Магистратура
  1. Введение в математический анализ  1.1. Теория множеств и логика в реальном анализе  1.1.1. Множества и операции в теории множеств и логике в реальном анализе  1.1.2. Отношения и функции  1.1.3. Логика и кванторы  1.1.4. Мощность множеств  1.2. Метрика  1.2.1. Введение в открытые и замкнутые множества в метрических пространствах  1.2.2. Сходимость последовательностей в метрическом пространстве  1.2.3. Непрерывная функция в метрическом пространстве  1.2.4. Компактность и полнота в метрических пространствах в реальном анализе  1.3. Последовательности и ряды  1.3.1. Сходимость последовательностей  1.3.2. Бесконечные ряды  1.3.3. Равномерная сходимость  1.3.4. Ряды степеней  1.4. Дискриминация  1.4.1. Теорема о среднем значении  1.4.2. Ряд Тейлора  1.4.3. Функции нескольких переменных  1.4.4. Частная производная  1.5. Интеграция  1.5.1. Интегрирование Римана и Лебега  1.5.2. Неправильные интегралы  1.5.3. Теория меры: фундаментальный инструмент в интеграции  1.5.4. Теорема Фубини  1.6. Функциональный анализ  1.6.1. Понимание пространства Банака  1.6.2. Пространства Гильберта  1.6.3. Операторы на пространствах  1.6.4. Спектральная теория
  2. Абстрактная алгебра  2.1. Понимание групп в абстрактной алгебре  2.1.1. Определения и примеры групп в абстрактной алгебре  2.1.2. Гомоморфизмы групп  2.1.3. Введение в нормальные подгруппы  2.1.4. Теорема Силова  2.2. Кольца и поля  2.2.1. Идеалы и фактор-кольца  2.2.2. Расширения полей  2.2.3. Теория Галуа  2.2.4. Полиномиальные кольца  2.3. Введение в модули в абстрактной алгебре  2.3.1. Гомоморфизм модуля  2.3.2. Свободные модули  2.3.3. Введение в тензорные произведения  2.3.4. Точная последовательность в модулях  2.4. Линейная алгебра  2.4.1. Векторное пространство  2.4.2. Собственные значения и собственные векторы  2.4.3. Векторное пространство с внутренним произведением  2.4.4. Диагонализация
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Компактность и связность  3.1.3. Непрерывные отображения  3.1.4. Аксиома отделимости  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Понимание фундаментальных групп в алгебраической топологии  3.2.2. Гомотопия и гомология  3.2.3. Симплициальный комплекс  3.2.4. Точные последовательности в гомологии  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Понимание многообразий в дифференциальной топологии  3.3.2. Гладкие функции  3.3.3. Тангенциальное и котангенциальное пространство  3.3.4. Векторные расслоения
  4. Дифференциальные уравнения  4.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения  4.1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка  4.1.2. Линейные уравнения второго порядка  4.1.3. Системы дифференциальных уравнений  4.1.4. Анализ устойчивости в обыкновенных дифференциальных уравнениях  4.2. Частные дифференциальные уравнения  4.2.1. Классификация уравнений с частными производными  4.2.2. Понимание рядов Фурье в уравнениях с частными производными  4.2.3. Введение в функции Грина  4.2.4. Метод характеристик  4.3. Динамические системы в дифференциальных уравнениях  4.3.1. Теория устойчивости  4.3.2. Предельные циклы в динамических системах  4.3.3. Теория хаоса  4.3.4. Теория бифуркаций
