ベクトル束

ベクトル束は、学部レベルの数学、特にトポロジーと微分トポロジーの領域で基本的な構造です。これらのオブジェクトは、トポロジカル空間の各点にベクトル空間を関連付けることで、ベクトル空間の概念を拡張し、幾何学から物理学に至るさまざまなトピックを探索するための豊かな枠組みを提供します。

ベクトル束の紹介

ベクトル束は、トポロジカル空間の各点にベクトル空間を「付加」する方法を提供するトポロジカルな構造です。ベクトル束を理解するために、その構成要素を簡単な定義で分解してみましょう:

ベクトル束 E は、トポロジカル空間 M 上のトポロジカル空間 E と、すべての点 x ∈ M に対して前像 π-1(x) がベクトル空間であるという性質を満たす連続写像 π: E → M とで構成されます。このようなセットアップは (E, π, M) として表されます。

基本的な例: 接束

ベクトル束の最も一般的な例の1つは、滑らかな多様体の接束です。滑らかな多様体 M に対して、接束 TM は、M のすべての点でのすべての接空間から構成されます

接束:
TM = ∪ TxM, for x ∈ M

ここで、TxM は多様体 M の点 x の接空間です。写像 π: TM → M は、接空間のすべてのベクトルを、それが接している多様体の点に射影します。

局所自明性とファイバーバンドル

ベクトル束には局所自明性と呼ばれる概念があります。これは、基底空間 M の小さな領域では、バンドルが基底空間とベクトル空間の積のように見えることを意味します。この性質は、M の開被覆 {Uα} が存在し、ファイバー上でベクトル空間構造を尊重する準同型 φα: π-1(Uα) → Uα × Rn が存在することで形式化されます。

これは次のように表されます:

各 α に対して, φα(π−1(Uα)) = Uα × Rn

ここで、Rn は特定のファイバーまたはモデルベクトル空間です。

ベクトル束の構築

総空間

ベクトル束の総空間 とは、すべてのファイバーを含む空間 E です。具体的には、E が M 上のベクトル束である場合、E は M の点 x と、x に関連付けられたベクトル空間 Vx の要素 (x, v) のすべてのペアから構成されます。

射影写像

射影写像 π は、総空間のすべての要素を基底空間に戻し、すべてのベクトルを M 上の起点に接続します:

π : E → M, π(x, v) = x

遷移関数

ベクトル束を構築するためには、通常、遷移関数 を使用して局所自明化間の遷移を定義します。これらの関数は、ベクトル空間構造を保ちながら、ある局所自明化から別の局所自明化に移行する方法を示します。これを tαβ: Uα ∩ Uβ → GL(n, R) と表す場合、それらはサイクル条件を満たします:

tαβ(x) · tβγ(x) = tαγ(x), for all x ∈ Uα ∩ Uβ ∩ Uγ

例

1. 自明束

ベクトル束の簡単な例は、自明束 であり、総空間が単に積 M × Rn であり、射影が最初の要素への射影である場合です:

E = M × Rn
π : E → M, π(x, v) = x

2. モビウスの帯

モビウスの帯 は、非自明なベクトル束の典型的な例です。その構造は円 S1 上にあり、基底空間を移動する際にファイバーが「ねじれ」ます。

モビウスの帯:
基底の位置: S1
ファイバー: R (直線)

ベクトル束での操作

1. 直和

直和は、同じ基底空間 M 上の2つのベクトル束 E と F の直和で構成される別のベクトル束 E ⊕ F です:

E ⊕ F = {(e, f) | e ∈ E, f ∈ F, πE(e) = πF(f)}

2. テンソル積

テンソル積は、ベクトル束 E と F の M 上のベクトル束 E ⊗ F です:

E ⊗ F = {(e, f) | e ∈ E, f ∈ F, πE(e) = πF(f)}

ベクトル束の応用

1. 微分幾何学で

ベクトル束は微分幾何学で重要な役割を果たし、リーマン計量や写像の導関数などの構造を研究するための枠組みを提供します。

2. 物理学で

理論物理学、特にゲージ理論では、ベクトル束は場と力を記述するために使用されます。粒子の挙動はしばしばベクトル束の切断としてモデル化されます。

ベクトル束の切断

切断は、基底空間の各ファイバーにベクトルを連続的に選択することです。

切断は、すべての x ∈ M に対し π(s(x)) = x を満たす写像 s : M → E です。

結論

ベクトル束は現代数学に不可欠なツールであり、構造化されたアプローチで複雑な問題に取り組むための手段を提供します。数学や物理学のさまざまな分野に浸透しており、これらの分野の進歩に欠かせない洞察や枠組みを提供しています。

コメント