Магистратура
  1. Введение в математический анализ  1.1. Теория множеств и логика в реальном анализе  1.1.1. Множества и операции в теории множеств и логике в реальном анализе  1.1.2. Отношения и функции  1.1.3. Логика и кванторы  1.1.4. Мощность множеств  1.2. Метрика  1.2.1. Введение в открытые и замкнутые множества в метрических пространствах  1.2.2. Сходимость последовательностей в метрическом пространстве  1.2.3. Непрерывная функция в метрическом пространстве  1.2.4. Компактность и полнота в метрических пространствах в реальном анализе  1.3. Последовательности и ряды  1.3.1. Сходимость последовательностей  1.3.2. Бесконечные ряды  1.3.3. Равномерная сходимость  1.3.4. Ряды степеней  1.4. Дискриминация  1.4.1. Теорема о среднем значении  1.4.2. Ряд Тейлора  1.4.3. Функции нескольких переменных  1.4.4. Частная производная  1.5. Интеграция  1.5.1. Интегрирование Римана и Лебега  1.5.2. Неправильные интегралы  1.5.3. Теория меры: фундаментальный инструмент в интеграции  1.5.4. Теорема Фубини  1.6. Функциональный анализ  1.6.1. Понимание пространства Банака  1.6.2. Пространства Гильберта  1.6.3. Операторы на пространствах  1.6.4. Спектральная теория
  2. Абстрактная алгебра  2.1. Понимание групп в абстрактной алгебре  2.1.1. Определения и примеры групп в абстрактной алгебре  2.1.2. Гомоморфизмы групп  2.1.3. Введение в нормальные подгруппы  2.1.4. Теорема Силова  2.2. Кольца и поля  2.2.1. Идеалы и фактор-кольца  2.2.2. Расширения полей  2.2.3. Теория Галуа  2.2.4. Полиномиальные кольца  2.3. Введение в модули в абстрактной алгебре  2.3.1. Гомоморфизм модуля  2.3.2. Свободные модули  2.3.3. Введение в тензорные произведения  2.3.4. Точная последовательность в модулях  2.4. Линейная алгебра  2.4.1. Векторное пространство  2.4.2. Собственные значения и собственные векторы  2.4.3. Векторное пространство с внутренним произведением  2.4.4. Диагонализация
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Компактность и связность  3.1.3. Непрерывные отображения  3.1.4. Аксиома отделимости  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Понимание фундаментальных групп в алгебраической топологии  3.2.2. Гомотопия и гомология  3.2.3. Симплициальный комплекс  3.2.4. Точные последовательности в гомологии  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Понимание многообразий в дифференциальной топологии  3.3.2. Гладкие функции  3.3.3. Тангенциальное и котангенциальное пространство  3.3.4. Векторные расслоения
  4. Дифференциальные уравнения  4.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения  4.1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка  4.1.2. Линейные уравнения второго порядка  4.1.3. Системы дифференциальных уравнений  4.1.4. Анализ устойчивости в обыкновенных дифференциальных уравнениях  4.2. Частные дифференциальные уравнения  4.2.1. Классификация уравнений с частными производными  4.2.2. Понимание рядов Фурье в уравнениях с частными производными  4.2.3. Введение в функции Грина  4.2.4. Метод характеристик  4.3. Динамические системы в дифференциальных уравнениях  4.3.1. Теория устойчивости  4.3.2. Предельные циклы в динамических системах  4.3.3. Теория хаоса  4.3.4. Теория бифуркаций
  5. Теория вероятностей и статистика  5.1. Теория вероятностей  5.1.1. Случайные переменные  5.1.2. Распределения вероятностей  5.1.3. Закон больших чисел  5.1.4. Центральная предельная теорема  5.2. Статистическое вывод  5.2.1. Проверка гипотез  5.2.2. Доверительный интервал  5.2.3. Байесовские методы  5.2.4. Метод максимального правдоподобия  5.3. Стохастические процессы  5.3.1. Цепи Маркова  5.3.2. Броуновское движение  5.3.3. Понимание процессов Пуассона  5.3.4. Мартингейлы: всестороннее исследование в вероятности и статистике
  6. Численный анализ  6.1. Численное решение уравнений  6.1.1. Оригинальное открытие  6.1.2. Итерационные методы  6.1.3. Анализ сходимости  6.1.4. Границы ошибок в численных решениях уравнений  6.2. Численная линейная алгебра  6.2.1. Факторизация матриц  6.2.2. Вычисление собственных значений  6.2.3. Разреженные матрицы  6.2.4. Методы предобработки  6.3. Численное интегрирование и дифференцирование  6.3.1. Методы квадратур  6.3.2. Введение в конечные разности  6.3.3. Анализ ошибок в численном интегрировании и дифференцировании  6.3.4. Адаптивные методы в численном интегрировании и дифференцировании
  7. Комплексный анализ  7.1. Комплексные числа  7.1.1. Полярная форма  7.1.2. Комплексные сопряженные  7.1.3. Экспоненциальная форма комплексных чисел  7.1.4. Корни из единицы  7.2. Аналитические функции  7.2.1. Уравнения Коши — Римана  7.2.2. Степенные ряды  7.2.3. Конформное отображение  7.2.4. Гармонические функции  7.3. Интегрирование на комплексной плоскости  7.3.1. Теорема Коши  7.3.2. Теорема о вычетах  7.3.3. Контурное интегрирование  7.3.4. Интегральные преобразования
  8. Математическая логика и основания  8.1. Пропозициональная логика  8.1.1. Таблицы истинности  8.1.2. Логическая эквивалентность в пропозициональной логике  8.1.3. Техники доказательства в пропозициональной логике  8.1.4. Решение в пропозициональной логике  8.2. Логика предикатов  8.2.1. Кванторы в предикатной логике  8.2.2. Формальные системы в предикатной логике  8.2.3. Полнота и правильность  8.2.4. Модельная теория  8.3. Теория множеств  8.3.1. Кардинальность и ординальность  8.3.2. Аксиоматические системы  8.3.3. Понимание теории множеств Цермело-Френкеля  8.3.4. Силы в теории множества
  9. Настройка  9.1. Линейное программирование  9.1.1. Метод симплекс  9.1.2. Двойственность в линейном программировании  9.1.3. Анализ чувствительности в линейном программировании  9.1.4. Методы внутренних точек  9.2. Нелинейное программирование  9.2.1. Градиентный спуск  9.2.2. Множители Лагранжа  9.2.3. Выпуклая оптимизация  9.2.4. Квадратичное программирование  9.3. Комбинаторная оптимизация  9.3.1. Алгоритмы графов  9.3.2. Целочисленное программирование  9.3.3. Сетевой поток  9.3.4. Алгоритмы аппроксимации
  10. Дискретная математика  10.1. Теория графов  10.1.1. Представление графов  10.1.2. Плоскость и цвет  10.1.3. Алгоритм поиска кратчайшего пути  10.1.4. Сетевой поток  10.2. Компаньонство  10.2.1. Перестановка и сочетание  10.2.2. Порождающая функция  10.2.3. Рекуррентные соотношения  10.2.4. Понимание принципа включения-исключения  10.3. Криптография  10.3.1. Применение теории чисел в криптографии  10.3.2. Симметричное и асимметричное шифрование  10.3.3. RSA и криптография на эллиптических кривых  10.3.4. Постквантовая криптография

