Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

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Sistemas de ecuaciones diferenciales


Los sistemas de ecuaciones diferenciales son una parte vital para comprender sistemas dinámicos complejos en matemáticas, ingeniería, física y muchos otros campos. Mientras que una sola ecuación diferencial puede describir la tasa de cambio de una variable, los sistemas de ecuaciones diferenciales pueden modelar el cambio de varias variables interconectadas simultáneamente. Esta lección introducirá qué son estos sistemas, cómo pueden resolverse y proporcionará ejemplos simples y explicaciones con ayudas visuales cuando sea posible.

¿Qué es un sistema de ecuaciones diferenciales?

Un sistema de ecuaciones diferenciales consta de dos o más ecuaciones diferenciales interrelacionadas que describen cómo se relacionan entre sí funciones desconocidas y sus derivadas. Estos sistemas son generalmente aplicables para tratar con múltiples cantidades que interactúan. Los tipos más comunes de sistemas son los sistemas lineales y no lineales.

Más formalmente, un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias puede escribirse como:

    x' = f(t, x, y, z, ...) y' = g(t, x, y, z, ...) z' = h(t, x, y, z, ...) ...

Aquí, x', y' y z' son derivadas de funciones desconocidas con respecto al tiempo t. Las funciones f, g, h, etc. representan la relación entre estas funciones y el tiempo.

Sistemas lineales

Los sistemas lineales son la forma más simple de sistemas de ecuaciones diferenciales, y a menudo pueden resolverse utilizando métodos matriciales. Un sistema lineal puede expresarse en forma matricial de la siguiente manera:

    X' = AX + B

donde X es un vector de funciones desconocidas, A es una matriz de coeficientes, y B es un vector constante.

Por ejemplo, considere un sistema simple:

    x' = 3x + 4y y' = 2x + y

Este sistema puede reescribirse en forma matricial:

    | x' | = | 3 4 | | x | | y' | | 2 1 | | y |
Sistema en Forma Matricial:|x' | = | 3 4 | | x ||y' || 2 1 | | y |

Soluciones de sistemas lineales

La solución a un sistema lineal a menudo puede encontrarse utilizando los autovectores y autovalores de la matriz A. La solución general al sistema homogéneo X' = AX puede expresarse en términos de estos autovalores y autovectores.

Los autovectores y autovalores proporcionan información sobre el comportamiento del sistema, como estabilidad u oscilación. Para un sistema 2x2:

    A = | a11 a12 | | a21 a22 |

Calcular el autovalor λ resolviendo la ecuación característica:

    det(A - λI) = 0

Luego encontrar los autovectores para cada autovalor.

Ejemplo: modelo depredador-presa

Un ejemplo clásico que demuestra sistemas de ecuaciones diferenciales es el modelo depredador-presa, también conocido como las ecuaciones de Lotka-Volterra. Este modelo describe la interacción de dos especies: un depredador y una presa.

El sistema de ecuaciones es:

    x' = αx - βxy y' = δxy - γy

donde x es la población de presas, y es la población de depredadores, y α, β, δ, γ son constantes positivas que describen las tasas de interacción.

Población de presas (x)Población de depredadores (y)interacción

Analizar este sistema podría revelar una solución periódica, donde ambas poblaciones oscilan con el tiempo, indicando desafíos dinámicos de las interacciones depredador-presa.

Sistemas no lineales

Los sistemas no lineales son más complejos y desafiantes de resolver debido a su naturaleza no lineal. Los sistemas no lineales pueden exhibir comportamientos complejos como caos, bifurcaciones y ciclos límite.

Considerar el siguiente sistema no lineal:

    x' = x(1 - x) - xy y' = -y + xy

Las soluciones en sistemas no lineales a menudo requieren métodos numéricos o análisis cualitativo.

Análisis cualitativo

Una parte importante del estudio de los sistemas de ecuaciones diferenciales es comprender el comportamiento cualitativo de las soluciones sin encontrar soluciones explícitas. El análisis de planos de fase es una herramienta poderosa para visualizar las trayectorias de los sistemas en un plano de estado.

equilibrio

Los puntos de equilibrio y su estabilidad pueden afectar significativamente la dinámica del sistema. La linealización alrededor de los puntos de equilibrio puede ayudar a analizar la estabilidad a través de autovalores.

Solución numérica

Muchos sistemas de ecuaciones diferenciales, especialmente los sistemas no lineales, no tienen soluciones en forma cerrada, requiriendo métodos numéricos para la aproximación. Métodos como el método de Euler, el método de Runge-Kutta y otros son herramientas esenciales.

Por ejemplo, el método de Euler aproxima la solución a través de un proceso iterativo simple:

    x_(n+1) = x_n + h*f(t_n, x_n, y_n) y_(n+1) = y_n + h*g(t_n, x_n, y_n)

donde h es el tamaño del paso de tiempo.

Conclusión

Los sistemas de ecuaciones diferenciales son una herramienta matemática poderosa que permite modelar sistemas complejos con muchas variables que interactúan. Comprendiendo los fundamentos de los sistemas tanto lineales como no lineales, usando métodos matriciales, autovectores, análisis cualitativo y numérico, uno puede describir, analizar y predecir el comportamiento de sistemas dinámicos en varios campos científicos.


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