Магистратура
  1. Введение в математический анализ  1.1. Теория множеств и логика в реальном анализе  1.1.1. Множества и операции в теории множеств и логике в реальном анализе  1.1.2. Отношения и функции  1.1.3. Логика и кванторы  1.1.4. Мощность множеств  1.2. Метрика  1.2.1. Введение в открытые и замкнутые множества в метрических пространствах  1.2.2. Сходимость последовательностей в метрическом пространстве  1.2.3. Непрерывная функция в метрическом пространстве  1.2.4. Компактность и полнота в метрических пространствах в реальном анализе  1.3. Последовательности и ряды  1.3.1. Сходимость последовательностей  1.3.2. Бесконечные ряды  1.3.3. Равномерная сходимость  1.3.4. Ряды степеней  1.4. Дискриминация  1.4.1. Теорема о среднем значении  1.4.2. Ряд Тейлора  1.4.3. Функции нескольких переменных  1.4.4. Частная производная  1.5. Интеграция  1.5.1. Интегрирование Римана и Лебега  1.5.2. Неправильные интегралы  1.5.3. Теория меры: фундаментальный инструмент в интеграции  1.5.4. Теорема Фубини  1.6. Функциональный анализ  1.6.1. Понимание пространства Банака  1.6.2. Пространства Гильберта  1.6.3. Операторы на пространствах  1.6.4. Спектральная теория
  2. Абстрактная алгебра  2.1. Понимание групп в абстрактной алгебре  2.1.1. Определения и примеры групп в абстрактной алгебре  2.1.2. Гомоморфизмы групп  2.1.3. Введение в нормальные подгруппы  2.1.4. Теорема Силова  2.2. Кольца и поля  2.2.1. Идеалы и фактор-кольца  2.2.2. Расширения полей  2.2.3. Теория Галуа  2.2.4. Полиномиальные кольца  2.3. Введение в модули в абстрактной алгебре  2.3.1. Гомоморфизм модуля  2.3.2. Свободные модули  2.3.3. Введение в тензорные произведения  2.3.4. Точная последовательность в модулях  2.4. Линейная алгебра  2.4.1. Векторное пространство  2.4.2. Собственные значения и собственные векторы  2.4.3. Векторное пространство с внутренним произведением  2.4.4. Диагонализация
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Компактность и связность  3.1.3. Непрерывные отображения  3.1.4. Аксиома отделимости  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Понимание фундаментальных групп в алгебраической топологии  3.2.2. Гомотопия и гомология  3.2.3. Симплициальный комплекс  3.2.4. Точные последовательности в гомологии  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Понимание многообразий в дифференциальной топологии  3.3.2. Гладкие функции  3.3.3. Тангенциальное и котангенциальное пространство  3.3.4. Векторные расслоения
  4. Дифференциальные уравнения  4.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения  4.1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка  4.1.2. Линейные уравнения второго порядка  4.1.3. Системы дифференциальных уравнений  4.1.4. Анализ устойчивости в обыкновенных дифференциальных уравнениях  4.2. Частные дифференциальные уравнения  4.2.1. Классификация уравнений с частными производными  4.2.2. Понимание рядов Фурье в уравнениях с частными производными  4.2.3. Введение в функции Грина  4.2.4. Метод характеристик  4.3. Динамические системы в дифференциальных уравнениях  4.3.1. Теория устойчивости  4.3.2. Предельные циклы в динамических системах  4.3.3. Теория хаоса  4.3.4. Теория бифуркаций
