常微分方程

常微分方程（ODEs）是涉及一个或多个自变量以及其导数的方程。术语“常微分”用于与“偏微分”相对，后者用于指偏微分方程（PDEs）。ODEs 在多种科学领域中都很重要，因为它们通常描述了系统随时间的变化。这些方程的解可以揭示出所研究系统的行为和特性。

基本概念和定义

常微分方程是包含函数一个或多个导数的方程。主要目的是确定未知函数，通常表示为y(x)。对于 ODEs，仅包括对一个变量的导数，通常是时间或空间。ODEs 通常可以表示为：

F(x, y, y', y'', ..., y ⁽ⁿ⁾ ) = 0

其中y'、y''、...、y ⁽ⁿ⁾表示y对自变量x的导数。

微分方程的阶数

微分方程的阶数是方程中最高阶导数的阶数。例如：

y' + y = 0是一阶微分方程。
y'' + y' - y = x是二阶微分方程。

线性与非线性 ODEs

如果一个 ODE 可以表示为未知函数及其导数的线性多项式，则称为线性 ODE。线性 ODE 看起来像这样：

a _n (x)y ⁽ⁿ⁾ + a _n-1 (x)y ^(n-1) + ... + a ₁ (x)y' + a ₀ (x)y = g(x)

其中a _i (x)和g(x)仅是x的函数。如果 ODE 不能以这种形式表示，则是非线性的。

求解常微分方程

有多种方法可以求解常微分方程，所选方法取决于 ODE 的类型和阶数。让我们讨论一些基本方法：

可分离方程

如果一个方程可以重新排列成一种形式，使变量可以在方程的两边分离，则称为可分离方程。例如：

dy/dx = g(y)h(x)

可重新排列为：

(1/g(y)) dy = h(x) dx

现在可以分别对两边进行积分。

示例：

dy/dx = yx

这可以重写为：

(1/y) dy = x dx

对两边进行积分：

ln|y| = (1/2)x ² + C

求解y，得到：

y = ± e ^{(1/2)x ² + C}

一阶线性方程

一阶线性微分方程的形式为：

dy/dx + P(x)y = Q(x)

这里通常使用积分因子法：

IF = e ^{∫P(x) dx}

乘以积分因子将方程转换为可以直接积分的形式。

示例：

dy/dx + y = e ^x

首先，确定积分因子，IF = e ^{∫1 dx} = e ^x。

两边乘以e ^x：

e ^x dy/dx + e ^x y = e ^2x

变为：

d/dx(e ^x y) = e ^2x

对两边积分：

e ^x y = (1/2)e ^2x + C

因此，y = (1/2)e ^x + Ce ^-x。

高阶线性微分方程

高阶线性微分方程在数学建模和分析中非常重要。它们通常可以表示为：

a _n (x)y ⁽ⁿ⁾ + a _n-1 (x)y ^(n-1) + ... + a ₁ (x)y' + a ₀ (x)y = g(x)

示例：

通常讨论的二阶线性 ODE 是：

y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x)

如果g(x) = 0，则方程是齐次的。

解法

特征方程

如果g(x) = 0，假设解的形式为y = e ^rx。代入 ODE 得到特征方程，通常是r的多项式：

ar ² + br + c = 0

求解r以找到基于不同、重复或复根的通解。解的形式通常是：

不同根r ₁ , r ₂：y = c ₁ e ^{r ₁ x} + c ₂ e ^{r ₂ x}
重复根r：y = (c ₁ + c ₂ x)e ^rx
复根α ± βi：y = e ^αx (c ₁ cos(βx) + c ₂ sin(βx))

特殊解

当考虑方程g(x) ≠ 0时，解由齐次解y _h和通过如常数变异或参数变差等方法获得的特解y _p组成。