística geralmente envolve vários procedimentos:

Estimativa pontual

A estimativa pontual envolve o uso de dados amostrais para calcular um único valor (conhecido como estimativa pontual) que serve como um "palpite" ou estimativa de um parâmetro desconhecido da população. Estimadores pontuais comuns são a média amostral, variância amostral e proporção amostral.

Por exemplo, se quisermos estimar a altura média de todos os homens adultos em uma cidade, podemos usar a altura média de uma amostra de 100 homens adultos nessa cidade. Se a altura média da amostra for 70 polegadas, nossa estimativa pontual para a média da população também será de 70 polegadas.

Estimativa intervalar

Diferentemente da estimativa pontual, a estimativa intervalar fornece uma faixa de valores (um intervalo) e um nível de confiança associado de que o parâmetro está dentro deste intervalo. Isso é conhecido como o intervalo de confiança.

[ text{intervalo de confiança} = left( bar{x} - Z cdot frac{sigma}{sqrt{n}}, bar{x} + Z cdot frac{sigma}{sqrt{n}} right) ]

Aqui, ( bar{x} ) é a média amostral, ( Z ) é o escore Z da distribuição normal padrão com base no nível de confiança desejado, ( sigma ) é o desvio padrão da população, e ( n ) é o tamanho da amostra.

Testes de hipótese

O teste de hipóteses é um método de tomar decisões usando dados, seja de um experimento controlado ou de um estudo observacional. Uma hipótese é uma suposição ou declaração sobre um parâmetro populacional. O teste de hipóteses define a estrutura para decidir se aceita ou rejeita essas suposições.

H_0: mu = mu_0 \
H_a: mu neq mu_0

Aqui, ( H_0 ) representa a hipótese nula, que afirma que não há efeito ou diferença, e ( H_a ) representa a hipótese alternativa, que afirma algum efeito ou diferença.

Este processo envolve determinar o valor de p, que é a probabilidade de obter resultados de teste tão extremos quanto os resultados observados, sob a suposição de que a hipótese nula é verdadeira.

Métodos comuns utilizados em inferência estatística

Vários métodos são usados em inferência estatística para formular conclusões a partir de dados:

Inferência Bayesiana

A inferência bayesiana envolve a atualização da probabilidade de uma hipótese à medida que mais evidências ou informações se tornam disponíveis. Ela se baseia fortemente no teorema de Bayes:

[ P(H|E) = frac{P(E|H) cdot P(H)}{P(E)} ]

onde ( P(H|E) ) é a probabilidade posterior, ( P(E|H) ) é a verossimilhança, ( P(H) ) é a probabilidade a priori, e ( P(E) ) é a probabilidade marginal.

Estimativa Frequentista

A inferência frequentista tira conclusões dos dados da amostra, enfatizando a frequência ou proporção dos dados. Frequentistas projetam testes de hipótese e calculam intervalos de confiança sem o uso de probabilidade a priori.

Estimativa de máxima verossimilhança

A estimativa de máxima verossimilhança (MLE) é usada para estimar os parâmetros de um modelo estatístico. O método do MLE envolve encontrar os valores dos parâmetros que maximizam a probabilidade da ocorrência dos dados observados.

Se tivermos um conjunto de dados amostrais e um modelo estatístico, a função de verossimilhança mede o quão bem o modelo explica os dados observados. É expressa como:

L(theta | x) = prod_{i=1}^{n} f(x_i | theta)

onde ( theta ) é um parâmetro, ( X ) são os dados, e ( f(x_i | theta) ) é a probabilidade de observar um ponto de dados ( x_i ) dado ( theta ) .

Exemplos de inferência estatística

Vejamos alguns exemplos para entender melhor esses conceitos:

Exemplo 1: Estimativa da altura média

Suponha que querermos determinar a altura média de todos os estudantes em uma universidade. Em vez de medir cada estudante, decidimos fazer uma amostra de 100 estudantes.

Dados da amostra: [68, 70, 65, 72, 69, 71, 66, 73, 67, 70, ...] // continua por 100 entradas

A média (média) desta amostra fornece uma estimativa pontual para a altura média da população. Calcular a média da amostra nos permitirá formular uma conclusão:

Média da amostra = (68 + 70 + 65 + 72 + 69 + 71 + 66 + 73 + 67 + 70 + ...) / 100 = 69.5 polegadas

Assim, estimamos que a altura média de todos os estudantes universitários será de aproximadamente 69.5 polegadas.

Exemplo 2: Teste de hipótese para eficácia de medicamento

Uma empresa farmacêutica acredita que seu novo medicamento reduz a pressão arterial. Para testar isso, conduziram um ensaio com 200 pacientes, metade dos quais receberam o medicamento e a outra metade um placebo. A empresa hipotetizou que:

H_0: Delta = 0 ,(text{O medicamento não tem efeito}) \
H_a: Delta neq 0 ,(text{O medicamento tem efeito})

Baseada nos dados do teste, a empresa calcula um valor de p para determinar a probabilidade de se obter resultados tão extremos quanto os resultados registrados, assumindo a hipótese nula seja verdadeira. Um valor de p comum como limite é 0.05:

Se o valor de p é < 0.05, rejeita-se ( H_0 ); caso contrário, não se rejeita ( H_0 ).

Quando o valor de p for menor que 0.05, a empresa poderá concluir que o medicamento é eficaz na redução da pressão arterial.

Conclusão

A inferência estatística é instrumental em pesquisa e análise de dados, atuando como uma ponte entre as estatísticas descritivas e o mundo real. Oferece ferramentas e métodos que nos permitem fazer conclusões e previsões informadas sobre populações usando dados amostrais. Dominar técnicas de inferência estatística é crucial para cientistas de dados, pesquisadores, economistas e muitos outros profissionais que dependem de decisões baseadas em dados.


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