研究生
  1. 实分析导论  1.1. 集合论和逻辑在实分析中的应用  1.1.1. 集合与操作在实分析中的集合论与逻辑  1.1.2. 关系和函数  1.1.3. 逻辑和量词  1.1.4. 集合的基数  1.2. 度量空间  1.2.1. 度量空间中开集和闭集的介绍  1.2.2. 度量空间中序列的收敛性  1.2.3. 度量空间中的连续函数  1.2.4. 度量空间中紧致性和完备性在实分析中的应用  1.3. 序列和级数  1.3.1. 序列的收敛性  1.3.2. 无穷级数  1.3.3. 一致收敛  1.3.4. 幂级数  1.4. 歧视  1.4.1. 平均值定理  1.4.2. 泰勒级数  1.4.3. 多变量函数  1.4.4. 偏导数  1.5. 积分  1.5.1. 黎曼积分与勒贝格积分  1.5.2. 广义积分  1.5.3. 测度论：积分中的基础工具  1.5.4. Fubini定理  1.6. 泛函分析  1.6.1. 理解巴拿赫空间  1.6.2. 希尔伯特空间  1.6.3. 空间上的算子  1.6.4. 谱理论
  2. 抽象代数  2.1. 理解抽象代数中的群  2.1.1. 抽象代数中的群定义和例子  2.1.2. 群同态  2.1.3. 正规子群简介  2.1.4. 西洛定理  2.2. 环和域  2.2.1. 理想与商环  2.2.2. 域扩展  2.2.3. 伽罗瓦理论  2.2.4. 多项式环  2.3. 抽象代数中的模简介  2.3.1. 模同态  2.3.2. 自由模  2.3.3. 张量积介绍  2.3.4. 模中的正合序列  2.4. 线性代数  2.4.1. 向量空间  2.4.2. 特征值和特征向量  2.4.3. 内积空间  2.4.4. 对角化
  3. 拓扑学  3.1. 一般拓扑学  3.1.1. 开集和闭集  3.1.2. 紧致性和连通性  3.1.3. 连续映射  3.1.4. 分离公理  3.2. 代数拓扑学  3.2.1. 理解代数拓扑中的基本群  3.2.2. 同伦和同调  3.2.3. 单纯复形  3.2.4. 同调中的正合序列  3.3. 微分拓扑学  3.3.1. 理解微分拓扑中的流形  3.3.2. 平滑函数  3.3.3. 切空间和余切空间  3.3.4. 向量丛
  4. 微分方程  4.1. 常微分方程  4.1.1. 一阶方程  4.1.2. 二阶线性方程  4.1.3. 微分方程组  4.1.4. 常微分方程中的稳定性分析  4.2. 偏微分方程  4.2.1. 偏微分方程的分类  4.2.2. 理解偏微分方程中的傅里叶级数  4.2.3. 引言  4.2.4. 特征化方法  4.3. 微分方程中的动力系统  4.3.1. 可持续性理论  4.3.2. 动力系统中的极限环  4.3.3. 混沌理论  4.3.4. 分岔理论
  5. 概率与统计  5.1. 概率论  5.1.1. 随机变量  5.1.2. 概率分布  5.1.3. 大数法则  5.1.4. 中心极限定理  5.2. 统计推断  5.2.1. 假设检验  5.2.2. 置信区间  5.2.3. 贝叶斯方法  5.2.4. 最大似然估计  5.3. 随机过程  5.3.1. 马尔可夫链  5.3.2. 布朗运动  5.3.3. 理解泊松过程  5.3.4. 鞅：概率与统计中的综合研究
  6. 数值分析  6.1. 方程的数值解  6.1.1. 原始发现  6.1.2. 迭代方法  6.1.3. 收敛性分析  6.1.4. 方程数值解中的误差界限  6.2. 数值线性代数  6.2.1. 矩阵分解  6.2.2. 特征值计算  6.2.3. 稀疏矩阵  6.2.4. 预条件技术  6.3. 数值积分和微分  6.3.1. 求积方法  6.3.2. 有限差分简介  6.3.3. 数值积分和微分中的误差分析  6.3.4. 数值积分和微分中的自适应方法
  7. 复分析  7.1. 复数  7.1.1. 极坐标形式  7.1.2. 共轭复数  7.1.3. 复数的指数形式  7.1.4. 单位根  7.2. 解析函数  7.2.1. 柯西–黎曼方程  7.2.2. 幂级数  7.2.3. 保形映射  7.2.4. 调和函数  7.3. 复平面上的积分  7.3.1. 柯西定理  7.3.2. 留数定理  7.3.3. 轮廓积分  7.3.4. 积分变换
  8. 数学逻辑和基础  8.1. 命题逻辑  8.1.1. 真值表  8.1.2. 命题逻辑中的逻辑等价  8.1.3. 命题逻辑中的证明技术  8.1.4. 命题逻辑中的解  8.2. 谓词逻辑  8.2.1. 谓词逻辑中的量词  8.2.2. 谓词逻辑中的形式系统  8.2.3. 完备性和可靠性  8.2.4. 模型理论  8.3. 集合论  8.3.1. 基数与序数  8.3.2. 公理系统  8.3.3. 理解采墨罗-法兰克尔集合论  8.3.4. 集合论中的强迫
  9. 定制化  9.1. 线性规划  9.1.1. 单纯形方法  9.1.2. 线性规划中的对偶性  9.1.3. 线性规划中的敏感性分析  9.1.4. 内点法  9.2. 非线性规划  9.2.1. 梯度下降  9.2.2. 理解拉格朗日乘子法：解决约束优化问题的方法  9.2.3. 凸优化  9.2.4. 二次规划  9.3. 组合优化  9.3.1. 图算法  9.3.2. 整数规划  9.3.3. 网络流  9.3.4. 近似算法
  10. 离散数学  10.1. 图论  10.1.1. 图的表示  10.1.2. 平面性与颜色  10.1.3. 最短路径算法  10.1.4. 网络流  10.2. 陪伴  10.2.1. 排列与组合  10.2.2. 生成函数  10.2.3. 递归关系  10.2.4. 理解容斥原理  10.3. 密码学  10.3.1. 数论在密码学中的应用  10.3.2. 对称和非对称加密  10.3.3. RSA 和椭圆曲线密码学  10.3.4. 后量子密码学

