Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

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Pruebas de hipótesis


Las pruebas de hipótesis son un concepto fundamental en estadística, utilizado para emitir juicios sobre las características de una población. Es un método que nos permite utilizar datos de muestra para decidir entre dos hipótesis en competencia sobre un parámetro de población.

Introducción a las pruebas de hipótesis

Básicamente, las pruebas de hipótesis son un proceso mediante el cual verificamos si una afirmación (hipótesis) sobre un parámetro de población es plausible con base en los datos de muestra que tenemos. Los elementos principales de las pruebas de hipótesis son la hipótesis nula, la hipótesis alternativa, el estadístico de prueba, la región de rechazo y la conclusión.

Hipótesis nula y alternativa

La hipótesis nula (denotada como H 0) es una declaración sobre el parámetro de población que queremos probar. Generalmente, es una declaración de no efecto o no diferencia. En contraste, la hipótesis alternativa (denotada como H 1 o H a) es lo que asumimos que es cierto si se rechaza la hipótesis nula. Representa un efecto o una diferencia.

Hipótesis Nula (H 0 ): μ = μ 0 Hipótesis Alternativa (H a ): μ ≠ μ 0 (dos colas) Hipótesis Alternativa (H a ): μ > μ 0 (cola derecha) Hipótesis Alternativa (H a ): μ < μ 0 (cola izquierda)

Estadístico de prueba

Un estadístico de prueba es un valor calculado a partir de datos de muestra que se utiliza para evaluar la probabilidad de la hipótesis nula. La elección del estadístico de prueba depende del tipo de datos y de la hipótesis que se está probando. Ejemplos comunes incluyen el valor-z, valor-t y estadístico F.

Por ejemplo, si queremos probar una hipótesis sobre una media, podemos calcular el valor-z para la media de la muestra:

z = (x̄ - μ 0 ) / (σ/√n)
Test statistic: z

Zona de rechazo

La región de rechazo está determinada por el nivel de significancia, denotado por α, que es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando en realidad es verdadera. Las opciones comunes para α son 0.05, 0.01 y 0.10.

Si el estadístico de prueba cae en la región de rechazo, rechazamos la hipótesis nula a favor de la hipótesis alternativa.

Left tail Right tail

Conclusión

Con base en el estadístico de prueba y la región de rechazo, sacamos conclusiones. Si el estadístico de prueba cae en la región de rechazo, rechazamos la hipótesis nula, sugiriendo que hay suficiente evidencia para apoyar la hipótesis alternativa. Si no cae en la región de rechazo, no rechazamos la hipótesis nula.

Tipos de pruebas de hipótesis

Las pruebas de hipótesis pueden clasificarse en varios tipos según los parámetros de población de interés y los datos disponibles.

Prueba z para una muestra

La prueba z para una muestra se usa cuando queremos comparar una media de muestra con una media de población conocida. Esta prueba asume que la población está normalmente distribuida y la varianza de la población es conocida.

Prueba t para una muestra

Si la varianza de la población es desconocida, usamos una prueba t para una muestra en lugar de una prueba z. Es apropiada cuando el tamaño de la muestra es pequeño y se asume que la población está normalmente distribuida.

Prueba t para dos muestras

La prueba t para dos muestras compara las medias de dos muestras independientes. Prueba si las medias de dos grupos son iguales. Esta prueba utiliza la desviación estándar agrupada cuando se asume que las varianzas son iguales o utiliza las varianzas individuales cuando las varianzas son desiguales.

Ejemplo: prueba de hipótesis para la media

Supongamos que una empresa fabrica bombillas con una vida media de 1000 horas. Un investigador cree que la vida media real es menor a 1000 horas y quiere probar esta hipótesis usando una muestra aleatoria de 30 bombillas.

Definamos nuestras hipótesis:

H 0 : μ = 1000 H a : μ < 1000

Nivel de significancia: α = 0.05.

Suponiendo que la desviación estándar de la población es 100, el estadístico de prueba se puede calcular de la siguiente manera:

z = (x̄ - μ 0 ) / (σ/√n) x̄ = media de la muestra n = tamaño de la muestra σ = desviación estándar de la población μ 0 = media de la población bajo H 0

Si el valor z calculado cae a la izquierda de nuestro valor crítico en la curva de distribución normal (encontrado en tablas-z), rechazaremos la hipótesis nula.

