Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

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Homotopía y homología


La topología algebraica es una rama interesante de las matemáticas que utiliza el álgebra para estudiar espacios topológicos. El concepto central de este campo implica entender los espacios observando sus diversas propiedades. Dos temas profundos bajo este paraguas son la homotopía y la homología, que nos ayudan a diferenciar las propiedades de los espacios al abstraerlos en términos algebraicos.

Homotopía

La homotopía es un concepto que considera cuándo dos formas pueden transformarse continuamente entre sí. Para entender la homotopía, consideremos qué significa que dos funciones sean homotópicas.

AB

Imagina dos círculos, uno etiquetado como A y el otro como B. Si puedes estirar, encoger o doblar el círculo A en el círculo B sin rasgar o pegar, entonces A y B se consideran isótopos.

En un sentido más formal, si tenemos dos funciones continuas f y g de un espacio X a un espacio Y, entonces son isótopos si existe una función continua H: X × [0, 1] → Y tal que:

H(x, 0) = f(x) y H(x, 1) = g(x) para todo x en X.

Aquí, H se llama la homotopía entre f y g. El intervalo ([0, 1]) se considera como un parámetro de tiempo, que muestra cómo se transforma suavemente f en g.

Aplicaciones de la homotopía

La homotopía es útil en muchas áreas como la deformación de curvas en cálculo, el análisis de formas en gráficos por computadora y varios problemas en ingeniería y física. Un ejemplo simple que usa homotopía es considerar el grupo fundamental, que ayuda a clasificar espacios hasta equivalencia homotópica usando bucles.

Conformidad

La homología es otra herramienta desarrollada en topología algebraica para estudiar la topología de un espacio. A diferencia de la homotopía, que se enfoca en transformaciones, la homología identifica y captura estructuras en un espacio mediante objetos algebraicos inmutables. Los grupos homológicos, que son secuencias de grupos abelianos asociados con un espacio topológico, son fundamentales en este concepto. Son efectivos no solo para detectar agujeros, sino también para detectar estructuras más complejas en diferentes dimensiones.

Homología simple

Consideremos la simetría simplicial para entender la idea básica. Considere una estructura simple formada por vértices, aristas y caras conocidas como un simplejo. Conectamos estos simplejos para formar un complejo simplicial. Luego, se estudia un espacio observando las interacciones entre estos simplejos.

ABC

Luego se define el operador límite (∂), que asigna cada n simplejo a una combinación de sus n-1 simplejos. Los grupos de homología simplicial se forman como el cociente del núcleo (los simplejos sin límite) por la imagen de estos mapas (que son ellos mismos los límites).

H_n = Ker(∂_n) / Im(∂_{n+1})

Entender la homología con ejemplos

Considere el triángulo ABC como se muestra en la figura. Si observamos su límite, está compuesto por las aristas AB, BC y AC. El grupo de homología en este caso simplifica sus propiedades a una forma algebraica abstracta. Las estructuras triangulares, poligonales o incluso más complejas pueden reducirse a este tipo simple de análisis.

Aplicaciones de la homología

La homología es una herramienta poderosa para identificar formas y ubicaciones, útil tanto en matemáticas puras como aplicadas. Juega un papel importante en campos como la robótica (para encontrar ubicaciones), el análisis de datos (en forma de homología permanente) e incluso la genética. Por ejemplo, la homología puede ayudar a clasificar diferentes estructuras de ADN debido a su efectividad en separar ubicaciones por agujeros.

Conectando homotopía y homología

Ambos marcos de homotopía y homología surgen del deseo de entender espacios topológicos a través de invariantes algebraicos. La homotopía se ocupa de diferentes versiones de transformaciones continuas, mientras que la homología se enfoca más en el aspecto estructural, capturando agujeros y vacíos en los espacios.

Trabajan juntas en muchos análisis y aplicaciones prácticas, especialmente cuando se involucran variedades complejas o datos de alta dimensión. Cada una proporciona un enfoque diferente de abstracción, que promueve nuestra comprensión del espacio y las transformaciones dentro de un marco algebraico y geométrico más amplio. En matemáticas, especialmente en topología, utilizarlas en combinación ayuda a resolver problemas complejos de clasificación de espacios que son homológicamente equivalentes, mientras proporcionan valiosos conocimientos sobre su estructura y comportamiento.

En resumen, estos temas forman la columna vertebral de la topología algebraica e inspiran el estudio y la interpretación de formas, curvas, espacios y sus transformaciones dinámicas, que son cruciales para la investigación y aplicaciones en diversos campos científicos.


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Homotopía y homología

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