Магистратура → Теория вероятностей и статистика ↓


Теория вероятностей


Теория вероятностей — это раздел математики, который занимается вероятностью различных исходов. Она используется для прогнозирования будущих событий на основе закономерностей и помогает в принятии решений, количественно определяя неопределенность. С помощью моделей и аксиом теория вероятностей находит применение в различных областях, таких как финансы, азартные игры, наука и инженерия.

Основные концепции вероятности

Основные строительные блоки вероятности включают эксперименты, исходы, пространства образцов и события. Давайте изучим каждый из этих компонентов:

  • Эксперимент: Действие или процесс, ведущий к одному или нескольким конкретным исходам. Например, бросание кубиков или подбрасывание монеты являются экспериментами.
  • Исход: Возможный результат эксперимента. Например, выпадение "4" является исходом.
  • Пространство образцов: Множество всех возможных исходов эксперимента. Если мы бросаем кубики, пространство образцов — это {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
  • Событие: Подмножество пространства образцов. Событие может включать получение четного числа при бросании кубика, которое можно представить как {2, 4, 6}.

Аксиома вероятности

Аксиоматические основы теории вероятностей были заложены Колмогоровым в 1933 году. Существует три основных аксиомы:

  1. Неотрицательность: Вероятность любого события является неотрицательным действительным числом. Символически, если A — событие, то P(A) ≥ 0.
  2. Генерализация: Вероятность всего пространства образцов равна 1. Это означает, что что-то из пространства образцов обязательно произойдет. Формально, P(S) = 1, где S — пространство образцов.
  3. Аддитивность: Если два события A и B взаимно исключают друг друга, то вероятность того, что произойдет либо одно, либо другое событие, равна сумме их индивидуальных вероятностей: P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Классическое определение вероятности

Классическое определение вероятности, которое применяется, когда все исходы равновероятны, дается как:

P(A) = frac{text{Количество благоприятных исходов}}{text{Общее количество исходов в пространстве образцов}}

Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим эксперимент с бросанием честного кубика с шестью гранями. Вероятность появления 3 (событие) составляет:

P(3) = frac{1}{6}

Поскольку существует только один благоприятный исход (появление 3), общее количество исходов равно 6.

