Магистратура
  1. Введение в математический анализ  1.1. Теория множеств и логика в реальном анализе  1.1.1. Множества и операции в теории множеств и логике в реальном анализе  1.1.2. Отношения и функции  1.1.3. Логика и кванторы  1.1.4. Мощность множеств  1.2. Метрика  1.2.1. Введение в открытые и замкнутые множества в метрических пространствах  1.2.2. Сходимость последовательностей в метрическом пространстве  1.2.3. Непрерывная функция в метрическом пространстве  1.2.4. Компактность и полнота в метрических пространствах в реальном анализе  1.3. Последовательности и ряды  1.3.1. Сходимость последовательностей  1.3.2. Бесконечные ряды  1.3.3. Равномерная сходимость  1.3.4. Ряды степеней  1.4. Дискриминация  1.4.1. Теорема о среднем значении  1.4.2. Ряд Тейлора  1.4.3. Функции нескольких переменных  1.4.4. Частная производная  1.5. Интеграция  1.5.1. Интегрирование Римана и Лебега  1.5.2. Неправильные интегралы  1.5.3. Теория меры: фундаментальный инструмент в интеграции  1.5.4. Теорема Фубини  1.6. Функциональный анализ  1.6.1. Понимание пространства Банака  1.6.2. Пространства Гильберта  1.6.3. Операторы на пространствах  1.6.4. Спектральная теория
  2. Абстрактная алгебра  2.1. Понимание групп в абстрактной алгебре  2.1.1. Определения и примеры групп в абстрактной алгебре  2.1.2. Гомоморфизмы групп  2.1.3. Введение в нормальные подгруппы  2.1.4. Теорема Силова  2.2. Кольца и поля  2.2.1. Идеалы и фактор-кольца  2.2.2. Расширения полей  2.2.3. Теория Галуа  2.2.4. Полиномиальные кольца  2.3. Введение в модули в абстрактной алгебре  2.3.1. Гомоморфизм модуля  2.3.2. Свободные модули  2.3.3. Введение в тензорные произведения  2.3.4. Точная последовательность в модулях  2.4. Линейная алгебра  2.4.1. Векторное пространство  2.4.2. Собственные значения и собственные векторы  2.4.3. Векторное пространство с внутренним произведением  2.4.4. Диагонализация
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Компактность и связность  3.1.3. Непрерывные отображения  3.1.4. Аксиома отделимости  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Понимание фундаментальных групп в алгебраической топологии  3.2.2. Гомотопия и гомология  3.2.3. Симплициальный комплекс  3.2.4. Точные последовательности в гомологии  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Понимание многообразий в дифференциальной топологии  3.3.2. Гладкие функции  3.3.3. Тангенциальное и котангенциальное пространство  3.3.4. Векторные расслоения
  4. Дифференциальные уравнения  4.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения  4.1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка  4.1.2. Линейные уравнения второго порядка  4.1.3. Системы дифференциальных уравнений  4.1.4. Анализ устойчивости в обыкновенных дифференциальных уравнениях  4.2. Частные дифференциальные уравнения  4.2.1. Классификация уравнений с частными производными  4.2.2. Понимание рядов Фурье в уравнениях с частными производными  4.2.3. Введение в функции Грина  4.2.4. Метод характеристик  4.3. Динамические системы в дифференциальных уравнениях  4.3.1. Теория устойчивости  4.3.2. Предельные циклы в динамических системах  4.3.3. Теория хаоса  4.3.4. Теория бифуркаций