Aplicaciones en la vida real de las pruebas de hipótesis

  • Investigación médica: Comparar la efectividad de un nuevo fármaco con un placebo.
  • Manufactura: Comparar las medias de diferentes procesos de producción para determinar qué proceso es más eficiente.
  • Marketing: Evaluar el impacto de una nueva campaña en las ventas de clientes o el compromiso en comparación con una estrategia antigua.
  • Educación: Determinar si un nuevo método de enseñanza funciona mejor que el método tradicional.

Errores comunes en las pruebas de hipótesis

Errores de Tipo I y Tipo II

Dos errores comunes en las pruebas de hipótesis son los errores de Tipo I y Tipo II:

  • Error de Tipo I: rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera. La probabilidad de que ocurra un error de Tipo I es el nivel de significancia α.
  • Error de Tipo II: no rechazar la hipótesis nula cuando la hipótesis alternativa es verdadera. La probabilidad de cometer un error de Tipo II se denota como β.

Ejemplo de errores en las pruebas de hipótesis: pruebas médicas

En una prueba médica para una enfermedad, la hipótesis nula podría ser que la persona no tiene la enfermedad (H 0: la persona no tiene la enfermedad). La hipótesis alternativa podría ser que la persona sí tiene la enfermedad (H a: la persona sí tiene la enfermedad).

  • Error de Tipo I: La prueba muestra que la persona tiene la enfermedad cuando en realidad no la tiene. Esto puede causar estrés y tratamiento innecesarios.
  • Error de Tipo II: La prueba no logra identificar una enfermedad cuando una persona realmente la tiene. Esto resulta en que la enfermedad no sea tratada.

El poder de la prueba

El poder de una prueba es la probabilidad de que rechace correctamente una hipótesis nula falsa (1 - β). Un mayor poder significa una mayor probabilidad de detectar un efecto cuando hay un efecto, reduciendo así los errores de tipo II.

El poder se puede aumentar de las siguientes formas:

  • Aumentando el tamaño de la muestra.
  • Seleccionando un nivel de significancia mayor (lo que aumenta la probabilidad de un error de Tipo I).
  • Esto es el aumento en el tamaño del efecto que esperamos encontrar.

Valores críticos y valores p

Valores críticos

Los valores críticos son los valores umbral que definen los límites de la(s) región(es) de rechazo. Para una prueba z, los valores críticos corresponden a los puntajes z en los que las cola(s) de la distribución normal más allá del valor crítico caen dentro de un nivel de significancia predefinido (α).

Valor p

El valor p es la probabilidad de alcanzar un pico al menos igual al estadístico de prueba observado, asumiendo que la hipótesis nula es verdadera. Un valor p pequeño (típicamente ≤ 0.05) indica una fuerte evidencia en contra de la hipótesis nula, por lo que rechazamos H 0. Un valor p grande (> 0.05) indica una débil evidencia en contra de H 0, por lo que no la rechazamos.

Ejemplo de uso del valor p

En un estudio sobre horas de sueño promedio entre estudiantes, la hipótesis nula establece que los estudiantes duermen un promedio de 7 horas por noche. Los datos de muestra proporcionan un promedio de 6.6 horas con un valor p calculado de 0.03.

Conclusión: Dado que 0.03 < 0.05, rechazamos la hipótesis nula y concluimos que el tiempo promedio de sueño es diferente de 7 horas.

Conclusión

Las pruebas de hipótesis proporcionan una manera sistemática de tomar decisiones utilizando datos. Aunque no proporciona evidencia definitiva, nos ayuda a evaluar la evidencia contra declaraciones probabilísticas sobre una población. Entender el proceso, tipos, errores y cómo aplicar eficazmente estos conceptos puede impactar significativamente los resultados en campos como la medicina, los negocios y las ciencias sociales.

Materiales y referencias para lectura adicional

  • Using and Interpreting Statistics in the Social, Behavioral, and Health Sciences, de William R. Nugent
  • Statistics for Experimenters: Design, Innovation, and Discovery, de George E. P. Box, J. Stuart Hunter, y William G. Hunter
  • Principles of Statistics, de M.G. Bulmer

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