Визуализация вероятности

Давайте возьмем простой пример подбрасывания монеты. Мы определяем вероятность выпадения орла, когда подбрасывается честная монета, как 0,5, поскольку пространство образцов равно {Орёл, Решка}, причем каждый исход имеет равную вероятность.

Орёл: 50% Решка: 50%

Условная вероятность

Условная вероятность — это вероятность того, что произойдет событие, при условии, что другое событие уже произошло. Она рассчитывается по формуле:

P(A | B) = frac{P(A ∩ B)}{P(B)}

Здесь P(A | B) — условная вероятность того, что событие A произойдет, P(A ∩ B) — вероятность того, что произойдут оба события, а P(B) — вероятность B.

Теорема Байеса

Теорема Байеса — это полезный результат в вероятности, который позволяет нам обновлять оценку вероятности гипотезы по мере получения дополнительных доказательств. Она формулируется следующим образом:

P(A | B) = frac{P(B | A) cdot P(A)}{P(B)}

Где:

  • P(A | B) — вероятность гипотезы A, учитывая данные B.
  • P(B | A) — вероятность наблюдения данных B при гипотезе A.
  • P(A) — вероятность (априорная вероятность) того, что гипотеза A верна.
  • P(B) — вероятность наблюдения данных B.

Свобода

Два события, A и B, считаются независимыми, если возникновение одного из них не влияет на возникновение другого. Это можно выразить математически следующим образом:

P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

Проще говоря, если знание о том, что событие B произошло, не говорит вам ничего о том, произошло ли событие A или нет, то два события независимы.

Нормальное распределение в теории вероятностей

Распределения вероятностей описывают, как вероятности распределяются по значениям случайной величины. Вот некоторые из основных:

Дискретное распределение

  • Распределение Бернулли: показывает возможные исходы одного эксперимента, в котором задается вопрос типа "да-нет", с вероятностью p для одного из ответов.
  • Биномиальное распределение: Обобщенная форма распределения Бернулли для сценария, когда эксперимент проводится несколько раз.
  • Распределение Пуассона: Описывает вероятность того, что определенное количество событий произойдет в заданном интервале времени или пространства.

Непрерывная доставка

  • Нормальное распределение: Часто известное как колоколообразная кривая, оно характеризуется своей симметричной формой и определяется двумя параметрами: среднее значение и дисперсия.
  • Экспоненциальное распределение: Моделирует время между событиями в процессе Пуассона, где события происходят непрерывно и независимо.
  • Равномерное распределение: Все исходы в определенном диапазоне имеют равные шансы.

Закон больших чисел

Закон больших чисел гласит, что по мере увеличения количества экспериментов среднее значение получаемых результатов будет приближаться к ожидаемому значению. Формально, если X_1, X_2, ..., X_n — независимые и одинаково распределенные случайные величины с ожидаемым значением E(X), то:

frac{X_1 + X_2 + ... + X_n}{n} rightarrow E(X) text{ as } n rightarrow infty

Центральная предельная теорема

Центральная предельная теорема (ЦПТ) утверждает, что для достаточно большого размера выборки распределение выборочного среднего будет приблизительно нормальным распределением, независимо от первоначального распределения совокупности. Это ключевая концепция в статистике, которая помогает обосновывать использование нормального распределения в практических задачах.

Применение теории вероятностей

Актуальность теории вероятностей распространяется на различные области:

  • В финансах: для оценки рисков и прогнозирования рынков.
  • В медицине: объяснение прогноза заболевания и эффективности лечения.
  • В компьютерных науках: Алгоритмы, особенно в машинном обучении и искусственном интеллекте, часто полагаются на вероятностные модели.
  • В науке: Вероятность используется для оценки распределения элементов, частиц и т.д.

Заключение

Теория вероятностей предоставляет формальную основу для изучения концепций неопределенности математически и логически. Она сочетает интуицию с количественным анализом, делая ее незаменимым инструментом в научном спектре. Понимая ее терминологию, аксиомы и области применения, можно делать предсказания с большей уверенностью.


Магистратура → 5.1


U
username
0%
завершено в Магистратура

← предыдущая (5)
Теория вероятностей и статистика
следующая (5.1.1) →
Случайные переменные

комментарии 



Теория вероятностей

https://www.buddymath.com/g/5.1?bmal=ru