आंशिक अवकल समीकरणों में फूरियर श्रृंखला को समझना

फूरियर श्रृंखला गणित में एक शक्तिशाली उपकरण हैं जिसका उपयोग जटिल आवधिक फंक्शन को सरल साइन और कोसाइन घटकों में विभाजित करने के लिए किया जाता है। यह अवधारणा अवकल समीकरणों के अध्ययन में, विशेष रूप से आंशिक अवकल समीकरणों (PDEs) में महत्वपूर्ण है। इस पाठ में, हम गहराई से फूरियर श्रृंखला, उनके गणितीय गठन, व्यावहारिक उदाहरण और PDEs को हल करने के अनुप्रयोग का अन्वेषण करेंगे।

फूरियर श्रृंखला क्या है?

फूरियर श्रृंखला एक आवधिक फंक्शन को साइन और कोसाइन फंक्शनों के अनंत राशि के रूप में प्रस्तुत करने का एक तरीका है। साइनुसॉइडल फंक्शन अपनी आवधिक प्रकृति और उनके ओर्थोगोनैलिटी के कारण महत्वपूर्ण हैं, जिसका मतलब है कि वे अधिक जटिल फंक्शनों के निर्माण खंड के रूप में उपयोग किए जा सकते हैं।

एक फंक्शन f(x) के लिए फूरियर श्रृंखला का सामान्य रूप T अवधि के साथ इस प्रकार दिया जाता है:

f(x) = a_0 + ∑ (a_n * cos(n * omega_0 * x) + b_n * sin(n * omega_0 * x))

जहाँ:

• n एक धनात्मक पूर्णांक है (हर्मोनिक संख्या को दर्शाता है)।
• omega_0 = 2π/T मूलभूत आवृत्ति है।
• a_0, a_n, b_n फूरियर गुणांक हैं।

फूरियर गुणांक इस प्रकार गणना किए जाते हैं:

a_0 = (1/T) ∫[−T/2, T/2] f(x) dx

a_n = (2/T) ∫[−T/2, T/2] f(x) cos(n * omega_0 * x) dx

b_n = (2/T) ∫[−T/2, T/2] f(x) sin(n * omega_0 * x) dx

इन इंटीग्रल को f(x) की एक पूर्ण अवधि पर मूल्यांकित किया जाता है। गुणांक a_n और b_n श्रृंखला में कोसाइन और साइन घटकों के आयाम को निर्धारित करते हैं। गुणांक a_0 एक अवधि में फंक्शन के औसत या माध्य मान का प्रतिनिधित्व करता है।

दृश्य उदाहरण: एक वर्ग तरंग बनाना

यह समझने के लिए कि एक फूरियर श्रृंखला कैसे काम करती है, चलिए एक वर्ग तरंग पर विचार करते हैं, एक आवधिक फंक्शन जो उच

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