Магистратура
  1. Введение в математический анализ  1.1. Теория множеств и логика в реальном анализе  1.1.1. Множества и операции в теории множеств и логике в реальном анализе  1.1.2. Отношения и функции  1.1.3. Логика и кванторы  1.1.4. Мощность множеств  1.2. Метрика  1.2.1. Введение в открытые и замкнутые множества в метрических пространствах  1.2.2. Сходимость последовательностей в метрическом пространстве  1.2.3. Непрерывная функция в метрическом пространстве  1.2.4. Компактность и полнота в метрических пространствах в реальном анализе  1.3. Последовательности и ряды  1.3.1. Сходимость последовательностей  1.3.2. Бесконечные ряды  1.3.3. Равномерная сходимость  1.3.4. Ряды степеней  1.4. Дискриминация  1.4.1. Теорема о среднем значении  1.4.2. Ряд Тейлора  1.4.3. Функции нескольких переменных  1.4.4. Частная производная  1.5. Интеграция  1.5.1. Интегрирование Римана и Лебега  1.5.2. Неправильные интегралы  1.5.3. Теория меры: фундаментальный инструмент в интеграции  1.5.4. Теорема Фубини  1.6. Функциональный анализ  1.6.1. Понимание пространства Банака  1.6.2. Пространства Гильберта  1.6.3. Операторы на пространствах  1.6.4. Спектральная теория
  2. Абстрактная алгебра  2.1. Понимание групп в абстрактной алгебре  2.1.1. Определения и примеры групп в абстрактной алгебре  2.1.2. Гомоморфизмы групп  2.1.3. Введение в нормальные подгруппы  2.1.4. Теорема Силова  2.2. Кольца и поля  2.2.1. Идеалы и фактор-кольца  2.2.2. Расширения полей  2.2.3. Теория Галуа  2.2.4. Полиномиальные кольца  2.3. Введение в модули в абстрактной алгебре  2.3.1. Гомоморфизм модуля  2.3.2. Свободные модули  2.3.3. Введение в тензорные произведения  2.3.4. Точная последовательность в модулях  2.4. Линейная алгебра  2.4.1. Векторное пространство  2.4.2. Собственные значения и собственные векторы  2.4.3. Векторное пространство с внутренним произведением  2.4.4. Диагонализация
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Компактность и связность  3.1.3. Непрерывные отображения  3.1.4. Аксиома отделимости  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Понимание фундаментальных групп в алгебраической топологии  3.2.2. Гомотопия и гомология  3.2.3. Симплициальный комплекс  3.2.4. Точные последовательности в гомологии  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Понимание многообразий в дифференциальной топологии  3.3.2. Гладкие функции  3.3.3. Тангенциальное и котангенциальное пространство  3.3.4. Векторные расслоения
  4. Дифференциальные уравнения  4.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения  4.1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка  4.1.2. Линейные уравнения второго порядка  4.1.3. Системы дифференциальных уравнений  4.1.4. Анализ устойчивости в обыкновенных дифференциальных уравнениях  4.2. Частные дифференциальные уравнения  4.2.1. Классификация уравнений с частными производными  4.2.2. Понимание рядов Фурье в уравнениях с частными производными  4.2.3. Введение в функции Грина  4.2.4. Метод характеристик  4.3. Динамические системы в дифференциальных уравнениях  4.3.1. Теория устойчивости  4.3.2. Предельные циклы в динамических системах  4.3.3. Теория хаоса  4.3.4. Теория бифуркаций
