Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

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Distribuciones de probabilidad


Las distribuciones de probabilidad son conceptos fundamentales en los campos de la teoría de la probabilidad y la estadística. Describen cómo las probabilidades se distribuyen sobre los valores de una variable aleatoria. Las distribuciones de probabilidad pueden usarse para modelar fenómenos del mundo real, representar datos estadísticos y forman la base para la inferencia estadística.

Entendiendo las variables aleatorias

Una variable aleatoria es una variable cuyos valores posibles son los resultados numéricos de un evento aleatorio. Hay dos tipos principales de variables aleatorias: discretas y continuas.

  • Variable aleatoria discreta: Una variable aleatoria con un número contable de valores posibles. Por ejemplo, el número de estudiantes en una clase o el número de veces que una moneda sale cara al lanzarla.
  • Variable aleatoria continua: Una variable aleatoria que puede tomar un número infinito de valores posibles. Por ejemplo, la altura de los estudiantes en una clase o el tiempo que se tarda en correr un maratón.

Tipos de distribuciones de probabilidad

  1. Distribuciones de probabilidad discretas
  2. Distribuciones de probabilidad continuas

Distribuciones de probabilidad discretas

Las distribuciones de probabilidad discretas se utilizan para tratar con variables aleatorias discretas. Una de las distribuciones de probabilidad discretas más comunes es la distribución binomial.

Distribución binomial

La distribución binomial modela el número de éxitos en un cierto número de ensayos de Bernoulli independientes, cada uno de los cuales tiene la misma probabilidad de éxito. Por ejemplo, considere lanzar una moneda diez veces. La probabilidad de obtener un número particular de caras está representada por la distribución binomial.

La función de masa de probabilidad (PMF) de la distribución binomial se da de la siguiente manera:

P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)

Dónde:

  • C(n, k) es el coeficiente binomial, que representa el número de formas de elegir k éxitos de n ensayos
  • p es la probabilidad de éxito en un solo ensayo
  • k es el número de éxitos
  • n es el número total de ensayos
0 1 2 Binomial PMF

Distribuciones de probabilidad continuas

Las distribuciones de probabilidad continuas se aplican a variables aleatorias continuas. Una distribución de probabilidad continua bien conocida es la distribución normal.

Distribución normal

La distribución normal, también conocida como la distribución gaussiana, es una distribución de probabilidad continua caracterizada por su forma simétrica de campana. Se define por su media (µ) y desviación estándar (σ).

La función de densidad de probabilidad (PDF) de la distribución normal es:

f(x) = (1 / (σ * sqrt(2π))) * e^(-(x - µ)² / (2σ²))

Esta función describe cómo se distribuye la probabilidad a lo largo de diferentes valores de x.

Normal PDF

Propiedades de las distribuciones de probabilidad

Hay varias propiedades importantes de las distribuciones de probabilidad:

  • Suma de probabilidades: Para una distribución discreta, la suma de todas las probabilidades en la PMF debe ser igual a 1. Para una distribución continua, la integral de la PDF sobre todo el espacio debe ser igual a 1.
  • Media (valor esperado): Representa el resultado promedio o esperado. Para distribuciones discretas: E(X) = ∑ x * P(x); Para distribuciones continuas: E(X) = ∫ x * f(x) dx.
  • Varianza: Mide la dispersión de los resultados de una variable aleatoria. Para distribuciones discretas: Var(X) = ∑ (x - µ)² * P(x); Para distribuciones continuas: Var(X) = ∫ (x - µ)² * f(x) dx.

Aplicaciones de las distribuciones de probabilidad

Las distribuciones de probabilidad son importantes en muchos campos como las finanzas, la ingeniería, la ciencia y otros. Por ejemplo, en finanzas, la distribución normal se utiliza a menudo para modelar precios de acciones o rendimientos. En la fabricación, la distribución binomial puede usarse para modelar defectos en lotes de productos.

Otro ejemplo común es el uso de la distribución de Poisson para modelar el número de eventos que ocurren en un intervalo de tiempo dado, como el número de autos que cruzan un puente por hora o los eventos de decaimiento que ocurren por unidad de tiempo de una fuente radiactiva.

La versatilidad y ubicuidad de estas distribuciones las convierten en herramientas esenciales para analistas, científicos y estadísticos que quieren hacer predicciones informadas y entender los mecanismos subyacentes de varios fenómenos.

Conclusión

Entender las distribuciones de probabilidad es crucial para cualquiera que se adentre en los campos de la estadística y la probabilidad. Desde su papel fundamental en las matemáticas de nivel universitario hasta sus aplicaciones prácticas en problemas del mundo real, dominar las distribuciones de probabilidad proporciona una caja de herramientas diversa para modelar la incertidumbre y hacer predicciones.


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