Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

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Secuencias exactas en homología


En topología algebraica, al estudiar espacios topológicos y sus propiedades, a menudo recurrimos a la homología. La homología nos ofrece una forma sistemática de observar las estructuras de los espacios y relacionarlas con objetos algebraicos, generalmente grupos. Las secuencias exactas en homología son herramientas importantes que nos ayudan a comprender y manejar estas relaciones.

Introducción a la homología

Antes de entrar en las secuencias exactas, repasemos brevemente qué es la homología. En términos simples, la homología es un método para asociar una secuencia de grupos abelianos o módulos a un espacio topológico. Estos grupos, conocidos como grupos de homología, nos ayudan a analizar las propiedades estructurales de los espacios. Los grupos de homología pueden considerarse como una medida de 'agujeros' o 'vacíos' en diferentes dimensiones dentro de un espacio.

Simetrías simpliciales y singulares

Para definir la homología, comenzamos con un complejo de cadenas, una secuencia de grupos abelianos conectados por homomorfismos, que satisfacen la propiedad de que la composición de dos homomorfismos consecutivos es cero. Dado un espacio topológico, podemos construir tales complejos utilizando complejos simpliciales (estructuras combinatorias construidas a partir de símplex como puntos, segmentos de línea, triángulos).

Por ejemplo, los complejos de cadenas C_k para un complejo simplicial son los grupos abelianos libres generados por los k-símplices del complejo. El mapa frontera ∂_k envía un k-símplice a su frontera, que es una suma formal de (k-1)-símplices. Esto define nuestro complejo de cadenas:

... → C_{k+1} → C_k → C_{k-1} → ...

El k-ésimo grupo de homología H_k de un espacio X está dado por:

H_k = Ker(∂_k) / Im(∂_{k+1})

Secuencia exacta

Las secuencias exactas son secuencias de grupos abelianos e isomorfismos entre ellos que tienen una propiedad especial de "exactitud". Una secuencia:

A → B → C

es exacta en B si la imagen de un homomorfismo de A a B es igual al núcleo de un homomorfismo de B a C. Más generalmente, una secuencia:

⋯ → A_{n+1} → A_n → A_{n-1} → ⋯

es exacta si es exacta en cada término: para cada n, la imagen del mapa de A_{n+1} → A_n es el núcleo del mapa de A_n → A_{n-1}.

Importancia de las secuencias exactas

Las secuencias exactas proporcionan importantes ideas sobre la estructura de los objetos algebraicos asociados con los espacios topológicos. Ayudan a entender cómo se relacionan estos objetos y pueden simplificar problemas complejos dividiéndolos en partes más simples. Además, las secuencias exactas pueden ayudarnos a calcular los grupos de homología de nuevos espacios relacionándolos con espacios conocidos.

Secuencia exacta corta

La secuencia exacta corta es una secuencia exacta de la siguiente forma:

0 → A → B → C → 0

Aquí, 0 significa el grupo trivial {0}. La secuencia dice:

  • El mapa de A a B es inyectivo (el núcleo es 0, por lo que es un monomorfismo).
  • El mapa de B a C es sobreyectivo (el mapa afecta a cada elemento de C, por lo que es un epimorfismo).
  • La imagen del mapa de A a B es exactamente el núcleo del mapa de B a C (lo que significa que B es la extensión de A por C).

Las secuencias exactas cortas son fundamentales para entender estructuras más complejas. Por ejemplo, pueden describir la expansión o descomposición de grupos.

Ejemplo: Secuencias exactas en bajas dimensiones

Consideremos un espacio simple, como un círculo S¹, y cómo las secuencias exactas cortas pueden ayudar a entender sus simetrías. Tenemos la siguiente secuencia exacta corta de complejos de cadenas:

0 → Z → Z + Z → Z → 0

Aquí, el grupo medio Z + Z corresponde al límite que proviene de dos componentes distintas del círculo (entero). Los mapas aseguran que la secuencia sea exacta: la imagen del primer mapa es un subgrupo, y el cociente del primer mapa es igual al núcleo del segundo mapa.

Secuencia exacta larga en homología

Una de las herramientas más importantes proporcionadas por las secuencias exactas es la secuencia exacta larga en homología. Tal secuencia surge naturalmente al analizar cómo encajan los espacios, por ejemplo, cuando un espacio es un subespacio de otro.

Secuencia de Mayer–Vietoris

La secuencia de Mayer–Vietoris es un ejemplo bien conocido de una secuencia exacta larga en homología. Se aplica a un espacio X que puede dividirse en dos subespacios superpuestos, A y B. La secuencia da una forma de calcular los grupos de homología de la unión X = A ∪ B a partir de la homología de las partes y su intersección:

⋯ → H_n(A ∩ B) → H_n(A) ⊕ H_n(B) → H_n(X) → H_{n-1}(A ∩ B) → ⋯

Esta secuencia es exacta en cada punto, conectando las simetrías de diferentes espacios y conectándolas con mapas. Esto nos permite obtener información sobre las simetrías de la unión entendiendo solo la intersección y las partes individuales.

Secuencias exactas y estructuras algebraicas

Ejemplo de visualización

A B C D I

En este diagrama, cada punto puede representar un grupo en la secuencia, y cada línea representa una simetría. Si asignamos grupos específicos a cada punto (por ejemplo, Z, Z_3, etc.), y aseguramos que cada mapa obedece la condición de exactitud, tendremos un claro entendimiento de cómo cada grupo se relaciona con sus vecinos.

Uso de secuencias exactas en cálculos

La aplicación de secuencias exactas es computacionalmente ventajosa. Supongamos que tenemos un espacio X, y conocemos las simetrías de los subespacios. Usando secuencias exactas largas, como las que se obtienen de escisiones o adiciones, podemos calcular grupos de simetría desconocidos:

⋯ → H_n(A ∩ B) → H_n(A) → H_n(X) → H_{n-1}(A ∩ B) → ⋯

Esto permite que los problemas se simplifiquen en componentes más pequeños y manejables.

Aplicaciones e implicaciones

Las secuencias exactas tienen muchas aplicaciones tanto en matemáticas puras como aplicadas. Ayudan a proporcionar soluciones a problemas topológicos, enfoques innovadores en álgebra y a modelar sistemas complejos de manera efectiva.

Matemáticas puras: Dentro de las matemáticas puras, permiten la clasificación de superficies, la solución de ecuaciones algebraicas mediante métodos topológicos, y el estudio de secuencias de espacios utilizando secuencias espectrales.

Matemáticas aplicadas: Los métodos homológicos evalúan no solo la forma de los objetos, sino también cómo se transforman y se relacionan, lo cual es valioso en áreas como el análisis de datos, redes de sensores, etc.

Conclusión

Las secuencias exactas en homología sirven como puentes hacia el vasto campo de la topología algebraica. No solo proporcionan información sobre cómo se construyen y se interactúan los espacios, sino que también proporcionan un camino para resolver problemas relacionados con estas estructuras. Su versatilidad y utilidad las convierten en una parte indispensable del conjunto de herramientas del matemático moderno.


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