  5. Теория вероятностей и статистика  5.1. Теория вероятностей  5.1.1. Случайные переменные  5.1.2. Распределения вероятностей  5.1.3. Закон больших чисел  5.1.4. Центральная предельная теорема  5.2. Статистическое вывод  5.2.1. Проверка гипотез  5.2.2. Доверительный интервал  5.2.3. Байесовские методы  5.2.4. Метод максимального правдоподобия  5.3. Стохастические процессы  5.3.1. Цепи Маркова  5.3.2. Броуновское движение  5.3.3. Понимание процессов Пуассона  5.3.4. Мартингейлы: всестороннее исследование в вероятности и статистике
  6. Численный анализ  6.1. Численное решение уравнений  6.1.1. Оригинальное открытие  6.1.2. Итерационные методы  6.1.3. Анализ сходимости  6.1.4. Границы ошибок в численных решениях уравнений  6.2. Численная линейная алгебра  6.2.1. Факторизация матриц  6.2.2. Вычисление собственных значений  6.2.3. Разреженные матрицы  6.2.4. Методы предобработки  6.3. Численное интегрирование и дифференцирование  6.3.1. Методы квадратур  6.3.2. Введение в конечные разности  6.3.3. Анализ ошибок в численном интегрировании и дифференцировании  6.3.4. Адаптивные методы в численном интегрировании и дифференцировании
  7. Комплексный анализ  7.1. Комплексные числа  7.1.1. Полярная форма  7.1.2. Комплексные сопряженные  7.1.3. Экспоненциальная форма комплексных чисел  7.1.4. Корни из единицы  7.2. Аналитические функции  7.2.1. Уравнения Коши — Римана  7.2.2. Степенные ряды  7.2.3. Конформное отображение  7.2.4. Гармонические функции  7.3. Интегрирование на комплексной плоскости  7.3.1. Теорема Коши  7.3.2. Теорема о вычетах  7.3.3. Контурное интегрирование  7.3.4. Интегральные преобразования
  8. Математическая логика и основания  8.1. Пропозициональная логика  8.1.1. Таблицы истинности  8.1.2. Логическая эквивалентность в пропозициональной логике  8.1.3. Техники доказательства в пропозициональной логике  8.1.4. Решение в пропозициональной логике  8.2. Логика предикатов  8.2.1. Кванторы в предикатной логике  8.2.2. Формальные системы в предикатной логике  8.2.3. Полнота и правильность  8.2.4. Модельная теория  8.3. Теория множеств  8.3.1. Кардинальность и ординальность  8.3.2. Аксиоматические системы  8.3.3. Понимание теории множеств Цермело-Френкеля  8.3.4. Силы в теории множества
  9. Настройка  9.1. Линейное программирование  9.1.1. Метод симплекс  9.1.2. Двойственность в линейном программировании  9.1.3. Анализ чувствительности в линейном программировании  9.1.4. Методы внутренних точек  9.2. Нелинейное программирование  9.2.1. Градиентный спуск  9.2.2. Множители Лагранжа  9.2.3. Выпуклая оптимизация  9.2.4. Квадратичное программирование  9.3. Комбинаторная оптимизация  9.3.1. Алгоритмы графов  9.3.2. Целочисленное программирование  9.3.3. Сетевой поток  9.3.4. Алгоритмы аппроксимации
  10. Дискретная математика  10.1. Теория графов  10.1.1. Представление графов  10.1.2. Плоскость и цвет  10.1.3. Алгоритм поиска кратчайшего пути  10.1.4. Сетевой поток  10.2. Компаньонство  10.2.1. Перестановка и сочетание  10.2.2. Порождающая функция  10.2.3. Рекуррентные соотношения  10.2.4. Понимание принципа включения-исключения  10.3. Криптография  10.3.1. Применение теории чисел в криптографии  10.3.2. Симметричное и асимметричное шифрование  10.3.3. RSA и криптография на эллиптических кривых  10.3.4. Постквантовая криптография

