Pós-graduação
  1. Introdução à análise real  1.1. Teoria dos conjuntos e lógica em análise real  1.1.1. Conjuntos e operações na teoria dos conjuntos e lógica em análise real  1.1.2. Relações e funções  1.1.3. Lógica e quantificadores  1.1.4. Cardinalidade dos conjuntos  1.2. Espaço métrico  1.2.1. Introdução aos conjuntos abertos e fechados em espaços métricos  1.2.2. Convergência de sequências em um espaço métrico  1.2.3. Função contínua em um espaço métrico  1.2.4. Compacidade e completude em espaços métricos na análise real  1.3. Sequências e séries  1.3.1. Convergência de sequências  1.3.2. Séries infinitas  1.3.3. Convergência uniforme  1.3.4. Séries de potências  1.4. Discriminação  1.4.1. Teorema do valor médio  1.4.2. Série de Taylor  1.4.3. Funções de várias variáveis  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integração  1.5.1. Integração de Riemann e Lebesgue  1.5.2. Integrais impróprias  1.5.3. Teoria da Medida: uma ferramenta fundamental na integração  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análise funcional  1.6.1. Compreendendo espaços de Banach  1.6.2. Espaços de Hilbert  1.6.3. Operadores em espaços  1.6.4. Teoria Espectral
  2. Álgebra Abstrata  2.1. Compreendendo grupos na álgebra abstrata  2.1.1. Definições e exemplos de grupos na álgebra abstrata  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introdução aos subgrupos normais  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anéis e campos  2.2.1. Ideais e anéis quocientes  2.2.2. Extensões de campos  2.2.3. Teoria de Galois  2.2.4. Anéis de polinômios  2.3. Introdução aos módulos em álgebra abstrata  2.3.1. Homomorfismo de Módulos  2.3.2. Módulos livres  2.3.3. Introdução aos produtos tensoriais  2.3.4. Sequência exata em módulos  2.4. Álgebra linear  2.4.1. Espaço vetorial  2.4.2. Autovalores e autovetores  2.4.3. Espaço de produto interno  2.4.4. Diagonalização
  3. Topologia  3.1. Topologia Geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Compacidade e conexidade  3.1.3. Mapas contínuos  3.1.4. Axioma de separação  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Compreendendo grupos fundamentais em topologia algébrica  3.2.2. Homotopia e homologia  3.2.3. Complexo simplicial  3.2.4. Sequências exatas em homologia  3.3. Topologia Diferencial  3.3.1. Compreendendo variedades na topologia diferencial  3.3.2. Funções Suaves  3.3.3. Espaço tangente e cotangente  3.3.4. Feixes vetoriais
  4. Equações diferenciais  4.1. Equação diferencial ordinária  4.1.1. Equações de primeira ordem  4.1.2. Equações lineares de segunda ordem  4.1.3. Sistemas de equações diferenciais  4.1.4. Análise de estabilidade em equações diferenciais ordinárias  4.2. Equações diferenciais parciais  4.2.1. Classificação de PDE  4.2.2. Compreendendo séries de Fourier em equações diferenciais parciais  4.2.3. Introdução às funções de Green  4.2.4. Método de caracterização  4.3. Sistemas dinâmicos em equações diferenciais  4.3.1. Teoria da Sustentabilidade  4.3.2. Ciclos limite em sistemas dinâmicos  4.3.3. Teoria do caos  4.3.4. Teoria da bifurcação
