Магистратура
  1. Введение в математический анализ  1.1. Теория множеств и логика в реальном анализе  1.1.1. Множества и операции в теории множеств и логике в реальном анализе  1.1.2. Отношения и функции  1.1.3. Логика и кванторы  1.1.4. Мощность множеств  1.2. Метрика  1.2.1. Введение в открытые и замкнутые множества в метрических пространствах  1.2.2. Сходимость последовательностей в метрическом пространстве  1.2.3. Непрерывная функция в метрическом пространстве  1.2.4. Компактность и полнота в метрических пространствах в реальном анализе  1.3. Последовательности и ряды  1.3.1. Сходимость последовательностей  1.3.2. Бесконечные ряды  1.3.3. Равномерная сходимость  1.3.4. Ряды степеней  1.4. Дискриминация  1.4.1. Теорема о среднем значении  1.4.2. Ряд Тейлора  1.4.3. Функции нескольких переменных  1.4.4. Частная производная  1.5. Интеграция  1.5.1. Интегрирование Римана и Лебега  1.5.2. Неправильные интегралы  1.5.3. Теория меры: фундаментальный инструмент в интеграции  1.5.4. Теорема Фубини  1.6. Функциональный анализ  1.6.1. Понимание пространства Банака  1.6.2. Пространства Гильберта  1.6.3. Операторы на пространствах  1.6.4. Спектральная теория
  2. Абстрактная алгебра  2.1. Понимание групп в абстрактной алгебре  2.1.1. Определения и примеры групп в абстрактной алгебре  2.1.2. Гомоморфизмы групп  2.1.3. Введение в нормальные подгруппы  2.1.4. Теорема Силова  2.2. Кольца и поля  2.2.1. Идеалы и фактор-кольца  2.2.2. Расширения полей  2.2.3. Теория Галуа  2.2.4. Полиномиальные кольца  2.3. Введение в модули в абстрактной алгебре  2.3.1. Гомоморфизм модуля  2.3.2. Свободные модули  2.3.3. Введение в тензорные произведения  2.3.4. Точная последовательность в модулях  2.4. Линейная алгебра  2.4.1. Векторное пространство  2.4.2. Собственные значения и собственные векторы  2.4.3. Векторное пространство с внутренним произведением  2.4.4. Диагонализация
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Компактность и связность  3.1.3. Непрерывные отображения  3.1.4. Аксиома отделимости  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Понимание фундаментальных групп в алгебраической топологии  3.2.2. Гомотопия и гомология  3.2.3. Симплициальный комплекс  3.2.4. Точные последовательности в гомологии  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Понимание многообразий в дифференциальной топологии  3.3.2. Гладкие функции  3.3.3. Тангенциальное и котангенциальное пространство  3.3.4. Векторные расслоения
  4. Дифференциальные уравнения  4.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения  4.1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка  4.1.2. Линейные уравнения второго порядка  4.1.3. Системы дифференциальных уравнений  4.1.4. Анализ устойчивости в обыкновенных дифференциальных уравнениях  4.2. Частные дифференциальные уравнения  4.2.1. Классификация уравнений с частными производными  4.2.2. Понимание рядов Фурье в уравнениях с частными производными  4.2.3. Введение в функции Грина  4.2.4. Метод характеристик  4.3. Динамические системы в дифференциальных уравнениях  4.3.1. Теория устойчивости  4.3.2. Предельные циклы в динамических системах  4.3.3. Теория хаоса  4.3.4. Теория бифуркаций