Магистратура → Теория вероятностей и статистика → Теория вероятностей ↓


Распределения вероятностей


Распределения вероятностей являются фундаментальными концепциями в области теории вероятностей и статистики. Они описывают, как вероятности распределяются по значениям случайной переменной. Распределения вероятностей могут использоваться для моделирования явлений реального мира, представления статистических данных и являются основой для статистического выводы.

Понимание случайных переменных

Случайная переменная — это переменная, возможные значения которой являются числовыми результатами случайного события. Существует два основных типа случайных переменных: дискретные и непрерывные.

  • Дискретная случайная переменная: Случайная переменная с конечным количеством возможных значений. Например, количество студентов в классе или количество случаев выпадения орла при подбрасывании монеты.
  • Непрерывная случайная переменная: Случайная переменная, которая может принимать бесконечное количество возможных значений. Например, рост студентов в классе или время, затраченное на пробег марафона.

Типы распределений вероятностей

  1. Дискретные распределения вероятностей
  2. Непрерывные распределения вероятностей

Дискретные распределения вероятностей

Дискретные распределения вероятностей используются для работы с дискретными случайными переменными. Одним из самых распространенных дискретных распределений вероятностей является биномиальное распределение.

Биномиальное распределение

Биномиальное распределение моделирует количество успешных исходов в определенном количестве независимых испытаний Бернулли, каждое из которых имеет одинаковую вероятность успеха. Например, рассмотрим подбрасывание монеты десять раз. Вероятность получения определенного количества орлов представлена биномиальным распределением.

Функция массовой вероятности (PMF) биномиального распределения определяется следующим образом:

P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)

Где:

  • C(n, k) — это биномиальный коэффициент, который представляет количество способов выбрать k успешных исходов из n испытаний
  • p — вероятность успеха в одном испытании
  • k — количество успешных исходов
  • n — общее количество испытаний
0 1 2 Биномиальное PMF

Непрерывные распределения вероятностей

Непрерывные распределения вероятностей применяются к непрерывным случайным переменным. Одним из известных непрерывных распределений вероятностей является нормальное распределение.

Нормальное распределение

Нормальное распределение, также известное как распределение Гаусса, — это непрерывное распределение вероятностей, характеризующееся симметричной колоколообразной формой. Оно определяется своим средним (µ) и стандартным отклонением (σ).

Функция плотности вероятности (PDF) нормального распределения:

f(x) = (1 / (σ * sqrt(2π))) * e^(-(x - µ)² / (2σ²))

Эта функция описывает, как распределение вероятности распределено по разным значениям x.

Нормальное PDF

Свойства распределений вероятностей

Существуют несколько важных свойств распределений вероятностей:

  • Сумма вероятностей: Для дискретного распределения сумма всех вероятностей в PMF должна равняться 1. Для непрерывного распределения интеграл PDF по всему пространству должен равняться 1.
  • Среднее (ожидаемое значение): Представляет средний или ожидаемый результат. Для дискретных распределений: E(X) = ∑ x * P(x); Для непрерывных распределений: E(X) = ∫ x * f(x) dx.
  • Дисперсия: Измеряет разброс исходов случайной переменной. Для дискретных распределений: Var(X) = ∑ (x - µ)² * P(x); Для непрерывных распределений: Var(X) = ∫ (x - µ)² * f(x) dx.

Применение распределений вероятностей

Распределения вероятностей важны во многих областях, таких как финансы, инженерия, наука и другие. Например, в финансах нормальное распределение часто используется для моделирования цен акций или доходности. В производстве биномиальное распределение может использоваться для моделирования дефектов в партиях продукции.

Другой распространенный пример — использование распределения Пуассона для моделирования количества событий, происходящих в данном интервале времени, таких как количество автомобилей, пересекающих мост за час, или событий распада, происходящих за единицу времени от радиоактивного источника.

Универсальность и повсеместность этих распределений делают их важными инструментами для аналитиков, ученых и статистиков, которые хотят делать обоснованные прогнозы и понимать основные механизмы различных явлений.

Заключение

Понимание распределений вероятностей имеет решающее значение для всех, кто углубляется в области статистики и вероятности. От их базовой роли в математике на уровне бакалавриата до их практического применения в решении реальных задач — овладение распределениями вероятностей предоставляет разнообразный набор инструментов для моделирования неопределенности и прогнозирования.


Магистратура → 5.1.2


U
username
0%
завершено в Магистратура

← предыдущая (5.1.1)
Случайные переменные
следующая (5.1.3) →
Закон больших чисел

комментарии 



Распределения вероятностей

https://www.buddymath.com/g/5.1.2?bmal=ru