  5. Probabilidade e estatística  5.1. Teoria da probabilidade  5.1.1. Variáveis aleatórias  5.1.2. Distribuições de probabilidade  5.1.3. Lei dos grandes números  5.1.4. Teorema Central do Limite  5.2. Inferência estatística  5.2.1. Teste de hipótese  5.2.2. Intervalo de confiança  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimativa de máxima verossimilhança  5.3. Processos estocásticos  5.3.1. Cadeias de Markov  5.3.2. Movimento Browniano  5.3.3. Compreendendo os processos de Poisson  5.3.4. Martingales: Um estudo abrangente em probabilidade e estatística
  6. Análise numérica  6.1. Soluções numéricas de equações  6.1.1. Descoberta original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análise de convergência  6.1.4. Limites de erro em soluções numéricas de equações  6.2. Álgebra linear numérica  6.2.1. Fatoração de matrizes  6.2.2. Cálculo de autovalores  6.2.3. Matrizes esparsas  6.2.4. Técnicas de pré-condicionamento  6.3. Integração e diferenciação numéricas  6.3.1. Métodos de quadratura  6.3.2. Introdução às diferenças finitas  6.3.3. Análise de erro na integração e diferenciação numérica  6.3.4. Métodos adaptativos em integração e diferenciação numérica
  7. Análise complexa  7.1. Números complexos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados Complexos  7.1.3. Forma exponencial de números complexos  7.1.4. Raízes da unidade  7.2. Funções analíticas  7.2.1. Equações de Cauchy–Riemann  7.2.2. Séries de potências  7.2.3. Mapeamento conforme  7.2.4. Funções harmônicas  7.3. Integração no plano complexo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema do resíduo  7.3.3. Integração de contorno  7.3.4. Transformadas integrais
  8. Lógica Matemática e Fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tabelas de verdade  8.1.2. Equivalência lógica na lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de prova em lógica proposicional  8.1.4. Solução na lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Quantificadores na lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formais na lógica de predicados  8.2.3. Completude e correção  8.2.4. Teoria dos modelos  8.3. Teoria dos conjuntos  8.3.1. Cardinalidade e ordinalidade  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Compreendendo a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Forças na teoria dos conjuntos
  9. Personalização  9.1. Programação linear  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidade na programação linear  9.1.3. Análise de sensibilidade em programação linear  9.1.4. Métodos de ponto interior  9.2. Programação não linear  9.2.1. Descida do Gradiente  9.2.2. Múltiplos de Lagrange  9.2.3. Otimização convexa  9.2.4. Programação quadrática  9.3. Otimização Combinatória  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programação inteira  9.3.3. Fluxo de Rede  9.3.4. Algoritmos de aproximação
  10. Matemática discreta  10.1. Teoria dos grafos  10.1.1. Representação de grafos  10.1.2. Planicidade e cor  10.1.3. Algoritmo de caminho mais curto  10.1.4. Fluxo de rede  10.2. Companheirismo  10.2.1. Percmutações e combinações  10.2.2. Função geradora  10.2.3. Relação de recorrência  10.2.4. Compreendendo o Princípio da Inclusão-Exclusão  10.3. Criptografia  10.3.1. Aplicações da teoria dos números na criptografia  10.3.2. Criptografia Simétrica e Assimétrica  10.3.3. RSA e criptografia de curva elíptica  10.3.4. Criptografia pós-quântica

