Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

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Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias


El análisis de estabilidad es una parte importante para entender las ecuaciones diferenciales ordinarias (ODEs) en matemáticas, especialmente a nivel de pregrado. Implica determinar cómo se comportan las soluciones de las ODEs a lo largo del tiempo, especialmente en respuesta a pequeñas perturbaciones o cambios en las condiciones iniciales.

1. Introducción a la sostenibilidad

Cuando se trata de ecuaciones diferenciales, es esencial entender si las soluciones permanecen cercanas a un estado particular a lo largo del tiempo. Este concepto se conoce como estabilidad. Un sistema estable regresará a su estado de equilibrio después de una pequeña perturbación, mientras que un sistema inestable se alejará del equilibrio.

2. Punto de equilibrio

Antes de considerar la estabilidad, necesitamos identificar los puntos de equilibrio del sistema. El punto de equilibrio de una ecuación diferencial ordinaria es el punto donde la derivada es cero.

Considera la simple ODE: dx/dt = f(x) Un punto de equilibrio x0 satisface f(x0) = 0.

Estos puntos son como los estados de reposo del sistema dinámico. Si imaginas una bola en un cuenco, el fondo del cuenco será el punto de equilibrio.

Ejemplo visual

punto de equilibrio

3. Tipos de estabilidad

3.1 Estabilidad asintótica

Un punto de equilibrio es asintóticamente estable si las soluciones que comienzan cerca del punto de equilibrio no solo permanecen cerca del equilibrio, sino que también tienden hacia el equilibrio a medida que el tiempo se aproxima al infinito.

3.2 Estabilidad de Lyapunov

Un punto de equilibrio es estable de Lyapunov si siempre que las soluciones comiencen lo suficientemente cerca del punto de equilibrio, permanecen cerca, pero con el tiempo pueden no necesariamente converger al punto de equilibrio.

3.3 Inestabilidad

Un punto de equilibrio es inestable si las soluciones que comienzan cerca no permanecen cerca; más bien, se alejan del punto de equilibrio.

4. Análisis de estabilidad lineal

Para sistemas lineales, determinar la estabilidad es relativamente simple. Considera este sistema:

dx/dt = Ax

donde A es una matriz de constantes. La estabilidad de este sistema puede determinarse observando los valores propios de la matriz A.

  • Si las partes reales de todos los valores propios son negativas, el equilibrio es asintóticamente estable.
  • Si la parte real de algún valor propio es positiva, el equilibrio es inestable.
  • Si la parte real del valor propio es cero, se necesita un análisis adicional para determinar la estabilidad.

Ejemplo

Considera el sistema lineal: dx/dt = [[-2, 0], [0, -3]] x Los valores propios son -2 y -3, ambos negativos. Por lo tanto, este sistema es asintóticamente estable.

5. Análisis de estabilidad no lineal

Para sistemas no lineales, el análisis de estabilidad es más complicado. El método de linealización nos permite estudiar un sistema no lineal aproximándolo con un punto lineal cerca de un punto de equilibrio.

Si tienes un sistema no lineal:

dx/dt = f(x)

El sistema puede ser linealizado alrededor del punto de equilibrio x0 al calcular la matriz jacobiana J de las derivadas parciales en x0:

J = [ [∂f₁/∂x₁, ..., ∂f₁/∂xₙ], ..., [∂fₙ/∂x₁, ..., ∂fₙ/∂xₙ] ]

Ejemplo

Considera:

dx/dt = y dy/dt = -x + y - x²

Punto de equilibrio: (0, 0)

Matriz jacobiana en (0, 0):

J = [ [0, 1], [-1, 1] ]

Los valores propios de J determinan la estabilidad del origen.

6. Método directo de Lyapunov

Otra forma de estudiar la estabilidad es el método directo de Lyapunov. Este método no requiere resolver una ecuación diferencial.

Encuentra una función escalar V(x), llamada la función de Lyapunov, que satisfaga:

  • V(x) > 0, y V(0) = 0 para x ≠ 0
  • dV/dt ≤ 0 a lo largo de la trayectoria del sistema

Si existe tal función, entonces el punto es estable de Lyapunov. Si dV/dt es realmente <, entonces el punto es asintóticamente estable.

Ejemplo

Considera el sistema:

dx/dt = -x

Elegimos V(x) = x². Entonces:

dV/dt = 2x(dx/dt) = 2x(-x) = -2x² ≤ 0

Este sistema es asintóticamente estable en x = 0.

7. Visualización de la estabilidad con diagramas fasoriales

El diagrama de fase es una representación gráfica de las trayectorias de un sistema dinámico en el plano de fase. Veamos un caso simple:

Ejemplo

Nodo estable

En el diagrama de fase anterior, las trayectorias convergen a un punto, indicando un sistema asintóticamente estable.

8. Resumen y conclusión

El análisis de estabilidad de las ecuaciones diferenciales ordinarias proporciona información sobre el comportamiento a largo plazo de los sistemas dinámicos. Al examinar puntos de equilibrio y entender conceptos como la estabilidad asintótica, podemos predecir si pequeñas perturbaciones harán que un sistema se recupere o se desmorone.

Varios métodos, incluidos la linealización, los métodos de Lyapunov y la delimitación de fase, nos brindan herramientas para evaluar la estabilidad tanto de sistemas lineales como no lineales.

En la práctica, estos métodos son invaluables en campos como la ingeniería, la física y la economía, donde ayudan a diseñar sistemas estables y entender fenómenos dinámicos complejos.


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Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias

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