  5. Теория вероятностей и статистика  5.1. Теория вероятностей  5.1.1. Случайные переменные  5.1.2. Распределения вероятностей  5.1.3. Закон больших чисел  5.1.4. Центральная предельная теорема  5.2. Статистическое вывод  5.2.1. Проверка гипотез  5.2.2. Доверительный интервал  5.2.3. Байесовские методы  5.2.4. Метод максимального правдоподобия  5.3. Стохастические процессы  5.3.1. Цепи Маркова  5.3.2. Броуновское движение  5.3.3. Понимание процессов Пуассона  5.3.4. Мартингейлы: всестороннее исследование в вероятности и статистике
  6. Численный анализ  6.1. Численное решение уравнений  6.1.1. Оригинальное открытие  6.1.2. Итерационные методы  6.1.3. Анализ сходимости  6.1.4. Границы ошибок в численных решениях уравнений  6.2. Численная линейная алгебра  6.2.1. Факторизация матриц  6.2.2. Вычисление собственных значений  6.2.3. Разреженные матрицы  6.2.4. Методы предобработки  6.3. Численное интегрирование и дифференцирование  6.3.1. Методы квадратур  6.3.2. Введение в конечные разности  6.3.3. Анализ ошибок в численном интегрировании и дифференцировании  6.3.4. Адаптивные методы в численном интегрировании и дифференцировании
  7. Комплексный анализ  7.1. Комплексные числа  7.1.1. Полярная форма  7.1.2. Комплексные сопряженные  7.1.3. Экспоненциальная форма комплексных чисел  7.1.4. Корни из единицы  7.2. Аналитические функции  7.2.1. Уравнения Коши — Римана  7.2.2. Степенные ряды  7.2.3. Конформное отображение  7.2.4. Гармонические функции  7.3. Интегрирование на комплексной плоскости  7.3.1. Теорема Коши  7.3.2. Теорема о вычетах  7.3.3. Контурное интегрирование  7.3.4. Интегральные преобразования
  8. Математическая логика и основания  8.1. Пропозициональная логика  8.1.1. Таблицы истинности  8.1.2. Логическая эквивалентность в пропозициональной логике  8.1.3. Техники доказательства в пропозициональной логике  8.1.4. Решение в пропозициональной логике  8.2. Логика предикатов  8.2.1. Кванторы в предикатной логике  8.2.2. Формальные системы в предикатной логике  8.2.3. Полнота и правильность  8.2.4. Модельная теория  8.3. Теория множеств  8.3.1. Кардинальность и ординальность  8.3.2. Аксиоматические системы  8.3.3. Понимание теории множеств Цермело-Френкеля  8.3.4. Силы в теории множества
  9. Настройка  9.1. Линейное программирование  9.1.1. Метод симплекс  9.1.2. Двойственность в линейном программировании  9.1.3. Анализ чувствительности в линейном программировании  9.1.4. Методы внутренних точек  9.2. Нелинейное программирование  9.2.1. Градиентный спуск  9.2.2. Множители Лагранжа  9.2.3. Выпуклая оптимизация  9.2.4. Квадратичное программирование  9.3. Комбинаторная оптимизация  9.3.1. Алгоритмы графов  9.3.2. Целочисленное программирование  9.3.3. Сетевой поток  9.3.4. Алгоритмы аппроксимации
  10. Дискретная математика  10.1. Теория графов  10.1.1. Представление графов  10.1.2. Плоскость и цвет  10.1.3. Алгоритм поиска кратчайшего пути  10.1.4. Сетевой поток  10.2. Компаньонство  10.2.1. Перестановка и сочетание  10.2.2. Порождающая функция  10.2.3. Рекуррентные соотношения  10.2.4. Понимание принципа включения-исключения  10.3. Криптография  10.3.1. Применение теории чисел в криптографии  10.3.2. Симметричное и асимметричное шифрование  10.3.3. RSA и криптография на эллиптических кривых  10.3.4. Постквантовая криптография