Pós-graduação → Topologia → Topologia Diferencial ↓


Feixes vetoriais


Feixes vetoriais são estruturas fundamentais no mundo da matemática de graduação, particularmente no domínio da topologia e da topologia diferencial. Esses objetos estendem o conceito de um espaço vetorial ao associar um espaço vetorial a cada ponto de um espaço topológico, proporcionando uma rica estrutura para explorar tópicos que vão desde geometria até física.

Introdução aos feixes vetoriais

Um feixe vetorial é uma construção topológica que proporciona uma maneira de "anexar" um espaço vetorial a cada ponto de um espaço topológico. Para entender melhor os feixes vetoriais, vamos dividir seus componentes com uma definição simples:

Um feixe vetorial E em um espaço topológico M é um espaço topológico E juntamente com uma aplicação sobrejetora contínua π: E → M satisfazendo a propriedade de que, para cada ponto x ∈ M, a pré-imagem π-1(x) é um espaço vetorial. Denotamos essa configuração como (E, π, M).

Exemplo básico: o feixe tangente

Um dos exemplos mais comuns de um feixe vetorial é o feixe tangente de uma variedade diferenciável. Para uma variedade diferenciável M, o feixe tangente TM consiste de todos os espaços tangentes em todos os pontos de M.

Feixe tangente:
TM = ∪ TxM, para x ∈ M

Aqui, TxM é o espaço tangente em um ponto x na variedade M. A aplicação π: TM → M projeta todo vetor no espaço tangente para o ponto da variedade ao qual é tangente.

Trivialidade local e feixes de fibras

Para qualquer feixe vetorial, existe um conceito chamado trivialidade local. Isso significa que, em pequenas regiões do espaço base M, o feixe se parece com um produto de um espaço base e um espaço vetorial. Essa propriedade é formalizada dizendo que existe uma cobertura aberta {Uα} de M, e existe uma homomorfismo φα: π-1(Uα) → Uα × Rn que respeita as estruturas de espaço vetorial na fibra.

É representado da seguinte forma:

Para cada α, φα(π−1(Uα)) = Uα × Rn

Aqui, Rn é uma fibra específica ou modelo de espaço vetorial.

Construção de feixes vetoriais

Espaço total

O espaço total de um feixe vetorial é o espaço E contendo todas as fibras. Concretamente, se E é um feixe vetorial sobre M, então E consiste de todos os pares (x, v) onde x ∈ M e v ∈ Vx, com Vx sendo um espaço vetorial associado a x.

Mapas de projeção

O mapa de projeção π envia cada elemento do espaço total de volta ao espaço base, e conecta cada vetor à sua origem em M:

π : E → M, π(x, v) = x

Funções de transição

Para criar um feixe vetorial, geralmente se definem transições entre trivializações locais usando funções de transição. Estas são mapas que indicam como passar de uma trivialização local para outra, obedecendo a uma estrutura de espaço vetorial. Se as denotamos por tαβ: Uα ∩ Uβ → GL(n, R), então elas satisfazem a condição de cociclo:

tαβ(x) · tβγ(x) = tαγ(x), para todo x ∈ Uα ∩ Uβ ∩ Uγ

Exemplo

1. Feixe trivial

Um exemplo simples de um feixe vetorial é o feixe trivial, onde o espaço total é apenas um produto M × Rn, e a projeção é apenas a projeção no primeiro fator:

E = M × Rn
π : E → M, π(x, v) = x

2. Banda de Möbius

A banda de Möbius é um exemplo clássico de um feixe vetorial não trivial. Sua estrutura no círculo S1 é tal que as fibras "se torcem" ao se moverem ao redor do espaço base.

Banda de Möbius:
Localização Base: S1
Fibra: R (linha única)

Operações em feixes vetoriais

1. Soma direta

A soma direta de dois feixes vetoriais E e F no mesmo espaço base M é outro feixe vetorial E ⊕ F, onde:

E ⊕ F = {(e, f) | e ∈ E, f ∈ F, πE(e) = πF(f)}

2. Produto tensorial

O produto tensorial em um feixe vetorial E e F M é um feixe vetorial E ⊗ F:

E ⊗ F = {(e, f) | e ∈ E, f ∈ F, πE(e) = πF(f)}

Aplicações de feixes vetoriais

1. Na geometria diferencial

Feixes vetoriais desempenham um papel importante na geometria diferencial e fornecem uma estrutura para o estudo de estruturas como métricas Riemannianas e derivadas de mapas.

2. Na física

Na física teórica, especialmente na teoria de gauge, feixes vetoriais são usados para descrever campos e forças. O comportamento das partículas é frequentemente modelado como seções de um feixe vetorial.

Seções de um feixe vetorial

Uma seção de um feixe vetorial é uma seleção contínua de um vetor em cada fibra no espaço base.

Uma seção é um mapa s : M → E tal que π(s(x)) = x para todo x ∈ M.

Conclusão

Feixes vetoriais são uma ferramenta indispensável na matemática moderna, proporcionando facilidades para enfrentar problemas complexos de forma estruturada. Eles permeiam várias ramificações da matemática e da física, proporcionando insights e estruturas essenciais para o progresso nessas áreas.


Pós-graduação → 3.3.4


U
username
0%
concluído em Pós-graduação

← Anterior (3.3.3)
Espaço tangente e cotangente
Próximo (4) →
Equações diferenciais

Comentários 



Feixes vetoriais

https://www.buddymath.com/g/3.3.4?bmal=pt