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随机变量


在概率论和统计学中，随机变量的概念是基础。随机变量使我们能够测量和描述随机事件的结果。通过随机变量，我们可以理解和预测各种现象的行为，这些现象可能并不总是有一个直接模式或规则。

什么是随机变量？

随机变量是代表随机事件或实验的数字结果的变量。随机变量有两种类型：离散型和连续型。

离散随机变量

离散随机变量具有可数数量的可能值。例子包括掷骰子，结果可能是1、2、3、4、5或6。其他例子可能包括掷几枚硬币时的正面数或商店排队人数。

连续随机变量

另一方面，连续随机变量可以在某个范围内取任何值。例如，一天内的降雨量或一组人的身高是连续的。本质上，连续随机变量代表了可数无限的可能性。

概率分布

每个随机变量都有一个相关的概率分布，告诉我们随机变量取每个可能值的概率。

概率质量函数（PMF）

概率质量函数适用于离散随机变量。对于给定的结果值，PMF提供随机变量恰好等于该结果的概率。

P(X = x) = f(x)

例如，考虑掷骰子：一个公平的六面骰子的PMF会为每个从1到6的数字分配1/6的概率。

概率密度函数（PDF）

概率密度函数适用于连续随机变量。PDF并不能给我们随机变量取确切值的概率，因为连续变量的任何单个点的概率为零。相反，PDF描述了随机变量在某个范围内取值的相对概率。

累积分布函数（CDF）

累积分布函数提供随机变量小于或等于特定值的概率。它适用于离散和连续随机变量。

F(x) = P(X

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