Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

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Comprendiendo las variedades en topología diferencial


En el mundo de las matemáticas, especialmente cuando se trata de formas y espacios, el concepto de variedades surge como una idea importante. Piense en las variedades como una forma de generalizar formas familiares como curvas y superficies en espacios potencialmente más complejos y de dimensiones superiores. En términos simples, las variedades permiten a los matemáticos trabajar cómodamente con espacios que localmente se parecen al espacio euclidiano regular pero que pueden tener una estructura global general diferente.

¿Qué es una variedad?

En términos básicos, una variedad es una forma que puede ser representada localmente por espacios simples y planos, como líneas, planos y espacios euclidianos 3D. La parte más importante es la frase "localmente similar". Esto significa que, aunque la variedad pueda tener una estructura global compleja y curva, cada pequeña pieza o vecindario de la variedad se asemeja al espacio euclidiano.

Esta idea se puede entender más claramente a través de los vecindarios. El vecindario alrededor de un punto en una variedad es una pequeña región que se ve plana y simple. Por ejemplo, piense en la Tierra como una variedad. Aunque globalmente la Tierra es redonda, el pequeño vecindario alrededor de cualquier punto (como una ciudad) parece plano, como nuestra experiencia en el suelo nos indica.

(Representación de variedad 2D) _______ /  ( * ) <- Vecindario plano en una superficie curva (como la Tierra) _______/

Características principales de las variedades

Dimensiones

La dimensión de una variedad describe cuántas coordenadas necesitas para describir un punto en un vecindario local de la variedad. Por ejemplo:

  • Una línea es una variedad unidimensional, porque solo necesitas una coordenada para especificar un punto en ella.
  • Un plano es una variedad bidimensional porque requiere dos coordenadas.
  • La superficie de la esfera también es una variedad bidimensional porque se puede especificar un punto usando dos coordenadas (latitud y longitud).

Cartas y atlas

Las variedades a menudo se explican usando conceptos llamados cartas y atlas. Una carta es un mapa desde un conjunto abierto de una variedad hasta un conjunto abierto de espacio euclidiano. Por lo tanto, un atlas es una colección de cartas que cubren toda la variedad.

(Ejemplo de carta) _______ / Mapa  ( M ) ----------------------> [Subconjunto de espacio euclidiano] _______/

Este concepto de cartas nos permite pensar sobre variedades complejas en términos de espacios más simples y familiares. Juntas, estas cartas, o atlas, nos ayudan a entender y caracterizar la estructura de las variedades.

Más estrictamente, una carta se define por un par (U, φ) donde:

  • U es un subconjunto abierto de la variedad M.
  • φ : U → R n es un homeomorfismo que mapea U a un subconjunto abierto del espacio euclidiano n.

Las cartas de coordenadas nos ayudan a entender y navegar la variedad, al igual que los mapas geográficos nos ayudan a navegar la Tierra.

Visualización de variedades

Veamos algunos ejemplos visuales simples para solidificar estos conceptos:

Superficie 2D en un objeto 3D (esfera)

[ Globo ] <--- Objeto esférico 3D * <--- Punto para considerar su geografía 2D

Considera la superficie de un globo. Aunque el globo es un objeto tridimensional, para nuestros propósitos su superficie es bidimensional porque una posición en la superficie se puede especificar por dos números: latitud y longitud, que es similar a la forma en que se describe un punto en un mapa.

Una superficie infinita (plano)

[ Plano Infinito ] <--- Espacio plano 2D infinito ( 0, 0 ) <--- Punto de origen, ejemplos de una variedad plana ( x, y )

Ahora, considere un plano plano como una variedad. Tales superficies son infinitas en su extensión y pueden ser infinitamente grandes o pequeñas dependiendo del contexto. Un ejemplo común de una variedad plana puede ser el plano xy en geometría, que a menudo se usa como un sistema de coordenadas.

Ejemplos de diferentes tipos de variedades

Círculo (1D variedad)

Un círculo se puede considerar como una variedad unidimensional. Aunque existe en un plano bidimensional, cualquier punto en el círculo se puede identificar usando una sola coordenada, que generalmente es un ángulo medido desde un punto fijo.

(Variedad de Círculo) o /  | ʘ | <--- 1D Variedad; cada punto descrito por una dimensión (ángulo) ___/

Toro (2D variedad)

Imagina un toro, que parece una dona. Tiene una superficie bidimensional que parece localmente plana, al igual que la superficie de la Tierra. Un toro rota de tal manera que se necesitan dos parámetros para describir una ubicación en su superficie.

(Variedad de Toro) __ /  <--- Superficie 2D con estructura global compleja ____/

Tratamiento matemático de las variedades

Exploremos las variedades desde una perspectiva matemática más formal. Las variedades pueden ser definidas e interactuadas a través de ecuaciones diferenciales y cálculo; estos aspectos ayudan a construir una comprensión de curvatura y otras propiedades relacionadas con estos espacios.

Rol de la topología diferencial

La topología diferencial es un campo que implica el estudio del comportamiento y propiedades de las variedades diferenciales. Una variedad diferencial es una variedad equipada con una estructura que permite calcular derivadas.

Diferenciabilidad: f: M -> N, donde M, N son variedades, tal que en cartas f pertenece a la clase C^k

Aquí, C^k denota la clase de funciones cuyas derivadas son continuas hasta el orden k. Por lo tanto, la topología diferencial está fuertemente involucrada en comprender cómo estas variedades pueden ser 'diferenciadas' a pesar de sus formas potencialmente complejas.

Aplicaciones en la vida real de las variedades

Las variedades no son solo creaciones académicas; han inspirado aplicaciones del mundo real en una variedad de campos de estudio:

  • Física: En la relatividad general, el espacio-tiempo se modela como una variedad de 4 dimensiones.
  • Ingeniería: Las variedades se usan en robótica para espacios de configuración, que son espacios de alta dimensión que representan todas las posiciones posibles que un robot puede tener.
  • Gráficos por computadora: Las variedades a menudo se usan en modelado de superficies para asegurar que los modelos complejos puedan ser representados correctamente en el espacio 3D.

Por lo tanto, entender las variedades aumenta nuestra capacidad para interpretar y manipular espacios que ocurren en escenarios tanto teóricos como prácticos.

Conclusión

En su núcleo, explorar las variedades proporciona una perspectiva más profunda sobre cómo los matemáticos conceptualizan y manejan espacios complejos. Los paisajes multidimensionales trazados a través de cartas, atlas y varios tipos de variedades ofrecen una forma versátil de modelar una variedad de fenómenos.

Comprender las variedades proporciona una herramienta poderosa para el análisis en campos de matemáticas, física, ingeniería y más allá, descubriendo las dimensiones y la profundidad de los espacios matemáticos que buscamos entender.


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