  5. Теория вероятностей и статистика  5.1. Теория вероятностей  5.1.1. Случайные переменные  5.1.2. Распределения вероятностей  5.1.3. Закон больших чисел  5.1.4. Центральная предельная теорема  5.2. Статистическое вывод  5.2.1. Проверка гипотез  5.2.2. Доверительный интервал  5.2.3. Байесовские методы  5.2.4. Метод максимального правдоподобия  5.3. Стохастические процессы  5.3.1. Цепи Маркова  5.3.2. Броуновское движение  5.3.3. Понимание процессов Пуассона  5.3.4. Мартингейлы: всестороннее исследование в вероятности и статистике
  6. Численный анализ  6.1. Численное решение уравнений  6.1.1. Оригинальное открытие  6.1.2. Итерационные методы  6.1.3. Анализ сходимости  6.1.4. Границы ошибок в численных решениях уравнений  6.2. Численная линейная алгебра  6.2.1. Факторизация матриц  6.2.2. Вычисление собственных значений  6.2.3. Разреженные матрицы  6.2.4. Методы предобработки  6.3. Численное интегрирование и дифференцирование  6.3.1. Методы квадратур  6.3.2. Введение в конечные разности  6.3.3. Анализ ошибок в численном интегрировании и дифференцировании  6.3.4. Адаптивные методы в численном интегрировании и дифференцировании
  7. Комплексный анализ  7.1. Комплексные числа  7.1.1. Полярная форма  7.1.2. Комплексные сопряженные  7.1.3. Экспоненциальная форма комплексных чисел  7.1.4. Корни из единицы  7.2. Аналитические функции  7.2.1. Уравнения Коши — Римана  7.2.2. Степенные ряды  7.2.3. Конформное отображение  7.2.4. Гармонические функции  7.3. Интегрирование на комплексной плоскости  7.3.1. Теорема Коши  7.3.2. Теорема о вычетах  7.3.3. Контурное интегрирование  7.3.4. Интегральные преобразования
  8. Математическая логика и основания  8.1. Пропозициональная логика  8.1.1. Таблицы истинности  8.1.2. Логическая эквивалентность в пропозициональной логике  8.1.3. Техники доказательства в пропозициональной логике  8.1.4. Решение в пропозициональной логике  8.2. Логика предикатов  8.2.1. Кванторы в предикатной логике  8.2.2. Формальные системы в предикатной логике  8.2.3. Полнота и правильность  8.2.4. Модельная теория  8.3. Теория множеств  8.3.1. Кардинальность и ординальность  8.3.2. Аксиоматические системы  8.3.3. Понимание теории множеств Цермело-Френкеля  8.3.4. Силы в теории множества
  9. Настройка  9.1. Линейное программирование  9.1.1. Метод симплекс  9.1.2. Двойственность в линейном программировании  9.1.3. Анализ чувствительности в линейном программировании  9.1.4. Методы внутренних точек  9.2. Нелинейное программирование  9.2.1. Градиентный спуск  9.2.2. Множители Лагранжа  9.2.3. Выпуклая оптимизация  9.2.4. Квадратичное программирование  9.3. Комбинаторная оптимизация  9.3.1. Алгоритмы графов  9.3.2. Целочисленное программирование  9.3.3. Сетевой поток  9.3.4. Алгоритмы аппроксимации
  10. Дискретная математика  10.1. Теория графов  10.1.1. Представление графов  10.1.2. Плоскость и цвет  10.1.3. Алгоритм поиска кратчайшего пути  10.1.4. Сетевой поток  10.2. Компаньонство  10.2.1. Перестановка и сочетание  10.2.2. Порождающая функция  10.2.3. Рекуррентные соотношения  10.2.4. Понимание принципа включения-исключения  10.3. Криптография  10.3.1. Применение теории чисел в криптографии  10.3.2. Симметричное и асимметричное шифрование  10.3.3. RSA и криптография на эллиптических кривых  10.3.4. Постквантовая криптография

