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रैंडम वेरियेबल्स
प्रायिकता सिद्धांत और सांख्यिकी में, रैंडम वेरियेबल्स का अवधारणा मौलिक है। रैंडम वेरियेबल्स हमें रैंडम घटनाओं के परिणामों को मापने और वर्णन करने की अनुमति देते हैं। रैंडम वेरियेबल्स के साथ, हम विभिन्न घटनाओं के व्यवहार को समझ सकते हैं और अनुमान लगा सकते हैं, जिनका हमेशा एक सरल पैटर्न या नियम नहीं हो सकता है।
रैंडम वेरियेबल क्या है?
एक रैंडम वेरियेबल एक वेरियेबल है जो एक रैंडम घटना या प्रयोग के संख्यात्मक परिणाम का प्रतिनिधित्व करता है। रैंडम वेरियेबल्स के दो प्रकार होते हैं: डिस्क्रीट और कंटीन्यूअस।
डिस्क्रीट रैंडम वेरियेबल
डिस्क्रीट रैंडम वेरियेबल्स की संभावित मूल्यों की गिनने योग्य संख्या होती है। उदाहरणों में डीआईईस को फेंकना शामिल है, जहां परिणाम 1, 2, 3, 4, 5, या 6 हो सकता है। अन्य उदाहरण हो सकते हैं कई सिक्कों को उछालते समय हेड्स की संख्या या स्टोर में कतार में खड़े लोगों की संख्या।
कंटीन्यूअस रैंडम वेरियेबल
वहीं पर, कंटीन्यूअस रैंडम वेरियेबल्स एक निश्चित सीमा के भीतर कोई भी मान ले सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक दिन में गिरने वाली बारिश की मात्रा या लोगों के एक समूह की ऊंचाई कंटीन्यूअस है। मूलतः, कंटीन्यूअस रैंडम वेरियेबल्स गिनने योग्य अनंत संभावनाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं।
प्रायिकता वितरण
प्रत्येक रैंडम वेरियेबल का एक संबंधित प्रायिकता वितरण होता है जो हमें बताता है कि रैंडम वेरियेबल के प्रत्येक संभावित मूल्य लेने की संभावना कितनी है।
प्रायिकता मास फंक्शन (PMF)
प्रायिकता मास फंक्शन डिस्क्रीट रैंडम वेरियेबल्स पर लागू होता है। किसी दिए गए परिणाम मान के लिए, PMF इस बात की संभावना प्रदान करता है कि रैंडम वेरियेबल बिल्कुल उस परिणाम के बराबर है।
P(X = x) = f(x)उदाहरण के लिए, एक पासे के फेकने पर विचार करें: एक निष्पक्ष छह-पक्षीय पासे का PMF 1/6 की प्रायिकता 1 से 6 तक के प्रत्येक नंबर को सौंपेगा।
प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन (PDF)
प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन कंटीन्यूअस रैंडम वेरियेबल्स पर लागू होता है। PDF हमें रैंडम वेरियेबल के एक सटीक मान लेने की संभावना नहीं देता है, क्योंकि किसी कंटीन्यूअस वेरियेबल के लिए किसी भी एकल बिंदु की संभावना शून्य होती है। इसके बजाय, PDF कुछ निश्चित सीमा के भीतर रैंडम वेरियेबल के मूल्य लेने की सापेक्ष संभावना का वर्णन करता है।
संचयी वितरण फ़ंक्शन (CDF)
संचयी वितरण फ़ंक्शन इस संभावना को प्रदान करता है कि एक रैंडम वेरियेबल किसी विशेष मूल्य के बराबर या उससे कम होगा। यह डिस्क्रीट और कंटीन्यूअस दोनों रैंडम वेरियेबल्स पर लागू होता है।
F(x) = P(X
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