Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

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Teoría de la probabilidad


La teoría de la probabilidad es una rama de las matemáticas que se ocupa de la probabilidad de varios resultados. Se utiliza para predecir eventos futuros basados en patrones y ayuda en la toma de decisiones al cuantificar la incertidumbre. A través de modelos y axiomas, la teoría de la probabilidad encuentra aplicaciones en diversos campos como las finanzas, los juegos de azar, la ciencia y la ingeniería.

Conceptos básicos de probabilidad

Los bloques de construcción fundamentales de la probabilidad incluyen experimentos, resultados, espacios muestrales y eventos. Vamos a explorar cada uno de estos componentes:

  • Experimento: Una acción o proceso que lleva a uno o más resultados específicos. Por ejemplo, lanzar dados o tirar una moneda son experimentos.
  • Resultado: Un resultado posible de un experimento. Por ejemplo, sacar un '4' es un resultado.
  • Espacio muestral: El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento. Si estamos lanzando dados, el espacio muestral es {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
  • Evento: Un subconjunto del espacio muestral. Un evento podría incluir obtener un número par al lanzar un dado, que podría representarse como {2, 4, 6}.

Axioma de probabilidad

Los fundamentos axiomáticos de la teoría de la probabilidad fueron establecidos por Kolmogorov en 1933. Hay tres axiomas básicos:

  1. No negatividad: La probabilidad de cualquier evento es un número real no negativo. Simbólicamente, si A es un evento, entonces P(A) ≥ 0.
  2. Generalización: La probabilidad de todo el espacio muestral es 1. Esto significa que algo del espacio muestral definitivamente ocurrirá. Formalmente, P(S) = 1, donde S es el espacio muestral.
  3. Aditividad: Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad de que ocurra cualquiera de los eventos es la suma de sus probabilidades individuales: P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Definición clásica de probabilidad

La definición clásica de probabilidad, que se aplica cuando todos los resultados son igualmente probables, se da como:

P(A) = frac{text{Número de resultados favorables}}{text{Número total de resultados en el espacio muestral}}

Para ilustrar, considere el experimento de lanzar un dado justo de seis caras. La probabilidad de que salga un 3 (un evento) es:

P(3) = frac{1}{6}

Ya que hay solo un resultado favorable (que salga un 3), el número total de resultados es 6.

Visualización de probabilidad

Tomemos un ejemplo simple de lanzar una moneda. Definimos la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda justa como 0,5, ya que el espacio muestral es {Cara, Cruz}, con cada resultado teniendo igual probabilidad.

Cara: 50% Cruz: 50%

Probabilidad condicional

La probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento, dado que otro evento ya ha ocurrido. Se calcula usando la fórmula:

P(A | B) = frac{P(A ∩ B)}{P(B)}

Aquí, P(A | B) es la probabilidad condicional de que ocurra el evento A, P(A ∩ B) es la probabilidad de que ocurran ambos eventos y P(B) es la probabilidad de B.

Teorema de Bayes

El teorema de Bayes es un resultado útil en probabilidad que nos permite actualizar la estimación de probabilidad para una hipótesis a medida que se obtiene evidencia adicional. Se formula de la siguiente manera:

P(A | B) = frac{P(B | A) cdot P(A)}{P(B)}

Dónde:

  • P(A | B) es la probabilidad de la hipótesis A dada la información B.
  • P(B | A) es la probabilidad de observar la información B bajo la hipótesis A.
  • P(A) es la probabilidad (priori) de que la hipótesis A sea verdadera.
  • P(B) es la probabilidad de observar la información B.

Independencia

Se dice que dos eventos, A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro. Esto se puede expresar matemáticamente como sigue:

P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

En términos simples, si saber que ocurrió el evento B no te dice nada sobre si ocurrió o no el evento A, entonces los dos eventos son independientes.

Distribución normal en teoría de probabilidad

Las distribuciones de probabilidad describen cómo se distribuyen las probabilidades sobre los valores de una variable aleatoria. Aquí hay algunas de las principales:

Distribución discreta

  • Distribución de Bernoulli: muestra los posibles resultados de un solo experimento en el que se hace una pregunta de sí o no, con la probabilidad p de que se dé una de las respuestas.
  • Distribución binomial: Una forma generalizada de la distribución de Bernoulli para un escenario donde se realiza un experimento múltiples veces.
  • Distribución de Poisson: Describe la probabilidad de que ocurra un cierto número de eventos en un intervalo de tiempo o espacio determinado.

Distribución continua

  • Distribución normal: A menudo conocida como la curva de campana, se caracteriza por su forma simétrica y se define por dos parámetros: media y varianza.
  • Distribución exponencial: Modela el tiempo entre eventos en un proceso de Poisson, donde los eventos ocurren de forma continua e independiente.
  • Distribución uniforme: Todos los resultados dentro de un rango definido son igualmente probables.

Ley de los grandes números

La ley de los grandes números establece que a medida que aumenta el número de experimentos, el promedio de los resultados obtenidos se acercará al valor esperado. Formalmente, si X_1, X_2, ..., X_n son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con valor esperado E(X), entonces:

frac{X_1 + X_2 + ... + X_n}{n} rightarrow E(X) text{ as } n rightarrow infty

Teorema central del límite

El teorema central del límite (TCL) establece que, para un tamaño de muestra suficientemente grande, la distribución muestral de la media de la muestra será aproximadamente normal, independientemente de la distribución original de la población. Este es un concepto fundamental en estadísticas que ayuda a justificar el uso de la distribución normal en problemas prácticos.

Aplicaciones de la teoría de probabilidad

La relevancia de la teoría de probabilidades se extiende a una variedad de áreas:

  • En finanzas: para la evaluación de riesgos y previsión de mercados.
  • En medicina: para explicar el pronóstico de enfermedades y la efectividad de tratamientos.
  • En ciencia de la computación: Los algoritmos, especialmente en aprendizaje automático e inteligencia artificial, a menudo dependen de modelos de probabilidad.
  • En ciencia: La probabilidad se utiliza para estimar la distribución de elementos, partículas, etc.

Conclusión

La teoría de la probabilidad proporciona la base formal sobre la cual los conceptos de incertidumbre pueden estudiarse matemáticamente y lógicamente. Combina la intuición con el análisis cuantitativo, convirtiéndola en una herramienta indispensable en todo el espectro científico. Al comprender su terminología, axiomas y aplicaciones, se pueden hacer predicciones con mayor confianza.


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