Магистратура → Топология → Алгебраическая топология ↓


Симплициальный комплекс


Симплициальные комплексы — это основополагающее понятие в области алгебраической топологии, которое связывает алгебру, геометрию и топологию, помогая математикам понимать формы и пространства через абстрактные конструкции. В этом уроке мы подробно рассмотрим, что такое симплициальные комплексы, как они конструируются и почему они полезны на уровне бакалавриата.

Введение в симплициальные комплексы

Чтобы понять симплициальные комплексы, важно сначала понять идею симплициальных комплексов. Симплициальный комплекс является обобщением понятия треугольника или тетраэдра на произвольные размеры. Вот несколько визуальных примеров:

Визуальный пример

0-симплекс (вершина) 1-симплекс (ребро) 2-симплекс (треугольник) 3-симплекс (тетраэдр)

Как видно из визуализации:

  • 0-симплекс имеет только одну точку или вершину.
  • 1-симплекс — это отрезок, определяемый двумя точками (вершинами).
  • 2-симплекс можно рассматривать как треугольник с тремя ребрами и тремя вершинами.
  • 3-симплекс является тетраэдром, с четырьмя треугольными гранями, шестью ребрами и четырьмя вершинами.

Общее определение симплекса

Для произвольной размерности n-симплекс является выпуклым покрытием своих n + 1 вершин. Более формально:

        σ = {[t₀v₀ + t₁v₁ + ... + tₙvₙ] | 
              (t₀, t₁, ..., tₙ) - неотрицательные вещественные числа, 
              такие, что t₀ + t₁ + ... + tₙ = 1}

где точки v₀, v₁, ..., vₙ изоморфно независимы, то есть ни одна из этих точек не может быть представлена комбинацией других.

Конструкция симплициальных комплексов

Симплициальный комплекс — это набор симплексов, которые сочетаются друг с другом особым образом. Вот правила:

  • В симплициальном комплексе каждая грань симплекса также входит в комплекс.
  • Пересечение любых двух симплексов является либо пустым, либо включает одну общую грань.

Пример симплициального комплекса

Рассмотрим структуру, образованную расположением нескольких треугольников в 2D-пространстве. Каждый треугольник — это 2-симплекс. Если эти треугольники соединяются по их ребрам и каждое ребро или вершина принадлежит хотя бы одному треугольнику, то получается симплициальный комплекс.

Математические свойства и операции

Симплициальные комплексы позволяют математикам извлекать топологические свойства из геометрических фигур, создавая абстрактные 'скелеты'. Некоторые ключевые свойства и операции включают:

Конформность

Используя симплициальные комплексы, мы можем вычислять гомологические группы пространства, которые измеряют 'дыры' различных размеров в этом пространстве. Гомология предоставляет алгебраическое представление топологии на различных уровнях.

Барицентрическая декомпозиция

Барицентрическая декомпозиция — это процесс, используемый для уточнения симплициальных комплексов путем их разбиения на более мелкие части. Это делается путем добавления центроида в каждый симплекс и соединения его с существующими вершинами.

Лемма о нервах

Нерв набора множеств является симплициальным комплексом. Лемма о нервах утверждает, что если множества образуют хорошее покрытие, то нерв имеет тот же топологический тип, что и объединение множеств.

Применение симплициальных комплексов

Симплициальные комплексы имеют широкое применение в различных областях науки и математики.

Топологический анализ данных

В новой области топологического анализа данных (TDA) симплициальные комплексы используются для изучения формы наборов данных. С помощью построения симплициальных комплексов можно анализировать и визуализировать многомерные данные и выявлять кластеры или пустоты.

Компьютерная графика

В компьютерной графике сложные симплексы используются для моделирования 3D-форм и поверхностей. С помощью таких техник, как упрощение сетки, они обеспечивают эффективное рендеринг сложных поверхностей.

Заключение

Симплициальные комплексы служат мощным представлением геометрических структур через абстрактную алгебраическую структуру. Это абстракция позволяет анализировать пространства способами, которые были бы невозможны с использованием традиционной геометрии. Разделяя пространства на более простые, управляемые части (симплексы), мы получаем информацию об их внутренних свойствах.


Магистратура → 3.2.3


U
username
0%
завершено в Магистратура

← предыдущая (3.2.2)
Гомотопия и гомология
следующая (3.2.4) →
Точные последовательности в гомологии

комментарии 



Симплициальный комплекс

https://www.buddymath.com/g/3.2.3?bmal=ru