परिकल्पना परीक्षण

परिकल्पना परीक्षण सांख्यिकी में एक मूलभूत अवधारणा है, जिसका उपयोग जनसंख्या की विशेषताओं के बारे में निर्णय लेने के लिए किया जाता है। यह एक विधि है जो हमें नमूना डेटा का उपयोग करके जनसंख्या मापदंड के बारे में दो प्रतिद्वंद्वी परिकल्पनाओं में से एक को चुनने की अनुमति देती है।

परिकल्पना परीक्षण का परिचय

मूल रूप से, परिकल्पना परीक्षण एक प्रक्रिया है जिसके द्वारा हम यह जाँचते हैं कि एक कथन (परिकल्पना) एक जनसंख्या मापदंड के बारे में उचित है या नहीं, इसके लिए हमारे पास जो नमूना डेटा है, उसके आधार पर। परिकल्पना परीक्षण के मुख्य तत्व हैं शून्य परिकल्पना, वैकल्पिक परिकल्पना, परीक्षण सांख्यिकी, अस्वीकृति क्षेत्र और निष्कर्ष।

शून्य और वैकल्पिक परिकल्पनाएँ

शून्य परिकल्पना (H 0 के रूप में निरूपित) जनसंख्या मापदंड के बारे में एक कथन है जिसे हम परीक्षण करना चाहते हैं। यह आमतौर पर बिना प्रभाव या बिना अंतर के एक कथन होती है। इसके विपरीत, वैकल्पिक परिकल्पना (H 1 या H a के रूप में निरूपित) वह है जिसे हम शून्य परिकल्पना के अस्वीकृत होने पर सत्य मानते हैं। यह एक प्रभाव या अंतर का प्रतिनिधित्व करती है।

शून्य परिकल्पना (H 0 ): μ = μ 0 वैकल्पिक परिकल्पना (H a ): μ ≠ μ 0 (दो-पूंछ) वैकल्पिक परिकल्पना (H a ): μ > μ 0 (दायां-पूंछ) वैकल्पिक परिकल्पना (H a ): μ < μ 0 (बायां-पूंछ)

परीक्षण सांख्यिकी

परीक्षण सांख्यिकी एक मूल्य है जो नमूना डेटा से गणना किया जाता है और शून्य परिकल्पना की संभावना का मूल्यांकन करने के लिए उपयोग किया जाता है। परीक्षण सांख्यिकी के चयन का निर्णय डेटा के प्रकार और परीक्षण की जा रही परिकल्पना पर निर्भर करता है। सामान्य उदाहरणों में z-स्कोर, t-स्कोर, और F-सांख्यिकी शामिल हैं।

उदाहरण के लिए, यदि हम एक औसत के बारे में परिकल्पना का परीक्षण करना चाहते हैं, तो हम नमूना औसत के लिए z-स्कोर की गणना कर सकते हैं:

z = (x̄ - μ 0 ) / (σ/√n)

अस्वीकृति क्षेत्र

अस्वीकृति क्षेत्र महत्व स्तर द्वारा निर्धारित किया जाता है, जिसे α द्वारा निरूपित किया जाता है, जो सही होने पर शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करने की संभावना है। α के लिए सामान्य विकल्प 0.05, 0.01, और 0.10 हैं।

यदि परीक्षण सांख्यिकी अस्वीकृति क्षेत्र में आता है, तो हम शून्य परिकल्पना को वैकल्पिक परिकल्पना के पक्ष में अस्वीकार करते हैं।

निष्कर्ष

परीक्षण सांख्यिकी और अस्वीकृति क्षेत्र के आधार पर, हम निष्कर्ष निकालते हैं। यदि परीक्षण सांख्यिकी अस्वीकृति क्षेत्र में आता है, तो हम शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करते हैं, सुझाव देते हैं कि वैकल्पिक परिकल्पना का समर्थन करने के लिए पर्याप्त सबूत हैं। यदि यह अस्वीकृति क्षेत्र में नहीं आता है, तो हम शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करने में असफल होते हैं।

परिकल्पना परीक्षण के प्रकार

परिकल्पना परीक्षण कई प्रकारों में वर्गीकृत किया जा सकता है जो जनसंख्या मापदंडों की रूचि और उपलब्ध डेटा पर निर्भर करते हैं।

