Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

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Métodos bayesianos


Introducción

Los métodos bayesianos juegan un papel fascinante en la inferencia estadística, proporcionando un marco para razonar sobre la incertidumbre. Este enfoque se basa en el teorema de Bayes, que lleva el nombre del estadístico y teólogo del siglo XVIII, el reverendo Thomas Bayes. A diferencia de la estadística frecuentista, que utiliza la probabilidad solo para referirse a las frecuencias a largo plazo, la estadística bayesiana permite que las probabilidades expresen el nivel de creencia o certeza de uno sobre un evento.

El teorema de Bayes

La base de la inferencia bayesiana es el teorema de Bayes, que se expresa matemáticamente de la siguiente manera:

P(H|E) = (P(E|H) * P(H)) / P(E)

Esta fórmula se puede desglosar en sus componentes:

  • P(H|E): Probabilidad posterior. La probabilidad de la hipótesis H basada en la evidencia observada E
  • P(E|H): Probabilidad. La probabilidad de observar la evidencia E dado que se verifica la hipótesis H.
  • P(H): Probabilidad a priori. El grado inicial de creencia en la hipótesis H antes de observar E
  • P(E): Verosimilitud marginal. La probabilidad total de la evidencia bajo todas las hipótesis posibles.

Ejemplo básico: lanzar una moneda

Consideremos un ejemplo simple donde queremos saber si una moneda está sesgada hacia caras. Observamos diez lanzamientos de monedas, de los cuales siete son caras. Queremos encontrar la probabilidad de que la moneda esté sesgada usando un marco bayesiano.

Ejemplo

Sea H la hipótesis de que la moneda está inclinada hacia caras, y E la evidencia de que ocurre cara siete veces de diez lanzamientos. Ahora, necesitamos especificar:

  • P(H): Nuestra creencia inicial acerca de que la moneda está sesgada. Supongamos que creemos que cada moneda tiene un 50% de probabilidad de estar sesgada. Por tanto, P(H) = 0.5.
  • P(E|H): la probabilidad de observar siete caras bajo la hipótesis. Si esto está sesgado, suponga que P(E|H) = 0.9.
  • P(E): La verosimilitud marginal se puede calcular considerando todas las hipótesis. Por simplicidad, digamos que P(E) = 0.5.

Ahora aplique el teorema de Bayes:

P(H|E) = (0.9 * 0.5) / 0.5 = 0.9

Por lo tanto, hay una fuerte posibilidad de que la moneda esté sesgada.

Prios

La probabilidad a priori P(H) comunica la creencia inicial antes de observar la evidencia. En el análisis bayesiano, la elección del a priori puede afectar enormemente al resultado final, especialmente con tamaños de datos pequeños. Los a priori pueden ser informativos o no informativos.

Preferencias informativas

El conocimiento a priori informativo consiste en conocimiento específico y previo sobre el parámetro de interés. En el ejemplo de la moneda, si experimentos previos muestran que la moneda cae caras con una probabilidad del 70%, esta información guiará nuestra selección a priori.

Preferencias no informativas

Las previsiones no informativas o débiles no proporcionan mucha información específica sobre la hipótesis, reflejando a menudo un estado de relativa ignorancia. Las alternativas comunes incluyen distribuciones uniformes donde todos los resultados son igualmente probables.

Posterior

Una vez que se tiene en cuenta la evidencia mediante el teorema de Bayes, obtenemos la probabilidad posterior, code{P(H|E)}, que incorpora toda nuestra información sobre la hipótesis: el a priori y los datos combinados. La probabilidad posterior es el aspecto más importante de la inferencia bayesiana, ya que representa cómo nuestra comprensión de una hipótesis es modificada por los nuevos datos.

Probabilidad

La probabilidad es un componente central de los cálculos bayesianos. Mide cuán probables son los datos observados bajo diferentes hipótesis. Matemáticamente, la verosimilitud, code{P(E|H)}, evalúa la compatibilidad entre los datos y la hipótesis.