  5. Теория вероятностей и статистика  5.1. Теория вероятностей  5.1.1. Случайные переменные  5.1.2. Распределения вероятностей  5.1.3. Закон больших чисел  5.1.4. Центральная предельная теорема  5.2. Статистическое вывод  5.2.1. Проверка гипотез  5.2.2. Доверительный интервал  5.2.3. Байесовские методы  5.2.4. Метод максимального правдоподобия  5.3. Стохастические процессы  5.3.1. Цепи Маркова  5.3.2. Броуновское движение  5.3.3. Понимание процессов Пуассона  5.3.4. Мартингейлы: всестороннее исследование в вероятности и статистике
  6. Численный анализ  6.1. Численное решение уравнений  6.1.1. Оригинальное открытие  6.1.2. Итерационные методы  6.1.3. Анализ сходимости  6.1.4. Границы ошибок в численных решениях уравнений  6.2. Численная линейная алгебра  6.2.1. Факторизация матриц  6.2.2. Вычисление собственных значений  6.2.3. Разреженные матрицы  6.2.4. Методы предобработки  6.3. Численное интегрирование и дифференцирование  6.3.1. Методы квадратур  6.3.2. Введение в конечные разности  6.3.3. Анализ ошибок в численном интегрировании и дифференцировании  6.3.4. Адаптивные методы в численном интегрировании и дифференцировании
  7. Комплексный анализ  7.1. Комплексные числа  7.1.1. Полярная форма  7.1.2. Комплексные сопряженные  7.1.3. Экспоненциальная форма комплексных чисел  7.1.4. Корни из единицы  7.2. Аналитические функции  7.2.1. Уравнения Коши — Римана  7.2.2. Степенные ряды  7.2.3. Конформное отображение  7.2.4. Гармонические функции  7.3. Интегрирование на комплексной плоскости  7.3.1. Теорема Коши  7.3.2. Теорема о вычетах  7.3.3. Контурное интегрирование  7.3.4. Интегральные преобразования
  8. Математическая логика и основания  8.1. Пропозициональная логика  8.1.1. Таблицы истинности  8.1.2. Логическая эквивалентность в пропозициональной логике  8.1.3. Техники доказательства в пропозициональной логике  8.1.4. Решение в пропозициональной логике  8.2. Логика предикатов  8.2.1. Кванторы в предикатной логике  8.2.2. Формальные системы в предикатной логике  8.2.3. Полнота и правильность  8.2.4. Модельная теория  8.3. Теория множеств  8.3.1. Кардинальность и ординальность  8.3.2. Аксиоматические системы  8.3.3. Понимание теории множеств Цермело-Френкеля  8.3.4. Силы в теории множества
  9. Настройка  9.1. Линейное программирование  9.1.1. Метод симплекс  9.1.2. Двойственность в линейном программировании  9.1.3. Анализ чувствительности в линейном программировании  9.1.4. Методы внутренних точек  9.2. Нелинейное программирование  9.2.1. Градиентный спуск  9.2.2. Множители Лагранжа  9.2.3. Выпуклая оптимизация  9.2.4. Квадратичное программирование  9.3. Комбинаторная оптимизация  9.3.1. Алгоритмы графов  9.3.2. Целочисленное программирование  9.3.3. Сетевой поток  9.3.4. Алгоритмы аппроксимации
  10. Дискретная математика  10.1. Теория графов  10.1.1. Представление графов  10.1.2. Плоскость и цвет  10.1.3. Алгоритм поиска кратчайшего пути  10.1.4. Сетевой поток  10.2. Компаньонство  10.2.1. Перестановка и сочетание  10.2.2. Порождающая функция  10.2.3. Рекуррентные соотношения  10.2.4. Понимание принципа включения-исключения  10.3. Криптография  10.3.1. Применение теории чисел в криптографии  10.3.2. Симметричное и асимметричное шифрование  10.3.3. RSA и криптография на эллиптических кривых  10.3.4. Постквантовая криптография

