Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

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Complejo simplicial


Los complejos simpliciales son un concepto fundamental en el campo de la topología algebraica, que conecta el álgebra, la geometría y la topología al ayudar a los matemáticos a comprender formas y espacios a través de construcciones abstractas. En esta lección, profundizaremos en qué son los complejos simpliciales, cómo se construyen y por qué son útiles en matemáticas a nivel universitario.

Introducción a los complejos simpliciales

Para entender los complejos simpliciales, es importante comprender primero la idea de complejos simpliciales. Un complejo simplicial es una generalización del concepto de un triángulo o tetraedro a dimensiones arbitrarias. Aquí hay algunos ejemplos visuales:

Ejemplo visual

0-simplex (vértice) 1-simplex (arista) 2-simplex (triángulo) 3-simplex (tetraedro)

Como se desprende de la visualización:

  • El 0-simplex tiene solo un punto o vértice.
  • Un 1-simplex es un segmento de línea definido por dos puntos (vértices).
  • El 2-simplex se puede ver como un triángulo con tres segmentos de borde y tres vértices.
  • El 3-simplex es un tetraedro, con cuatro caras triangulares, seis bordes y cuatro vértices.

Definición general del simplex

Para dimensión arbitraria, el n-simplex es la cubierta convexa de sus n + 1 vértices. Más formalmente:

        σ = {[t₀v₀ + t₁v₁ + ... + tₙvₙ] | 
              (t₀, t₁, ..., tₙ) son números reales no negativos 
              tal que t₀ + t₁ + ... + tₙ = 1}

donde los puntos v₀, v₁, ..., vₙ son isomórficamente independientes, es decir, ninguno de estos puntos puede representarse como una combinación de los demás.

Construcción de complejos simpliciales

Un complejo simplicial es una colección de simples que encajan de manera precisa. Aquí están las reglas:

  • En un complejo simplicial cada cara del simplex también está en el complejo.
  • La intersección de dos simples cualesquiera es vacía o tiene una cara cada una.

Ejemplo de complejo simplicial

Considere una estructura formada por varios triángulos dispuestos en un espacio 2D. Cada triángulo es un 2-simplex. Si estos triángulos se encuentran en sus bordes, y cada borde o vértice pertenece al menos a un triángulo, entonces tienes un complejo simplicial.

Propiedades y operaciones matemáticas

Los paquetes simpliciales permiten a los matemáticos extraer propiedades topológicas de formas geométricas creando 'esqueletos' abstractos. Algunas propiedades y operaciones clave incluyen:

Conformidad

Usando paquetes simpliciales, podemos calcular los grupos de homología de un espacio, que miden los "agujeros" de diferentes dimensiones en ese espacio. La homología proporciona una instantánea algebraica de la topología en muchos niveles.

Subdivisión baricéntrica

La subdivisión baricéntrica es un proceso utilizado para refinar complejos simpliciales en particiones más finas. Esto se hace agregando un baricentro (o centroide) a cada simplex y luego conectándolo a los vértices existentes.

Lema del nervio

El nervio de una colección de conjuntos es un complejo simplicial. El lema del nervio dice que si los conjuntos son buenas coberturas, entonces el nervio tiene el mismo tipo topológico que la unión de los conjuntos.

Aplicaciones de complejos simpliciales

Los complejos simpliciales tienen amplias aplicaciones en varias áreas de la ciencia y las matemáticas.

Análisis topológico de datos

En el campo emergente del análisis topológico de datos (TDA), los complejos simpliciales se utilizan para estudiar la forma de los conjuntos de datos. Mediante la construcción de complejos simpliciales, se puede analizar y visualizar datos de alta dimensión e identificar grupos o vacíos.

Gráficos por computadora

En gráficos por computadora, los simples complejos se utilizan para modelar formas y superficies en 3D. A través de técnicas como la simplificación de mallas, permiten la representación eficiente de superficies complejas.

Conclusión

Los complejos simpliciales sirven como una representación poderosa de estructuras geométricas a través de un marco algebraico abstracto. Esta abstracción permite analizar espacios de maneras que serían imposibles con la geometría tradicional por sí sola. Al descomponer espacios en piezas más simples y manejables (simplex), obtenemos información sobre sus propiedades intrínsecas.


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