एक-नमूना z-परीक्षण

जब हम एक ज्ञात जनसंख्या औसत के साथ एक नमूना औसत की तुलना करना चाहते हैं, तो एक-नमूना z-परीक्षण का उपयोग किया जाता है। इस परीक्षण की परिकल्पना है कि जनसंख्या सामान्य रूप से वितरित है और जनसंख्या विचरण ज्ञात है।

एक-नमूना t-परीक्षण

यदि जनसंख्या का विचरण अज्ञात है, तो हम z-परीक्षण के बजाय एक-नमूना t-परीक्षण का उपयोग करते हैं। यह उपयुक्त है जब नमूना आकार छोटा होता है, और जनसंख्या सामान्य रूप से वितरित मानी जाती है।

दो-नमूना t-परीक्षण

दो स्वतंत्र नमूनों के औसत की तुलना करने के लिए दो-नमूना t-परीक्षण का उपयोग किया जाता है। यह परीक्षण जांच करता है कि क्या दो समूहों के औसत बराबर हैं। जब यह मानी जाती है कि विचरण समान हैं, तो यह परीक्षण संयुक्त मानक विचलन का उपयोग करता है या जब विचरण असमान होते हैं, तो व्यक्तिगत विचलनों का उपयोग करता है।

उदाहरण: औसत के लिए परिकल्पना परीक्षण

मान लें कि एक कंपनी 1000 घंटे की औसत जीवन के साथ बल्बों का निर्माण करती है। एक शोधकर्ता मानता है कि वास्तविक औसत जीवन 1000 घंटे से कम है और वह 30 बल्बों का एक यादृच्छिक नमूना लेकर इस परिकल्पना का परीक्षण करना चाहता है।

हमारी परिकल्पनाएँ इस प्रकार हैं:

H 0 : μ = 1000 H a : μ < 1000

महत्व स्तर: α = 0.05।

मान लेते हैं कि जनसंख्या का मानक विचलन 100 है, तो परीक्षण सांख्यिकी की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:

z = (x̄ - μ 0 ) / (σ/√n) x̄ = नमूना औसत n = नमूना आकार σ = जनसंख्या मानक विचलन μ 0 = H 0 के तहत जनसंख्या औसत

यदि गणना की गई z मान हमारे सामान्य वितरण वक्र पर हमारे महत्वपूर्ण मूल्य के बाएं आता है (z-तालिकाओं में पाया गया), तो हम शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करेंगे।

वास्तविक जीवन में परिकल्पना परीक्षण के अनुप्रयोग

• चिकित्सा अनुसंधान: नई दवा की प्रभावकारिता की प्लेसीबो से तुलना करना।
• निर्माण: विभिन्न उत्पादन प्रक्रियाओं के औसत की तुलना करना यह निर्धारित करने के लिए कि कौन सी प्रक्रिया अधिक कुशल है।
• विपणन: ग्राहक बिक्री या सगाई पर एक नई अभियान के प्रभाव को पुराने रणनीति के साथ तुलना करना।
• शिक्षा: यह निर्धारित करना कि क्या नई शिक्षण विधि पारंपरिक विधि से बेहतर काम करती है।

परिकल्पना परीक्षण में सामान्य गलतियाँ

प्रकार I और प्रकार II त्रुटियाँ

परिकल्पना परीक्षण में दो सामान्य गलतियाँ प्रकार I और प्रकार II त्रुटियाँ हैं:

• प्रकार I त्रुटि: शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करना जब यह सत्य है। प्रकार I त्रुटि होने की संभावना महत्व स्तर α होती है।
• प्रकार II त्रुटि: शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करने में असफल होना जब वैकल्पिक परिकल्पना सही होती है। प्रकार II त्रुटि करने की संभावना को β के रूप में निरूपित किया जाता है।

परिकल्पना परीक्षण में त्रुटियों का उदाहरण: चिकित्सा परीक्षण

एक बीमारी के लिए चिकित्सा परीक्षण में, शून्य परिकल्पना यह हो सकती है कि व्यक्ति के पास बीमारी नहीं है (_{H 0}: व्यक्ति के पास बीमारी नहीं है)। वैकल्पिक परिकल्पना यह हो सकती है कि व्यक्ति के पास बीमारी है (_{H a}: व्यक्ति के पास बीमारी है)।