Магистратура → Топология ↓


Дифференциальная топология


Дифференциальная топология — это область математики, которая фокусируется на изучении гладких форм и способов их изменения или преобразования. Она служит мостом между чистой топологией, которая занимается свойствами, сохраняющимися при непрерывных деформациях, и дифференциальной геометрией, которая изучает более сложные структуры дифференцируемых поверхностей. Дифференциальная топология занимается дифференциальными функциями на дифференцируемых многообразиях.

Многообразие

Многообразие — это фундаментальное понятие в дифференциальной топологии. Оно позволяет описывать поверхность, которая локально выглядит как евклидово пространство. Представьте себе глобус, представляющий Землю; каждая маленькая часть глобуса может быть представлена в виде плоской карты, независимо от общей кривизны глобуса. Это пример многообразия, где локальное окружение выглядит как плоское евклидово пространство.

A: ◯ Поверхность глобуса (многообразие) _____ /_____\ Плоская карта (евклидово пространство)

Дифференцируемые многообразия

Дифференцируемое многообразие — это тип многообразия, в котором можно выполнять исчисления. Оно оснащено структурой, позволяющей определять дифференцируемые функции. Обычно требуется, чтобы любые преобразования координатных графиков (перекрывающиеся области многообразия) были дифференцируемыми.

Дифференцируемое многообразие можно представить как поверхность, которая ведет себя плавно в каждой точке, не имеет резких углов и позволяет эффективно выполнять такие строгие операции, как дифференцирование.

Касательное пространство

В каждой точке дифференцируемого многообразия существует касательное пространство. Оно состоит из всех возможных направлений, в которых касательная может пройти из этой точки. Касательное пространство в точке на многообразии похоже на линию, которая фактически касается кривой в плоскости, не пересекающей её.

Касательная линия Касательное пространство ↑ ↑ Кривая: ______/ _______ /| __/__⟩ / Касательное пространство в многообразии

Критические точки и функции Морса

В дифференциальной топологии критические точки гладких функций имеют особое значение. При оценке функции на многообразии критической точкой является то место, где градиент (вектор производных) равен нулю, то есть нет увеличения или уменьшения в любом направлении на многообразии. Это «плоские» точки с точки зрения наклона.

Функции Морса предоставляют способ понимания многообразия на основе изучения его критических точек и значений. Функция Морса — это гладкая функция, чьи критические точки являются невырожденными, каждая из которых имеет разный индекс. Теория Морса показывает, как топология многообразия связана с этими критическими точками.

Пример функции Морса: f(x) = x^3 - 3x Пример производной: f'(x) = 3x^2 - 3

Преобразование топологии и деформация

Дифференциальная топология также исследует, как формы могут легко преобразовываться в другие формы через непрерывные преобразования. Например, кофейную чашку можно преобразовать в форму пончика, так как они имеют свойства, сохраняющиеся при непрерывных преобразованиях (например, наличие отверстия).

Кофейная чашка ↔ Пончик (тор) ____ ____ / \ / \ | | | | \______/ \______ /

Векторные поля

Векторные поля на многообразии — важная концепция в дифференциальной топологии. Векторное поле назначает касательный вектор каждой точке многообразия, указывая направление движения в каждой точке. Это особенно полезно для понимания потока и динамики на многообразиях.

Гомотопия и изотопия

Дифференциальная топология часто включает в себя такие понятия, как гомотопия и изотопия, которые описывают, как пространства могут деформироваться друг в друга. Гомотопия — это непрерывная деформация или преобразование одной функции в другую в определенной области, сосредоточенная на изменениях формы в широком масштабе. Изотопия — это более строгое понятие, которое сохраняет дополнительные структуры во время процесса преобразования.

Простой пример гомотопии: Рассмотрим две функции f(x) и g(x). Гомотопия может быть визуализирована как деформация: H(x,t), где: - H(x,0) = f(x) - H(x,1) = g(x)

Связь с другими областями

Дифференциальная топология служит связующим звеном между различными другими областями математики. Ее взаимодействие с алгебраической топологией помогает понять более сложные структуры через алгебраические инварианты. Она также связана с дифференциальной геометрией, что влияет на изучение матриц и кривизны.

Применение дифференциальной топологии

Концепции и методы дифференциальной топологии важны не только в чистой математике, но и в физике, инженерии и компьютерных науках. Они помогают понять стабильность в механических системах, оптимизировать сложные системы, понять закономерности и моделировать природные явления, такие как погодные системы или потоки жидкости.

Заключение

Дифференциальная топология — это обширная и богатая область изучения, исследующая свойства и преобразования гладких, дифференцируемых пространств. Она служит для углубления нашего понимания о том, как формы и пространства взаимодействуют под воздействием гладких преобразований. Используя такие концепции, как многообразия, касательные пространства, векторные поля, критические точки и теория Морса, математики и ученые могут понять сложность гладкой вселенной, которая нас окружает.


Магистратура → 3.3


U
username
0%
завершено в Магистратура

← предыдущая (3.2.4)
Точные последовательности в гомологии
следующая (3.3.1) →
Понимание многообразий в дифференциальной топологии

комментарии 



Дифференциальная топология

https://www.buddymath.com/g/3.3?bmal=ru