चरित्रिकरण विधि

विशेषताओं की विधि एक शक्तिशाली तकनीक है, जिसका उपयोग कुछ प्रकार के आंशिक अंतर समीकरणों (PDEs) को हल करने के लिए किया जाता है, विशेष रूप से जो प्रथम क्रमिक और रैखिक या अर्ध-रैखिक स्वभाव के होते हैं। यह PDE को एक साधारण अंतर समीकरणों (ODEs) के सेट में परिवर्तित करता है, जिन्हें अक्सर हल करना बहुत आसान होता है। यह विधि द्रव गतिकी, तरंग प्रसार और यातायात प्रवाह विश्लेषण जैसे क्षेत्रों में मूलभूत है। इस विधि का सार है कि PDE को एक ODE प्रणाली में बदलकर विशेषता वक्रों के माध्यम से परिवर्तित किया जाए, जिन्हें हम मूल समीकरण का हल खोजने के लिए सुलझाते हैं।

विशेषताओं की विधि की खोज शुरू करने के लिए, आइए पहले दो चर, x और t में एक मूलभूत प्रथम क्रमिक PDE पर विचार करें:

a(x, t) u_x + b(x, t) u_t = c(x, t, u)
a(x, t) u_x + b(x, t) u_t = c(x, t, u)

इस समीकरण में एक अज्ञात फलन u(x, t) के आंशिक अवकलज x और t के संबंध में शामिल होते हैं। विचार है कि ऐसे पथ खोजे जाएं, जिन्हें विशेषताएं कहा जाता है, जिनके साथ PDE एक सरल रूप में घटित हो जाती है। ये पथ PDE से व्युत्पन्न ODE प्रणाली के हल होते हैं। चलिए गहराई से समझते हैं।

विशेषता वक्रों के अवकलज

PDE को देखते हुए:

a(x, t) u_x + b(x, t) u_t = c(x, t, u)
a(x, t) u_x + b(x, t) u_t = c(x, t, u)

हम मानते हैं कि हम तथाकथित विशेषता वक्रों के साथ चर और अज्ञात फलन (x, t, u) का पैरामीट्रीकरण कर सकते हैं। अर्थात्, हम एक पैरामीटर s की खोज करते हैं जिससे:

x = x(s), t = t(s), u = u(s)
x = x(s), t = t(s), u = u(s)

यह पैरामीट्रीकरण PDE को ODE में बदलने की अनुमति देता है। आंशिक अवकलज इस प्रकार परिवर्तित होते हैं:

u_x = (du/ds) / (dx/ds), u_t = (du/ds) / (dt/ds)
u_x = (du/ds) / (dx/ds), u_t = (du/ds) / (dt/ds)

इन अभिव्यक्तियों को हमारे PDE में प्रतिस्थापित करें:

a(x, t) (du/ds) / (dx/ds) + b(x, t) (du/ds) / (dt/ds) = c(x, t, u)
a(x, t) (du/ds) / (dx/ds) + b(x, t) (du/ds) / (dt/ds) = c(x, t, u)

किसी भी du/ds को शून्य के अलावा मान्य बनाने के लिए, हमें s के साथ x और t के परिवर्तन को संबंधित करने वाले पदों को बराबर करना होगा:

a(x, t) / (dx/ds) + b(x, t) / (dt/ds) = 0
a(x, t) / (dx/ds) + b(x, t) / (dt/ds) = 0

पुनर्लेखन प्राप्त करता है:

dx/ds = a(x, t) dt/ds = b(x, t) du/ds = c(x, t, u)
dx/ds = a(x, t) dt/ds = b(x, t) du/ds = c(x, t, u)

ये विशेषता समीकरण हैं। इन ODEs को सुलझाने से PDE की विशेषता मिलती है, जो दर्शाती है कि x-t समतल में एक पथ के साथ PDE एक ODE बन जाती है जिसे आसानी से हल किया जा सकता है।

विशेषताओं का उपयोग करके PDEs को हल करना

सरल तरंग समीकरण पर विचार करें:

u_t + cu_x = 0
u_t + cu_x = 0

यहाँ, c एक स्थिरांक है जो तरंग की गति का संकेत देता है। विशेषता समीकरण इस प्रकार हैं:

dx/ds = c => x = cs + x_0 dt/ds = 1 => t = s + t_0 du/ds = 0 => u = स्थिरांक
dx/ds = c => x = cs + x_0 dt/ds = 1 => t = s + t_0 du/ds = 0 => u = स्थिरांक

इनसे निम्नलिखित संबंध प्राप्त होते हैं:

x(t) = ct + C_1 u(x(t), t) = f(C_1)
x(t) = ct + C_1 u(x(t), t) = f(C_1)

चूंकि C_1 एक विशेषता वक्र के साथ स्थिरांक है, यह समाधान को पूर्ण करता है, जो दर्शाता है कि u(x, t) = f(x - ct) दो चलाने वाली तरंगों का संयोजन है। विशिष्ट समाधान खोजने के लिए प्रारंभिक या सीमा अवस्थाओं के साथ इनकी गणना करें।

एक व्यावहारिक उदाहरण

एक और जटिल समस्या लें:

u_t + xu_x = x^2
u_t + xu_x = x^2

यहां, हम विशिष्ट समीकरणों की पहचान करते हैं:

dx/ds = x => x = C_1 e^s dt/ds = 1 => t = s + C_2 du/ds = x^2 => u के लिए शामिल करें
dx/d