• प्रकार I त्रुटि: परीक्षण यह दर्शाता है कि व्यक्ति के पास बीमारी है जब वास्तव में उनके पास नहीं है। इससे अनावश्यक तनाव और उपचार हो सकती है।
• प्रकार II त्रुटि: परीक्षण एक बीमारी की पहचान करने में असफल होता है जब व्यक्ति के पास वास्तव में वह बीमारी होती है। इससे बीमारी का उपचार नहीं हो पाता है।

परीक्षण की शक्ति

एक परीक्षण की शक्ति उस संभावना को होती है जो कि यह फाल्स शून्य परिकल्पना को सही ढंग से अस्वीकार करती है (1 - β)। अधिक शक्ति का अर्थ है एक प्रभाव की पहचान करने की अधिक संभावना जब प्रभाव होता है, जिससे प्रकार II त्रुटियों को कम किया जाता है।

शक्ति को निम्नलिखित तरीकों से बढ़ाया जा सकता है:

• नमूना आकार को बढ़ाना।
• उच्च महत्व स्तर का चयन करना (जो प्रकार I त्रुटि की संभावना को बढ़ाता है)।
• यह वह अपेक्षित प्रभाव आकार है जिसे हम खोजना चाहते हैं।

मूल्य और p-वैल्यू

मूल्य

मूल्य वे सीमा होती हैं जो अस्वीकृति क्षेत्र की सीमाएँ निर्धारित करती हैं। एक z-परीक्षण के लिए, मूल्य वह z स्कोर होते हैं जिन पर सामान्य वितरण के पूंछ (मूल्य के परे) एक पूर्वनिर्धारित महत्व स्तर (α) में आते हैं।

p-वैल्यू

p-वैल्यू वह संभावना है जो प्रेक्षित परीक्षण सांख्यिकी के बराबर या उससे अधिक होती है, यह मानते हुए कि शून्य परिकल्पना सत्य है। एक छोटी p-वैल्यू (आमतौर पर ≤ 0.05) शून्य परिकल्पना के खिलाफ मजबूत सबूत दर्शाती है, इसलिए हम H 0 को अस्वीकार करते हैं। एक बड़ी p-वैल्यू (> 0.05) शून्य परिकल्पना के खिलाफ कमजोर सबूत दर्शाती है, इसलिए हम इसे अस्वीकार करने में असफल होते हैं।

p-वैल्यू के उपयोग का उदाहरण

छात्रों के बीच औसत नींद के घंटे के एक अध्ययन में, शून्य परिकल्पना कहती है कि छात्र प्रति रात औसतन 7 घंटे सोते हैं। नमूना डेटा से औसत 6.6 घंटे प्रदान किया गया है जिसके साथ एक p-वैल्यू है 0.03।

निष्कर्ष: चूंकि 0.03 < 0.05, हम शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करते हैं, और निष्कर्ष निकालते हैं कि औसत नींद का समय 7 घंटे से अलग है।

निष्कर्ष

परिकल्पना परीक्षण डेटा का उपयोग करके निर्णय लेने का एक व्यवस्थित तरीका प्रदान करता है। यद्यपि यह निर्णायक सबूत प्रदान नहीं करता है, यह हमें जनसंख्या के बारे में संभावना वक्तव्यों के खिलाफ सबूत का मूल्यांकन करने में मदद करता है। इस प्रक्रिया, प्रकार, त्रुटियों को समझना और इन अवधारणाओं को प्रभावी रूप से लागू करना चिकित्सा, व्यवसाय और सामाजिक विज्ञान जैसे क्षेत्रों में परिणामों पर महत्वपूर्ण प्रभाव डाल सकता है।

अधिक पढ़ने के लिए सामग्री और संदर्भ

• Using and Interpreting Statistics in the Social, Behavioral, and Health Sciences, by William R. Nugent
• Statistics for Experimenters: Design, Innovation, and Discovery, by George E. P. Box, J. Stuart Hunter, and William G. Hunter
• Principles of Statistics, by M.G. Bulmer

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