Pós-graduação
  1. Introdução à análise real  1.1. Teoria dos conjuntos e lógica em análise real  1.1.1. Conjuntos e operações na teoria dos conjuntos e lógica em análise real  1.1.2. Relações e funções  1.1.3. Lógica e quantificadores  1.1.4. Cardinalidade dos conjuntos  1.2. Espaço métrico  1.2.1. Introdução aos conjuntos abertos e fechados em espaços métricos  1.2.2. Convergência de sequências em um espaço métrico  1.2.3. Função contínua em um espaço métrico  1.2.4. Compacidade e completude em espaços métricos na análise real  1.3. Sequências e séries  1.3.1. Convergência de sequências  1.3.2. Séries infinitas  1.3.3. Convergência uniforme  1.3.4. Séries de potências  1.4. Discriminação  1.4.1. Teorema do valor médio  1.4.2. Série de Taylor  1.4.3. Funções de várias variáveis  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integração  1.5.1. Integração de Riemann e Lebesgue  1.5.2. Integrais impróprias  1.5.3. Teoria da Medida: uma ferramenta fundamental na integração  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análise funcional  1.6.1. Compreendendo espaços de Banach  1.6.2. Espaços de Hilbert  1.6.3. Operadores em espaços  1.6.4. Teoria Espectral
  2. Álgebra Abstrata  2.1. Compreendendo grupos na álgebra abstrata  2.1.1. Definições e exemplos de grupos na álgebra abstrata  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introdução aos subgrupos normais  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anéis e campos  2.2.1. Ideais e anéis quocientes  2.2.2. Extensões de campos  2.2.3. Teoria de Galois  2.2.4. Anéis de polinômios  2.3. Introdução aos módulos em álgebra abstrata  2.3.1. Homomorfismo de Módulos  2.3.2. Módulos livres  2.3.3. Introdução aos produtos tensoriais  2.3.4. Sequência exata em módulos  2.4. Álgebra linear  2.4.1. Espaço vetorial  2.4.2. Autovalores e autovetores  2.4.3. Espaço de produto interno  2.4.4. Diagonalização
  3. Topologia  3.1. Topologia Geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Compacidade e conexidade  3.1.3. Mapas contínuos  3.1.4. Axioma de separação  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Compreendendo grupos fundamentais em topologia algébrica  3.2.2. Homotopia e homologia  3.2.3. Complexo simplicial  3.2.4. Sequências exatas em homologia  3.3. Topologia Diferencial  3.3.1. Compreendendo variedades na topologia diferencial  3.3.2. Funções Suaves  3.3.3. Espaço tangente e cotangente  3.3.4. Feixes vetoriais
  4. Equações diferenciais  4.1. Equação diferencial ordinária  4.1.1. Equações de primeira ordem  4.1.2. Equações lineares de segunda ordem  4.1.3. Sistemas de equações diferenciais  4.1.4. Análise de estabilidade em equações diferenciais ordinárias  4.2. Equações diferenciais parciais  4.2.1. Classificação de PDE  4.2.2. Compreendendo séries de Fourier em equações diferenciais parciais  4.2.3. Introdução às funções de Green  4.2.4. Método de caracterização  4.3. Sistemas dinâmicos em equações diferenciais  4.3.1. Teoria da Sustentabilidade  4.3.2. Ciclos limite em sistemas dinâmicos  4.3.3. Teoria do caos  4.3.4. Teoria da bifurcação
  5. Probabilidade e estatística  5.1. Teoria da probabilidade  5.1.1. Variáveis aleatórias  5.1.2. Distribuições de probabilidade  5.1.3. Lei dos grandes números  5.1.4. Teorema Central do Limite  5.2. Inferência estatística  5.2.1. Teste de hipótese  5.2.2. Intervalo de confiança  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimativa de máxima verossimilhança  5.3. Processos estocásticos  5.3.1. Cadeias de Markov  5.3.2. Movimento Browniano  5.3.3. Compreendendo os processos de Poisson  5.3.4. Martingales: Um estudo abrangente em probabilidade e estatística
  6. Análise numérica  6.1. Soluções numéricas de equações  6.1.1. Descoberta original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análise de convergência  6.1.4. Limites de erro em soluções numéricas de equações  6.2. Álgebra linear numérica  6.2.1. Fatoração de matrizes  6.2.2. Cálculo de autovalores  6.2.3. Matrizes esparsas  6.2.4. Técnicas de pré-condicionamento  6.3. Integração e diferenciação numéricas  6.3.1. Métodos de quadratura  6.3.2. Introdução às diferenças finitas  6.3.3. Análise de erro na integração e diferenciação numérica  6.3.4. Métodos adaptativos em integração e diferenciação numérica
  7. Análise complexa  7.1. Números complexos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados Complexos  7.1.3. Forma exponencial de números complexos  7.1.4. Raízes da unidade  7.2. Funções analíticas  7.2.1. Equações de Cauchy–Riemann  7.2.2. Séries de potências  7.2.3. Mapeamento conforme  7.2.4. Funções harmônicas  7.3. Integração no plano complexo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema do resíduo  7.3.3. Integração de contorno  7.3.4. Transformadas integrais
  8. Lógica Matemática e Fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tabelas de verdade  8.1.2. Equivalência lógica na lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de prova em lógica proposicional  8.1.4. Solução na lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Quantificadores na lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formais na lógica de predicados  8.2.3. Completude e correção  8.2.4. Teoria dos modelos  8.3. Teoria dos conjuntos  8.3.1. Cardinalidade e ordinalidade  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Compreendendo a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Forças na teoria dos conjuntos
  9. Personalização  9.1. Programação linear  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidade na programação linear  9.1.3. Análise de sensibilidade em programação linear  9.1.4. Métodos de ponto interior  9.2. Programação não linear  9.2.1. Descida do Gradiente  9.2.2. Múltiplos de Lagrange  9.2.3. Otimização convexa  9.2.4. Programação quadrática  9.3. Otimização Combinatória  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programação inteira  9.3.3. Fluxo de Rede  9.3.4. Algoritmos de aproximação
  10. Matemática discreta  10.1. Teoria dos grafos  10.1.1. Representação de grafos  10.1.2. Planicidade e cor  10.1.3. Algoritmo de caminho mais curto  10.1.4. Fluxo de rede  10.2. Companheirismo  10.2.1. Percmutações e combinações  10.2.2. Função geradora  10.2.3. Relação de recorrência  10.2.4. Compreendendo o Princípio da Inclusão-Exclusão  10.3. Criptografia  10.3.1. Aplicações da teoria dos números na criptografia  10.3.2. Criptografia Simétrica e Assimétrica  10.3.3. RSA e criptografia de curva elíptica  10.3.4. Criptografia pós-quântica