Verosimilitud marginal

La verosimilitud marginal, code{P(E)}, asegura que las probabilidades posteriores sumen hasta 1. Involucra sumar las probabilidades a lo largo de todas las hipótesis. En la práctica, calcular la verosimilitud marginal puede ser complicado, especialmente en modelos con muchos parámetros.

Ejemplo avanzado: prueba de enfermedades

Supongamos que una prueba médica verifica una enfermedad con las siguientes características:

  • La sensibilidad de esta prueba es 95%, lo que significa que identifica correctamente al 95% de los pacientes que sufren la enfermedad.
  • La especificidad de esta prueba es 90%, lo que significa que identifica correctamente al 90% de los pacientes sanos.
  • El 1% de la población tiene esta enfermedad.

Ejemplo

Sea H el evento de que el paciente contraiga la enfermedad, y E sea el resultado positivo de la prueba.

  • P(H) = 0.01 (probabilidad a priori de tener la enfermedad)
  • P(E|H) = 0.95 (probabilidad de dar positivo si está enfermo)

Para calcular la probabilidad total de un resultado positivo, code{P(E)}, considere tanto los resultados verdaderos como los falsos positivos:

P(E) = P(E|H) * P(H) + P(E|H') * P(H')
P(E) = 0.95 * 0.01 + 0.1 * 0.99 = 0.1045

Finalmente, use el teorema de Bayes para encontrar el posterior:

P(H|E) = (0.95 * 0.01) / 0.1045 ≈ 0.091

A pesar de un resultado positivo, la probabilidad de tener la enfermedad según este resultado es solo del 9.1%.

Actualización de creencias

La inferencia bayesiana es un proceso iterativo. A medida que se recopilan más pruebas, se actualizan continuamente tus creencias usando el teorema de Bayes. Cada nueva pieza de evidencia actúa como una probabilidad que modifica tus creencias anteriores para formar creencias posteriores. Con el tiempo, este proceso refina nuestra comprensión y mejora la toma de decisiones.

Prios conjugados

En muchos casos, elegir un a priori conjugado simplifica el cálculo. Un a priori conjugado es aquel que, cuando se usa como un a priori, produce una distribución posterior de la misma familia, simplificando así la solución analítica. Por ejemplo, en probabilidades binomiales, la distribución beta como prior generará una distribución posterior beta, por lo que el tipo de distribución permanece constante.

Aplicación

Los métodos bayesianos tienen aplicaciones extensas en una variedad de campos. Algunos de los más notables son:

  • Medicina: Para diagnosticar enfermedades, los métodos bayesianos equilibran la información previa sobre la prevalencia de una enfermedad con pruebas de diagnóstico.
  • Finanzas: Los modelos bayesianos se utilizan para predecir precios de acciones, incorporando tanto datos históricos como pronósticos de expertos.
  • Aprendizaje automático: Las técnicas bayesianas impulsan modelos de probabilidad para tareas como clasificación, agrupamiento y regresión.
  • Procesamiento de lenguaje natural: La inferencia bayesiana amplía modelos como los modelos de tópicos para identificar patrones en datos de texto.

Desafíos

Aunque poderosos, los métodos bayesianos también presentan desafíos. Los modelos complejos a menudo requieren recursos computacionales significativos. Puede ser difícil calcular analíticamente la distribución posterior, requiriendo técnicas de aproximación como Markov Chain Monte Carlo (MCMC).

Conclusión

Los métodos bayesianos proporcionan un marco flexible y coherente para la inferencia estadística. Al combinar creencias previas con nueva evidencia, la inferencia bayesiana refina la comprensión de una manera lógica e intuitiva. A pesar de los desafíos de cálculo en una amplia gama de situaciones, sus principios brillan en muchas aplicaciones del mundo real, haciéndola invaluable en la caja de herramientas del estadístico.


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