Магистратура → Топология → Алгебраическая топология ↓


Гомотопия и гомология


Алгебраическая топология — это интересная отрасль математики, использующая алгебру для изучения топологических пространств. Центральная концепция этой области заключается в понимании пространств путем изучения их различных свойств. Две глубокие темы под этим зонтиком — гомотопия и гомология, которые помогают нам различать свойства пространств, абстрагируя их в алгебраические термины.

Гомотопия

Гомотопия — это концепция, которая рассматривает, когда две формы могут быть непрерывно преобразованы друг в друга. Чтобы понять гомотопию, давайте рассмотрим, что означает, что две функции гомотопичны.

AB

Представьте две окружности, одна обозначена A, а другая B. Если вы можете растянуть, уменьшить или сложить окружность A в окружность B без разрывов или слипания, то A и B считаются изотопами.

Более формально, если у нас есть две непрерывные функции f и g из пространства X в пространство Y, то они изотопичны, если существует непрерывная функция H: X × [0, 1] → Y такая, что:

H(x, 0) = f(x) и H(x, 1) = g(x) для всех x в X.

Здесь H называется гомотопией между f и g. Интервал ([0, 1]) рассматривается как параметр времени, который показывает, как плавно f преобразуется в g.

Применение гомотопии

Гомотопия полезна во многих областях, таких как деформация кривых в исчислении, анализ форм в компьютерной графике и различных задачах в инженерии и физике. Простой пример с использованием гомотопии — это рассмотрение фундаментальной группы, которая помогает классифицировать пространства вплоть до гомотопической эквивалентности с использованием петель.

Гомология

Гомология — это еще один инструмент, разработанный в алгебраической топологии для изучения топологии пространства. В отличие от гомотопии, которая сосредоточена на преобразованиях, гомология идентифицирует и фиксирует структуры в пространстве с помощью неизменяемых алгебраических объектов. Группы гомологии, которые являются последовательностями абелевых групп, связанных с топологическим пространством, имеют фундаментальное значение в этой концепции. Они эффективны не только для обнаружения дыр, но и для обнаружения более сложных структур в различных размерностях.

Простая гомология

Давайте рассмотрим симплициальную симметрию, чтобы понять основную идею. Рассмотрим простую структуру, состоящую из вершин, ребер и граней, известную как симплекс. Мы соединяем эти симплексы вместе, чтобы образовать симплициальный комплекс. Затем пространство изучается, глядя на взаимодействия между этими симплексами.

ABC

Затем определяется оператор границы (∂), который отображает каждый n-симплекс в комбинацию его n-1-симплексов. Простые группы гомологии образуются как частное ядра (симплексы без границы) по изображению этих отображений (сами собой являются границами).

H_n = Ядро(∂_n) / Образ(∂_{n+1})

Понимание гомологии на примерах

Рассмотрим треугольник ABC, как показано на рисунке. Если посмотреть на его границу, она состоит из ребер AB, BC и AC. Группа гомологии в данном случае упрощает его свойства в абстрактную алгебраическую форму. Треугольные, многоугольные или даже более сложные структуры могут быть сведены к этому простому виду анализа.

Применение гомологии

Гомология — это мощный инструмент для идентификации форм и местоположений, полезный как в чистой, так и в прикладной математике. Она играет важные роли в таких областях, как робототехника (для нахождения местоположения), анализ данных (в форме стойкой гомологии) и даже генетика. Например, гомология может помочь классифицировать различные структуры ДНК благодаря своей эффективности в разделении местоположений по дыра.

Связь гомотопии и гомологии

Оба фреймворка гомотопии и гомологии возникли из желания понять топологические пространства через алгебраические инварианты. Гомотопия имеет дело с различными версиями непрерывных преобразований, а гомология больше сосредоточена на структурном аспекте, фиксируя дыры и пустоты в пространствах.

Они работают вместе во многих анализах и практических приложениях, особенно когда вовлечены сложные многообразия или многомерные данные. Каждый предоставляет другую перспективу абстракции, что усиливает наше понимание пространства и преобразований в более широкой алгебраической и геометрической структуре. В математике, особенно в топологии, использование их в сочетании помогает решать сложные проблемы классификации пространств, которые гомологически эквивалентны, предоставляя богатые перспективы их структуры и поведения.

Вкратце, эти темы формируют основу алгебраической топологии и вдохновляют на изучение и интерпретацию форм, кривых, пространств и их динамических преобразований, что имеет решающее значение для исследований и приложений в различных научных областях.


Магистратура → 3.2.2


U
username
0%
завершено в Магистратура

← предыдущая (3.2.1)
Понимание фундаментальных групп в алгебраической топологии
следующая (3.2.3) →
Симплициальный комплекс

комментарии 



Гомотопия и гомология

https://www.buddymath.com/g/3.2.2?bmal=ru