  5. Теория вероятностей и статистика  5.1. Теория вероятностей  5.1.1. Случайные переменные  5.1.2. Распределения вероятностей  5.1.3. Закон больших чисел  5.1.4. Центральная предельная теорема  5.2. Статистическое вывод  5.2.1. Проверка гипотез  5.2.2. Доверительный интервал  5.2.3. Байесовские методы  5.2.4. Метод максимального правдоподобия  5.3. Стохастические процессы  5.3.1. Цепи Маркова  5.3.2. Броуновское движение  5.3.3. Понимание процессов Пуассона  5.3.4. Мартингейлы: всестороннее исследование в вероятности и статистике
  6. Численный анализ  6.1. Численное решение уравнений  6.1.1. Оригинальное открытие  6.1.2. Итерационные методы  6.1.3. Анализ сходимости  6.1.4. Границы ошибок в численных решениях уравнений  6.2. Численная линейная алгебра  6.2.1. Факторизация матриц  6.2.2. Вычисление собственных значений  6.2.3. Разреженные матрицы  6.2.4. Методы предобработки  6.3. Численное интегрирование и дифференцирование  6.3.1. Методы квадратур  6.3.2. Введение в конечные разности  6.3.3. Анализ ошибок в численном интегрировании и дифференцировании  6.3.4. Адаптивные методы в численном интегрировании и дифференцировании
  7. Комплексный анализ  7.1. Комплексные числа  7.1.1. Полярная форма  7.1.2. Комплексные сопряженные  7.1.3. Экспоненциальная форма комплексных чисел  7.1.4. Корни из единицы  7.2. Аналитические функции  7.2.1. Уравнения Коши — Римана  7.2.2. Степенные ряды  7.2.3. Конформное отображение  7.2.4. Гармонические функции  7.3. Интегрирование на комплексной плоскости  7.3.1. Теорема Коши  7.3.2. Теорема о вычетах  7.3.3. Контурное интегрирование  7.3.4. Интегральные преобразования
  8. Математическая логика и основания  8.1. Пропозициональная логика  8.1.1. Таблицы истинности  8.1.2. Логическая эквивалентность в пропозициональной логике  8.1.3. Техники доказательства в пропозициональной логике  8.1.4. Решение в пропозициональной логике  8.2. Логика предикатов  8.2.1. Кванторы в предикатной логике  8.2.2. Формальные системы в предикатной логике  8.2.3. Полнота и правильность  8.2.4. Модельная теория  8.3. Теория множеств  8.3.1. Кардинальность и ординальность  8.3.2. Аксиоматические системы  8.3.3. Понимание теории множеств Цермело-Френкеля  8.3.4. Силы в теории множества
  9. Настройка  9.1. Линейное программирование  9.1.1. Метод симплекс  9.1.2. Двойственность в линейном программировании  9.1.3. Анализ чувствительности в линейном программировании  9.1.4. Методы внутренних точек  9.2. Нелинейное программирование  9.2.1. Градиентный спуск  9.2.2. Множители Лагранжа  9.2.3. Выпуклая оптимизация  9.2.4. Квадратичное программирование  9.3. Комбинаторная оптимизация  9.3.1. Алгоритмы графов  9.3.2. Целочисленное программирование  9.3.3. Сетевой поток  9.3.4. Алгоритмы аппроксимации
  10. Дискретная математика  10.1. Теория графов  10.1.1. Представление графов  10.1.2. Плоскость и цвет  10.1.3. Алгоритм поиска кратчайшего пути  10.1.4. Сетевой поток  10.2. Компаньонство  10.2.1. Перестановка и сочетание  10.2.2. Порождающая функция  10.2.3. Рекуррентные соотношения  10.2.4. Понимание принципа включения-исключения  10.3. Криптография  10.3.1. Применение теории чисел в криптографии  10.3.2. Симметричное и асимметричное шифрование  10.3.3. RSA и криптография на эллиптических кривых  10.3.4. Постквантовая криптография