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Distribuições de probabilidade


Distribuições de probabilidade são conceitos fundamentais nos campos da teoria das probabilidades e estatística. Elas descrevem como as probabilidades são distribuídas sobre os valores de uma variável aleatória. Distribuições de probabilidade podem ser usadas para modelar fenômenos do mundo real, representar dados estatísticos, e formam a espinha dorsal para a inferência estatística.

Entendendo variáveis aleatórias

Uma variável aleatória é uma variável cujos valores possíveis são os resultados numéricos de um evento aleatório. Existem dois tipos principais de variáveis aleatórias: discretas e contínuas.

  • Variável aleatória discreta: Uma variável aleatória com um número contável de valores possíveis. Por exemplo, o número de alunos em uma classe ou o número de vezes que uma moeda cai como cara quando lançada.
  • Variável aleatória contínua: Uma variável aleatória que pode assumir um número infinito de valores possíveis. Por exemplo, a altura dos alunos em uma classe ou o tempo levado para correr uma maratona.

Tipos de distribuições de probabilidade

  1. Distribuições de probabilidade discretas
  2. Distribuições de probabilidade contínuas

Distribuições de probabilidade discretas

Distribuições de probabilidade discretas são usadas para lidar com variáveis aleatórias discretas. Uma das distribuições de probabilidade discretas mais comuns é a distribuição binomial.

Distribuição binomial

A distribuição binomial modela o número de sucessos em um certo número de ensaios Bernoulli independentes, cada um dos quais tem a mesma probabilidade de sucesso. Por exemplo, considere lançar uma moeda dez vezes. A probabilidade de se obter um número específico de caras é representada pela distribuição binomial.

A função de massa de probabilidade (PMF) da distribuição binomial é dada da seguinte forma:

P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)

Onde:

  • C(n, k) é o coeficiente binomial, que representa o número de maneiras de escolher k sucessos em n ensaios
  • p é a probabilidade de sucesso em um único ensaio
  • k é o número de sucessos
  • n é o número total de ensaios
0 1 2 Binomial PMF

Distribuições de probabilidade contínuas

Distribuições de probabilidade contínuas se aplicam a variáveis aleatórias contínuas. Uma distribuição de probabilidade contínua bem conhecida é a distribuição normal.

Distribuição normal

A distribuição normal, também conhecida como distribuição Gaussiana, é uma distribuição de probabilidade contínua caracterizada por sua forma simétrica de sino. É definida por sua média (µ) e desvio padrão (σ).

A função densidade de probabilidade (PDF) da distribuição normal é:

f(x) = (1 / (σ * sqrt(2π))) * e^(-(x - µ)² / (2σ²))

Essa função descreve como a distribuição de probabilidade é distribuída por diferentes valores de x.

Normal PDF

Propriedades das distribuições de probabilidade

Existem várias propriedades importantes das distribuições de probabilidade:

  • Soma das probabilidades: Para uma distribuição discreta, a soma de todas as probabilidades na PMF deve ser igual a 1. Para uma distribuição contínua, a integral da PDF sobre todo o espaço deve ser igual a 1.
  • Média (valor esperado): Representa o resultado médio ou esperado. Para distribuições discretas: E(X) = ∑ x * P(x); Para distribuições contínuas: E(X) = ∫ x * f(x) dx.
  • Variância: Mede a dispersão dos resultados de uma variável aleatória. Para distribuições discretas: Var(X) = ∑ (x - µ)² * P(x); Para distribuições contínuas: Var(X) = ∫ (x - µ)² * f(x) dx.

Aplicações das distribuições de probabilidade

Distribuições de probabilidade são importantes em muitos campos como finanças, engenharia, ciência, entre outros. Por exemplo, em finanças, a distribuição normal é frequentemente usada para modelar preços de ações ou retornos. Na manufatura, a distribuição binomial pode ser usada para modelar defeitos em lotes de produtos.

Outro exemplo comum é o uso da distribuição de Poisson para modelar o número de eventos que ocorrem em um dado intervalo de tempo, como o número de carros cruzando uma ponte por hora ou os eventos de decaimento que ocorrem por unidade de tempo de uma fonte radioativa.

A versatilidade e ubiquidade dessas distribuições as tornam ferramentas essenciais para analistas, cientistas e estatísticos que desejam fazer previsões informadas e entender os mecanismos subjacentes de vários fenômenos.

Conclusão

Entender as distribuições de probabilidade é crucial para quem deseja se aprofundar nos campos de estatística e probabilidade. Desde seu papel fundamental no nível de matemática de graduação até suas aplicações práticas em problemas do mundo real, dominar distribuições de probabilidade proporciona uma caixa de ferramentas diversificada para modelar incertezas e fazer previsões.


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