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द्वितीय-क्रम रैखिक समीकरण
द्वितीय-क्रम रैखिक अवकल समीकरण अवकल समीकरणों के अध्ययन का एक अभिन्न हिस्सा है, विशेषकर स्नातकोत्तर स्तर की गणित में। इस प्रकार के समीकरण कई भौतिक प्रणालियों और घटनाओं का वर्णन करते हैं, जैसे यांत्रिक कंपन, विद्युत सर्किट, और अधिक।
द्वितीय-क्रम रैखिक अवकल समीकरण का सामान्य रूप है:
a(x) y'' + b(x) y' + c(x) y = g(x)जहां:
a(x),b(x)औरc(x)स्वतंत्र चरxके फलन हैं।yआश्रित चर है।g(x)एक ज्ञात फलन है।- शब्द
y''औरy'क्रमशःyकेxके सापेक्ष द्वितीय और प्रथम अवकलज का प्रतिनिधित्व करते हैं।
इन समीकरणों का एक विशेष मामला तब होता है जब गुणांक स्थिर होते हैं, अर्थात् a(x), b(x) और c(x) स्थिर होते हैं। ऐसे समीकरण का समजातीय रूप है:
a y'' + by' + cy = 0अनुरूप अविविक्त समीकरण है:
a y'' + by' + cy = g(x)योगवान सिद्धांत
एक रैखिक अवकल समीकरण के लिए, योगवान सिद्धांत कहता है कि यदि y_1(x) और y_2(x) समजातीय समीकरण a y'' + by' + cy = 0 के हल हैं, तो किसी भी स्थिरांक C_1 और C_2 के लिए, C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x) भी एक समाधान है। यह सिद्धांत समजातीय समीकरणों के सामान्य समाधान के निर्माण में मदद करता है।
लक्षणात्मक समीकरण
स्थिर गुणांक वाले समजातीय समीकरण a y'' + by' + cy = 0 को हल करने के लिए, हम इसे एक बीजगणितीय समीकरण में परिवर्तित करते हैं जिसे लक्षणात्मक समीकरण कहा जाता है:
ar^2 + br + c = 0इस द्विघातीय समीकरण को द्विघातीय सूत्र का उपयोग करके हल किया जा सकता है:
r = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)मूलों की प्रकृति (वास्तविक और अलग, वास्तविक और समान, या सम्मिश्र) अवकल समीकरण के सामान्य समाधान के रूप को निर्धारित करती है।
समाधान के प्रकार
मामला 1: वास्तविक और भिन्न मूल
यदि लक्षणात्मक समीकरण के वास्तविक और भिन्न मूल r_1 और r_2 हैं, तो समजातीय अवकल समीकरण का सामान्य समाधान होता है:
y(x) = C_1 e^(r_1 x) + C_2 e^(r_2 x)उदाहरण
समीकरण पर विचार करें:
y'' - 3y' + 2y = 0लक्षणात्मक समीकरण है:
r^2 - 3r + 2 = 0द्विघातीय सूत्र का उपयोग करके समाधान:
r = (3 ± √(9-8)) / 2 r_1 = 2, r_2 = 1सामान्य समाधान यह है:
y(x) = C_1 e^(2x) + C_2 e^xमामला 2: वास्तविक और आवृत्ति वाले मूल
यदि लक्षणात्मक समीकरण के वास्तविक और आवृत्ति वाले मूल r हैं, तो सामान्य समाधान बन जाता है:
y(x) = (C_1 + C_2 x) e^(rx)उदाहरण
पर विचार करें:
y'' - 4y' + 4y = 0लक्षणात्मक समीकरण है:
r^2 - 4r + 4 = 0समाधान:
r = (4 ± √(16-16)) / 2 r = 2 (आवृत्ति वाला मूल)सामान्य समाधान यह है:
y(x) = (C_1 + C_2 x) e^(2x)मामला 3: सम्मिश्र मूल
जब लक्षणात्मक समीकरण के सम्मिश्र मूल होते हैं, r = α ± βi, तो सामान्य समाधान होता है:
y(x) = e^(α x) (C_1 cos(βx) + C_2 sin(βx))उदाहरण
समीकरण पर विचार करें:
y'' + y = 0लक्षणात्मक समीकरण है:
r^2 + 1 = 0समाधान:
r = ±iसामान्य समाधान यह है:
y(x) = C_1 cos(x) + C_2 sin(x)असमजातीय समीकरण
एक असमजातीय समीकरण a y'' + by' + cy = g(x) के लिए, सामान्य समाधान होता है संगत समजातीय समीकरण के सामान्य समाधान का योग और एक विशेष समाधान y_p(x):
y(x) = y_h(x) + y_p(x)अनिर्धारित गुणांक की विधि
यह विधि अनिर्धारित गुणांक के साथ एक विशेष समाधान y_p(x) का अनुमान लगाने में शामिल होती है और फिर उन गुणांकों के लिए हल करती है। y_p(x) का रूप g(x) पर निर्भर करता है।
उदाहरण
पर विचार करें:
y'' - 2y' + y = e^xपिछले गणना से समजातीय समाधान:
y_h(x) = (C_1 + C_2 x) e^xअनुमान y_p(x) = A xe^x:
- असमजातीय अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करें
- A के लिए हल करें
अनुप्रयोग
द्वितीय-क्रम रैखिक अवकल समीकरणों का उपयोग भौतिकी और अभियांत्रिकी जैसे कई क्षेत्रों में किया जाता है। उदाहरण के लिए, वे वर्णन कर सकते हैं:
- हुक के नियम का उपयोग करके वसंत-द्रव्यमान प्रणाली।
- विद्युत अभियांत्रिकी में आरसी और आरएलसी परिपथ।
- प्रणालियों में व्यवहार की भविष्यवाणी करने के तरीके, जैसे कि जनसंख्या गतिकी, ऊष्मप्रवैगिकी आदि।
इन समीकरणों को समझने से जटिल इंजीनियरिंग समस्याओं को हल करने और उन्नत गतिशील प्रणालियों का अध्ययन करने का आधार बनता है।
निष्कर्ष
द्वितीय-क्रम रैखिक अवकल समीकरण सतत गतिशील प्रणालियों के लिये गणितीय मॉडलिंग का कोना पत्थर बनाते हैं। उपरोक्त सिद्धांतों को समझकर, आप इन समीकरणों को उन्नत गणितीय सेटिंग्स और वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों में सैद्धांतिक और व्यावहारिक समस्याओं पर कैसे लागू करें, इसे बेहतर तरीके से समझ पाएंगे।
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