Магистратура → Топология ↓


Общая топология


Общая топология, иногда называемая теорией точек множества, это область математики, изучающая свойства пространств, которые имеют топологическую природу. По сути, она охватывает такие концепции, как непрерывность, компактность и связность. Эти концепции расширяют идеи геометрии и анализа на более общий набор пространств.

Понимание топологических пространств

Топологическое пространство - это множество точек, в котором для каждой точки существует набор окрестностей, удовлетворяющий набору аксиом, связывающих точки и окрестности.

Определение: Топология на множестве X - это коллекция T подмножеств X, удовлетворяющая: 1. Пустое множество и X являются элементами T. 2. Любое объединение элементов T является элементом T. 3. Любое конечное пересечение элементов T является элементом T. Пара (X, T) называется топологическим пространством.

Например, рассмотрим множество X = {a, b, c} с топологией T = {{}, {a}, {a, b}, X}

Эта топология на X удовлетворяет всем необходимым условиям:

  • Пустое множество {} и множество X находятся в T
  • Объединение любых элементов T, например, {a} ∪ {a, b} = {a, b}, также находится в T
  • Пересечение любых элементов T, например, {a} ∩ {a, b} = {a}, также находится в T

Открытые и замкнутые множества

В топологии различие между открытыми и замкнутыми множествами является фундаментальным. Открытое множество — это элемент топологии.

Напротив, если множество замкнуто, то его дополнение открыто. Важно отметить, что множество может быть как открытым и замкнутым, так и ни тем, ни другим.

Основы топологии

Основа для топологии на множестве X - это коллекция B подмножеств X (называемых элементами основы), так что каждое открытое множество является объединением элементов основы. Эта концепция упрощает определение топологии, сосредотачиваясь на базовых непрерывных строительных блоках.

Определение: Коллекция B подмножеств X называется основой для топологии на X, если: 1. Для каждого x из X существует по крайней мере один элемент основы B, содержащий x. 2. Если x принадлежит пересечению двух элементов основы B1 и B2, существует элемент основы B3, такой что x принадлежит B3, и B3 содержится в B1 ∩ B2.

Непрерывная работа

Непрерывность - это фундаментальное понятие в топологии. Функция между двумя топологическими пространствами является непрерывной, если, интуитивно, она берет точки "близкие друг к другу" в области и приводит к точкам "близким друг к другу" в диапазоне.

Определение: Функция f: (X, T) → (Y, U) является непрерывной, если для каждого открытого множества V в U, прообраз f -1 (V) открыт в T.

Например, рассмотрим функцию f: ℝ → ℝ, определённую как f(x) = x^2. Эта функция непрерывна в стандартной топологии на ℝ.

Гомеоморфизмы

Функция является гомеоморфизмом, если она является непрерывной биекцией с непрерывной обратной. Гомеоморфизмы важны потому, что они определяют, что два топологических пространства по сути одинаковы, или "топологически эквивалентны."

Компактность

Пространство компактно, если у каждого открытого покрытия существует конечное подпокрытие. Это свойство обобщает понятие замкнутости и ограниченности пространства в евклидовом пространстве.

Определение: Топологическое пространство (X, T) компактно, если для каждой коллекции открытых множеств {Ua}, объединение которых покрывает X, существует конечная подколлекция, покрывающая X.

Примером компактного пространства является замкнутый интервал [0,1] на множестве действительных чисел с обычной топологией.

Связность

Топологическое пространство связано, если его нельзя разложить на два непересекающихся непустых открытых множества. Проще говоря, пространство составляет одну часть.

Определение: Топологическое пространство (X, T) связано, если не существует двух непересекающихся непустых открытых множеств U и V, таких что X = U ∪ V.

Числовая прямая ℝ с обычной топологией является примером связного пространства.

Визуальный пример

Давайте используем некоторые визуальные примеры для объяснения понятий открытых множеств и континуитета:

Открытое множество изображение Непрерывные отображения

Зачем нужна общая топология?

Общая топология предоставляет важную информацию о природе пространства и функций. Эти идеи имеют применение в различных математических дисциплинах, включая дифференциальную геометрию, алгебраическую топологию и функциональный анализ.

Заключительные мысли

По мере углубления в мир общей топологии понимание основных концепций, таких как открытые и замкнутые множества, основы топологии, непрерывность, компактность и связность, будет формировать основу, на которой строятся более сложные идеи. Работа с ними на теоретическом и практическом уровне позволит вам оценить богатство и глубину топологических исследований.


Магистратура → 3.1


U
username
0%
завершено в Магистратура

← предыдущая (3)
Топология
следующая (3.1.1) →
Открытые и закрытые множества

комментарии 



Общая топология

https://www.buddymath.com/g/3.1?bmal=ru